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Erwartungswert Teilchen im Kasten
 
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veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 29. Sep 2014 23:22    Titel: Erwartungswert Teilchen im Kasten Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ein Wellenpaket ist eine lineare Überlagerung (Linearkombination) von Eigenfunktionen. Berechnen Sie die Energieerwartungswert des Teilchen im Kasten (mit Kastenlänge 2.851 ?) für das Wellenpaket:



Das Ergebnis sollte in eV berechnet werden.

Meine Ideen:
Nun, ich habe mit dieser Aufgabe recht viel Mühe, denn wir haben verschiedenste Funktionen in der Vorlesung besprochen, doch irgendwie weiss ich nicht, welche auf diese Aufgabe passend ist.

Es gilt ja:


Kann ich jetzt diese Funktion benutzen, um mein Problem zu lösen? Und wenn ja, was setze ich für x ein?

Vielen Dank!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Sep 2014 00:00    Titel: Re: Erwartungswert Teilchen im Kasten Antworten mit Zitat

veysel1990 hat Folgendes geschrieben:
Berechnen Sie den Energieerwartungswert des Teilchen im Kasten ...!

Wie lautet denn die Gleichung für den Energieerwartungswert



in einem Zustand mit (zunächst beliebiger) Wellenfunktion psi?

Was passiert, wenn ein Eigenzustand von H eingesetzt wird?
Was passiert dann in deinem Fall?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 30. Sep 2014 00:42    Titel: Antworten mit Zitat

Danke erstmal für deine Antwort!

Dann sollte gelten:

E=

Und es gilt:

=

Doch da hört leider mein Latein bereits auf grübelnd

Wie kann ich das in die Funktion einsetzen? Langsam verzweifle ich an dieser Aufgabe..
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Sep 2014 06:39    Titel: Antworten mit Zitat

veysel1990 hat Folgendes geschrieben:
Dann sollte gelten:


Nee, das wäre ja ein Übergangsmatrixelement von 2 nach 1.

veysel1990 hat Folgendes geschrieben:
Und es gilt:


H sowie E definieren keinen bra, sondern sind ein Operator bzw. eine Zahl, d.h.



Du hast einen Zustand gegeben:



Um den Erwartungswert von H für diesen Zustand zu berechnen, musst du diesen Zustand in



einsetzen und dann berücksichtigen, dass zwei Eigenzustände für n=1,2 zu H vorliegen. Hilft das weiter?

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veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 30. Sep 2014 16:06    Titel: Antworten mit Zitat

Sry für meinen Fehler mit dem bra, kurzer Denkfehler.

Also ich habe deine Antwort mit einem meiner Mitstudenten diskutiert und er meinte wir könnten n=1 und n=2 einsetzen und dabei die Energien zusammenrechnen:

Also E=E1+E2

D.h. :

*h=h/2Pi = h Querstrich

Da ich n1 und n2 sowie den Abstand a=2.851 Angström weiss, könnte ich dies in die Formel einsetzen und müsste nur noch Joule in eV umrechnen.

Ich hoffe es stimmt so wie ich es versuche?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Sep 2014 16:55    Titel: Antworten mit Zitat

Warum tust du nicht genau das, was ich oben geschrieben habe?

TomS hat Folgendes geschrieben:
Um den Erwartungswert von H für diesen Zustand zu berechnen, musst du diesen Zustand in



einsetzen und dann berücksichtigen, dass zwei Eigenzustände für n=1,2 zu H vorliegen. Hilft das weiter?

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veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 30. Sep 2014 19:23    Titel: Antworten mit Zitat

Weil ich nicht genau weiss, wie das aussehen sollte, denn wir haben die bra-ckets erst gerade eingeführt. Tut mir Leid.

Aber ich versuche es mal:



Stimmt dies soweit?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2098

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Sep 2014 19:36    Titel: Antworten mit Zitat

Du mußt kein Integral ausrechen. Du mußt lediglich

mit Hilfe der Eigenwertgleichung auswerten. Das geht rein algebraisch. Die Eigenwerte müßtest du kennen.
veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 30. Sep 2014 20:47    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für Deinen Hinweis.

Leider haben wir diese Notation nur kurz überflogen und nicht einmal ein Beispiel dazu bearbeitet, deshalb bin ich leider gerade ein bisschen überfordert..
Ich werde versuchen mit Deinem Hinweis die Antwort zu finden.

Falls Du mir noch einen anderen Tipp hast, kannst du mir diesen gerne geben!

Thumbs up!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Sep 2014 23:15    Titel: Antworten mit Zitat

Also nochmal:

Es gilt die Eigenwertgleichung



Dann ist ein Zustand gegeben



(c dient als Normierungskonstante)

Um den Erwartungswert von H für diesen Zustand zu berechnen, musst du diesen Zustand in



einsetzen



Dies musst du ausmultiplizieren und erhältst dann vier Matrixelemente der Form



Nun wirkt H auf Eigenzustände und man darf somit den Operator H überall durch die Eigenwerte zu n=1,2 ersetzen.

Damit sind noch die Skalarprodukte zu verwenden





Allgemein gilt, dass die Eigenzustände selbstadjungierter Operatoren ein Orthonormalsystem bilden, d.h.



und somit verschwinden die gemischten Terme, d.h. es bleibt


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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Okt 2014 06:53    Titel: Antworten mit Zitat

Generell: die Vorteile der Bra-Ket-Notation bestehen gerade darin, die Eigenschaften von Zuständen und Operatoren auf der abstrakten Ebene = darstellungsfrei zu belassen, d.h. keine konkrete Darstellung (Wellenfunktion, Spalten- und Zeilenvektoren, ...) einzuführen. In vielen Fällen darfst du dir Vektoren und Matrizen wie in der linearen Algebra vorstellen, ohne dabei die einzelnen Elemente zu verwenden.

Dass zwei Zustände orthogonal sind schreibst du z.B. als



Die konkrete Darstellung von a und b interessiert dich dabei nicht.

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veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 01. Okt 2014 15:21    Titel: Antworten mit Zitat

Danke vielmals für die sehr ausführliche Erklärung!!! Thumbs up!

Auf das wäre ich nie gekommen, denn wir hatten das Thema noch nicht so ausführlich.

Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, kann ich letztendlich folgendes machen:



und für die Energien die Formel:

verwenden und für n=1 und 2 einsetzen.

Ich hoffe meine Schlussfolgerung stimmt.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Okt 2014 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

Deine Formel für E_n enthält noch einen Schreibfehler; aber ja, das ist der einzige Punkt, wo du die explizite Lösung und den Wert von a benötigst.
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veysel1990



Anmeldungsdatum: 02.10.2013
Beiträge: 30

Beitrag veysel1990 Verfasst am: 01. Okt 2014 18:08    Titel: Antworten mit Zitat

Danke nochmals für deine Geduld und Hilfe!

Ich habe die Antwort endlich richtig Thumbs up!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13870

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Okt 2014 19:56    Titel: Antworten mit Zitat

Gerne
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