Kinetische Energie in der Quantenmechanik

MaxderMathematiker · Gast

Meine Frage:
Hallo,

mir stellt sich eine Aufgabe und ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Ich soll zeigen, dass der Erwartungswert der kinetischen Energie nie negativ wird, dass also die Gleichung

korrekt ist.
Leider fehlt mir hier die Idee für einen Ansatz. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Meine Ideen:
Ich hab schonmal überlegt, ob man hier vielleicht irgendwie partiell integrieren könnte, bin mir aber nicht sicher, ob das wirklich der richtige Weg ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ich denke, du meinst die Wellenfunktion psi, also das Integral

Ja, probier's mal mit partieller Integration

MaxderMathematiker · Gast

Hi, ja genau, die meine ich.
Partiell integrieren ist also eine gute Idee?
Okay, dann mache ich das Mal. Ich wenn ich einmal partiell integriere käme so etwas dabei raus:

Korrekt?
Aber was kann ich nun daraus ziehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Was hast du gegen psi? Und warum ein hochgestellter Index 0 statt * ?

Aber ansonsten ist das richtig; du musst jetzt mit dem Absolutquadrat einer komplexen Funktion argumentieren.

MaxderMathematiker · Gast

Gegen psi habe ich gar nichts. Mir war als erstes nur nicht klar, wie man andere Buchstaben eingibt, als die, die der Editor angibt und beim nächsten Mal hab ich mich verschrieben xD Jetzt mache ich es richtig smile

In der Vorlesung hatten wir Mal, dass die Randterme wegen der Normierbarkeit der Wellenfunktion verschwinden. (Wobei ich zugeben muss, dass ich das nicht so zu hundert Prozent verstanden habe) Es würde also übrig bleiben:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich würde

und

in komplexen Komponenten hin schreiben, anwenden, dass die Ableitung einer Summe die Summe der einzelnen Ableitungen ist und dann mit der dritten Binomischen Formel mal schauen, was da raus kommt.

Gruß
Marco

MaxderMathematiker · Gast

Hi,

danke für den Hinweis. Vielleicht liegt es daran, dass mein Kopf grade raucht...aber wie kann ich die Wellenfunktion denn in komplexen Komponenten hinschreiben, wenn ich sie gar nicht angegeben hab. Wahrscheinlich ist das jetzt total einfach und ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht Hammer

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Ich würde einfach

einführen (der Strich bezeichnet die Ableitung nach x) und dann

schreiben.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Du kannst ja jede komplexe Zahl (also auch jeden komplexen Funktionswert) als z = x+iy schreiben. Und das komplex konjugierte ist dann z* = x-iy

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

MaxderMathematiker · Gast

Okaay, danke an euch beide. Klar, so gehts. Und wenn da dann ein Quadrat steht ist ja logisch, dass da nix mehr negativ werden kann. Ich danke euch beiden. Ihr wart mir wirklich eine große Hilfe!!!
Eine letzte Frage habe ich noch: Habt ihr vielleicht eine Idee, wo man das mit den Randwerten nochmal nachlesen kann? ich habe es zwar jetzt angewendet, aber eigentlich nicht wirklich verstanden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Das mit den Randwerten sollte eigtl. in jedem guten Skript oder Buch über QM erklärt sein. Leider wird das häufig aber nicht präzise dargestellt.

Die übliche Argumentation ist, dass das Integral

nur dann existiert, wenn

D.h. angeblich folgt das Verschwinden der Randwerte aus der Quadratintegrabilität.

Tatsächlich ist das jedoch weder eine hinreichende noch eine notwendige Bedingung.

Gegenbeispiel 1)

Der Grenzwert ist Null, das Integral existiert jedoch nicht, da für die Stammfunktion (asymptotisch) gilt

und damit existiert das Integral nicht, obwohl der o.g. Grenzwert existiert.

Gegenbeispiel 2)

mit der charakteristischen Funktion

des Intervalls

Der o.g. Grenzwert existiert nicht! Dennoch existiert das Integral, d.h. es ist endlich, die Wellenfunktion also quadratintegrabel.

Zusammenfassung: dass die Wellenfunktion im Unendlichen verschwindet ist m.E. keine mathematische Forderung, sondern eine physikalische; man fordert dies, weil es physikalisch plausibel erscheint.