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Gibt es eine Erweiterung des Feynman-Pfadintegrals in der Qu
 
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Beitrag Linker Verfasst am: 14. Feb 2014 19:20    Titel: Gibt es eine Erweiterung des Feynman-Pfadintegrals in der Qu Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

hier wird beschrieben, wie das Feynmansche Pfadintegral hergeleitet wird:
http://www.physics.umd.edu/courses/Phys851/Luty/notes/pathint.pdf

Dieses wird benutzt, um quantenmechanische Übergangswahrscheinlichkeiten allgemein zu berechnen. Dabei wurde aber eine Annahme gemacht: Der Hamiltonoperator wurde in infinitesimal kleine Zeitschritte unterteilt, sodass Kommutatorterme (siehe Gleichung 1.17)vernachlässigt werden können.
Mathematisch gesehen ist das Feynmansche Pfadintegral ein Integral über unendlich viele Freiheitsgrade und unendlich viele Freiheitsgrade kann man nicht handhaben. Also muss man die Wirkung (z.B. in Würfel mit endlicher Kantenlänge) diskretisieren. Es ist klar, dass wenn man den Hamiltonoperator in nur endliche Zeitintervalle zerlegt, dass dann auch die Kommutatorterme berücksichtigt werden müssen.

In der Quantentheorie wird angenommen, dass ein physikalischer Zustand auch von der Messung abhängt (siehe z.B. Kollaps der Wellenfunktion). Natürlich braucht jede Messung dann eine endliche Zeit. Bedingt durch die Abhängigkeit der Physik durch Messprozesse, müsste die Realität Abweichungen vom Feynman-Pfadintegral haben, oder?

Meine Ideen:
Ersetzen des Zeitintegrals über den Hamiltonoperator:


Nun entspricht die Zeitmittelung über den Hamiltonoperator einer Messung des Gesamt-Hamiltonoperators, d.h. wenn der Hamiltonoperator noch ein zeitabhängiges Rauschen zusätzlich haben soll, was sich nach Zeitintegration herausmittelt, wird es auch mitberücksichtigt. Nun kann man den Zeitentwicklungsoperator nicht mehr in infinitesimale Zeitschritte zerlegen und muss zusätzliche Kommutator-Terme mitberücksichtigen. Genau diese Kommutator-Terme beschreiben dann Abweichungen von der gewöhnlichen Quantentheorie. Denkt ihr, dass so eine Erweiterung der Quantenmechanik sinnvoll wäre (normale Quantentheorie ergibt sich, wenn gesetz wird)?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17899

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Feb 2014 23:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, du vermischt da mehrere Sachen:
1) die formal korrekte Definition des Lagrangeschen Pfadintegrals, die mathematisch exakt mittels Wickrotation möglich ist; d.h. man betrachtet exp(-S) statt exp(iS) in imaginärer Zeit
2) das Hamiltonsche Pfadintegral und die Frage der Diskretisierung (die du aber auch für andere Integral- und Maßbegriffe hast)
3) die Frage der Messung
4) das mit dem Rauschen verstehe ich gar nicht - wo kommt das her?

Zu (3) würde ich ganz grob folgendes sagen:
A) in einer Kollapsinterpretation ist der Messprozess nicht Gegenstand der QM und damit auch nicht Gegenstand des Pfadintegrals
B) in der Viele-Welten-Interpretation ist der Messprozess ein ganz normaler quantenmechanischer Prozess ohne jede Besonderheit
In beiden Fällen hast du keine Problem mit dem Pfadintegral.

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Linker
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Beitrag Linker Verfasst am: 15. Feb 2014 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Nehmen wir mal an wir haben den folgenden Hamiltonoperator:



Hierbei ist Pi z.B. ein Spin-0-Bosonenfeld und Tau das kanonisch konjugierte Feld und Lambda irgendein zusätzliches Rauschen. Wenn die Zeitintegration des Rauschens über ein Zeitintervall dieses Rauschen verschwindet, so gilt



Hierbei ist <...> die Zeitmittelung. Jetzt erkläre ich, was ich meine: Natürlich ist es nicht möglich, unendlich viele Messungen der System-Energie durchzuführen. Man hat lediglich endlich viele Messungen und man hat nur die Zeitmittelung des Hamiltonoperators gemessen. Das zeitlich abhängige Rauschen, was der Messapparat nicht messen konnte, mittelt sich also heraus.
Es kann gut sein, dass bisher unbemerkte ständig stattfindende Fluktuationen existieren, die man aber nicht messen kann.

Nun ist ein bekannter Hamiltonoperator, z.B. der, der zur Klein-Gordon-Gleichung gehört.

Es kann ja sein, dass noch weitere (vermutlich nichtlineare) Terme für den Hamiltonoperator auf sehr sehr kleinen bisher messtechnisch unzugänglichen Zeitskalen dazukommen, aber sich unter einer Zeitmittelung aus den Hamiltonoperator herausheben.

Denkt ihr auch so, dass es bisher noch unbekannte Zusatzterme im Hamiltonoperator geben könnte?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17899

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Feb 2014 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Du vermischt hier QFT (Klein-Gordon-Gleichung) und einen Ansatz mit Rauschen, Wärmebad o.ä.; das verstehe ich nicht.

Wenn du das PI im Rahmen der QFT betrachten willst, dann wirst du sicher auch weitere Terme der Ordnung dreiu und höher miteinbeziehen; diese stellen ja Wechselwirkungen mit weiteren Feldern dar. Derartige Terme werden im PI-Formalismus der QFT natürlich betrachtet und in verschiedener Weise behandelt (Störungstheorie, effekive Wirkung, nicht-störungstheoretische Ansätze, ...); grundlegend ist dabei der Begriff der Renormierung und der Renormierungsgruppe. Man hat insgs,. ein recht gutes Verständnis über diese weiteren Terme, wie sie aussehen können, welche Terme nicht auftreten dürfen, etc. Im Rahmen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik kann man sagen, dass es wohl keine weiteren Terme geben wird.

Es ist außerdem nicht so, dass im Pfadintegral eine "Zeitmittelung" stattfindet. Ich weiß nicht, wie du darauf kommst.

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Seelachs
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Beitrag Seelachs Verfasst am: 12. März 2014 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ich möchte anmerken, dass es durchaus sinnvolle Bemühungen gibt, die Quantenmechanik nichtlinear zu ergänzen. Wohl gemerkt die Quantenmechanik, also die nichtrelativistische, da es Unsinn wäre so etwas zuerst an einer "komplizierteren" Theorie zu testen, wenn es noch nicht an einem zugänglicheren Spezialfall ausprobiert wurde. Zudem ließe sich die Nichtlinearität einer modifizierten Quantentheorie nur verifizieren, wenn man ein Versagen des Superpositionsprinzips für Zustände feststellt. Das findet man am ehesten beim Übergang zu makroskopischen Skalen, wo bisher noch keine Superposition beobachtet wurde.

Das sogenannte GRW-Modell, benannt nach den drei Erfindern, ist eine nichtlineare stochastische Ergänzung der nichtrelativistischen Quantenmechanik, die im mikroskopischen Grenzfall die traditionelle Dynamik der Quantenmechanik und im makroskopischen die der klassischen Mechanik enthält. Das ist im Grunde eine formale Umsetzung der Kopenhagener Deutung, da die zeitliche Evolution eines Zustandes durch die Modifikation um eine zufällige mit einer gewissen Rate eintretende spontane Lokalisation erweitert wird.
Angelo Bassi, ein italienischer Physiker, hat gerade letztes Jahr einen guten Review-Artikel zu formalen Kollapstheorien veröffentlicht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17899

Beitrag TomS Verfasst am: 12. März 2014 21:16    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, ob das im Sinne des Fragestellers ist, jedenfalls ist es interessant. Gibt es dazu ein elektronisches Preprint bei arxiv?
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Seelachs



Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 31

Beitrag Seelachs Verfasst am: 12. März 2014 23:16    Titel: Antworten mit Zitat

Suche nach Angelo Bassi auf arxiv gibt eine Menge zu dem Thema.
Das ist der Artikel den ich meinte:
arXiv:1204.4325
gibt einem ein umfassendes Bild mit wenig Bedarf an Sekundärlektüre. Basics in Quantenmechanik sind eigentlich alles was er voraussetzt.
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