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Existenz Bewegungsintegral
 
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Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 13. Feb 2014 18:48    Titel: Existenz Bewegungsintegral Antworten mit Zitat

Hey,

ich fang mal ganz allgemein an:
Gibt es eigentlich für jedes Anfangswertproblem ein Integral of Motion / Bewegungsintegral?

Liebe Grüße!
jumi
Gast





Beitrag jumi Verfasst am: 13. Feb 2014 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

Nein!
Es gibt auch Anfangswertprobleme, die nichts mit Motion oder Bewegungsintegralen zu tun haben.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Feb 2014 19:16    Titel: Re: Existenz Bewegungsintegral Antworten mit Zitat

Margarita90 hat Folgendes geschrieben:
Gibt es eigentlich für jedes Anfangswertproblem ein Integral of Motion / Bewegungsintegral?

Ein Bewegungsintegral hat doch nichts mit einer Anfangsbedingung zu tun.

Kennst du den Lagrangeformalismus und das Noethertheorem?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 13. Feb 2014 20:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, naja in meinem Fall schon irgendwie...

Ich habe das AWP

gegeben und soll dafür ein Bewegungsintegral finden.

Auf "gut Glück" hat es bisher nicht geklappt. Habt ihr eine Idee?


Liebe Grüße!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Feb 2014 23:09    Titel: Antworten mit Zitat

Das Bewegungsintegral findest du systematisch, indem du auf die Lagrangefunktion das Noethertheorem anwendest.

Also solltest du zuerst die Lagrangefunktion konstruieren, aus der diese Bewegungsgleichungen folgen. Anschließend ermittelst du die Symmetrien und daraus letztlich die Erhaltungsgrößen.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Feb 2014 06:45    Titel: Antworten mit Zitat

Eine ander Frage: deineBewegungsgleichungen sind sicher von erster Ordnung, d.h. es kommen nur die Geschwindigkeiten, nicht die Beschleunigungen vor??
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Margarita90



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Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 14. Feb 2014 08:56    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Eine ander Frage: deineBewegungsgleichungen sind sicher von erster Ordnung?


Ja, ich denke schon.

Dann probier ich den oben beschriebenen Weg mal...
Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 14. Feb 2014 10:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, wie ich auf die Lagrangefunktion kommen soll...

Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass sich die erste Gleichung von
kommt, also
.
Entstand die zweite Gleichung aus
kommt man auf


Diese beiden Funktionen kann ich jetzt nicht zu dem gesuchten zusammenführen, ohne dass sie sich "gegenseitig behindern". Die Ableitungen gehen dann also nicht mehr auf. Ich weiß auch nicht, wie ich das reparieren kann. Natürlich könnte noch ein komplizierteres System dahinterstecken, aber darauf komme ich nicht unglücklich

Kann mir noch jemand helfen, bitte!
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 14. Feb 2014 12:44    Titel: Antworten mit Zitat

Kurz und schmerzlos: Mit ergibt sich



Man hat also das komplexe Bewegungsintegral



Daraus ergeben sich die reellen Bewegungsintegrale





Edit: Man könnte bei dem gegebenen DGL-System auch gleich durch die rechten Seiten teilen und hat dann ohne Umweg über das Komplexe 2 Bewegungsintegrale dastehen.
Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 15. Feb 2014 13:29    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Huggy,

ich weiß leider gar nicht, was du da gemacht hast. Also was du gerechnet hast schon, aber nicht, warum.
Du hast es auf eine 1-dim DGL reduziert. Aber wieso bildest du Real- und Imaginärteil?

Ein Bewegungsintegral soll bei meiner Aufgabe eine Abb. sein, deren zeitliche Ableitung verschwindet. Das trifft zwar auf auch zu, aber das ist ja unabhängig vom DGL-System...
Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 15. Feb 2014 15:41    Titel: Antworten mit Zitat

Was ist bei dieser Aufgabenstellung mit Bewegungsintegral gemeint?

Mir ist der Begriff Bewegungsintegral im Zusammenhang mit den üblichen Bewegungsgleichungen physikalischer Systeme bekannt. Das sind Differentialgleichungen 2. Ordnung. Als Bewegungsintegrale bezeichnet man dort zeitlich konstante Funktionen der Ortskoordinaten und deren ersten Ableitungen, den Geschwindigkeiten. Beispiel: die Gesamtenergie eines Systems.

Hier beginnt man schon mit einem DGL-System 1. Ordnung. Das lässt sich immer so umschreiben, dass auf einer Seite nur Konstanten stehen, siehe das Edit zu meiner vorigen Antwort. Es macht hier also wenig Sinn, eine zeitlich konstante Funktion der Variablen und ihrer ersten Ableitungen als Bewegungsintegral zu bezeichnen. Aber auf diese Interpretation bezieht sich meine Antwort.

Du bezeichnest jetzt eine zeitlich konstante Funktion lediglich der Variablen als Bewegungsintegral. Dann wäre Bewegungsintegral eine andere Bezeichnung für die Bahnkurve. Diese bekommt man, indem man aus den Lösungen des DGL-Systems die Zeit eliminiert. Die Bahnkurve lässt sich in der Form darstellen.

Was also ist hier mit Bewegungsintegral gemeint?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Feb 2014 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

@Huggy: deine Lösung ist sehr elegant - Lösen durch hinschauen; ich habe dagegen echt Probleme, eine Lagrangefunktion zu finden, die die Bewegungsgleichungen reproduziert; und eine Symetrietrnsformation fehlt mir dann auch noch; hast du dir das mal angeschaut?
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Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 15. Feb 2014 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
@Huggy: deine Lösung ist sehr elegant - Lösen durch hinschauen; ich habe dagegen echt Probleme, eine Lagrangefunktion zu finden, die die Bewegungsgleichungen reproduziert; und eine Symetrietrnsformation fehlt mir dann auch noch; hast du dir das mal angeschaut?

Das habe ich nicht probiert und da fehlt mir auch eine Idee.
TomS
Moderator


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Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Feb 2014 19:51    Titel: Antworten mit Zitat

Huggy hat Folgendes geschrieben:
Das habe ich nicht probiert und da fehlt mir auch eine Idee.

Was funktioniert denn bei dir nicht?

Ich hab' zunächst L als bilinear in den Orten und Geschwindigkeiten angenommen. Dann bekomme ich die Terme erster Ordung hin, aber im Potential passen nie alle Vorzeichen.

Dann hab' ich versucht, das Gleichungssystem als Hamiltonsche Bewegungsgleichungen in x und p zu interpretieren; wieder funktioniert das nicht mit allen Vorzeichen (oder ich verrechne mich immer an der selben Stelle)

Anyway - das Potential sähe sowieso komisch aus, eine Symmetrie kann ich mir da kaum vorstellen. Die Erhaltungsgröße die du konstruiert hast sieht auch irgendwie merkwürdig aus. Wahrscheinlich muss man irgendeine (einfache) nichtlineare Koordinatentransformation raten, dann passt wieder alles.

@Margarita90: hast du irgendeinen gemeinsamen Vorfaktor gekürzt, oder sind das wirklich die originalen Bewegungsgleichungen? Wie lautet denn die originale Aufgabe?

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Huggy



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Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 16. Feb 2014 09:12    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Was funktioniert denn bei dir nicht?

Da ich gar keinen Versuch in diese Richtung unternommen hatte, konnte weder etwas funktionieren noch nicht funktionieren.

Bildet man und eliminiert daraus die ersten Ableitungen mittels der gegebenen Gleichungen, sieht man jedenfalls, dass diese Bewegungsgleichungen nicht durch ein konservatives Kraftfeld erzeugt werden können.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 15:23    Titel: Antworten mit Zitat

Huggy hat Folgendes geschrieben:
bildet man und eliminiert daraus die ersten Ableitungen mittels der gegebenen Gleichungen, sieht man jedenfalls, dass diese Bewegungsgleichungen nicht durch ein konservatives Kraftfeld erzeugt werden können.

Lass' uns das mal weiterverfolgen (auf die Idee bin ich noch nicht gekommen, ich habe direkt mit den ersten Ableitungen gearbeitet)

Du setzt





Dann berechnest du (bitte prüfen, ob Rechenfehler)





Das wären jetzt ganz gewöhnliche Euler-Lagrange-Gleichungen, für die eine Lagrangefunktion der Form L=T-V zu konstruieren ist. Versuchen wir's mit einem Potenzansatz



Wenn ich nun die rechten Seiten der Bewegungleichungen daraus ableiten will, also



berechnen, dann lande ich mittels Koeffizientenvergleich bei









und



Ist es das, was du meinst?

Ja, egal welchen Ansatz ich wähle - Lagrangefunktion linear in den Geschwindigkeiten, Lagrangefunktion quadratisch in den Geschwindigkeiten, Hamiltonfunktion in (x,y) d.h. y entspr. kan. konj. Impuls - es geht immer eine Gleichung um ein Vorzeichen nicht auf. D.h. ich finde kein L oder H, das die Gleichungen reproduzieren kann.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 16:15    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab jetzt nochmal versucht, das System als Hamiltonsches Gleichungssystem zu interpretieren. Egal ob ich x oder y dann mit p identifiziere, ich muss immer ein Vorzeichen in



in der ersten Gleichung umdrehen, sonst passt das nicht.


Dann nochetwas: ich habe festgestellt, dass man deinen Ansatz mit z=x+iy benutzen kann, um nach einer komplexen Transformation



die Bewegungleichung



abzuleiten. Das wäre ein freies Teilchen, allerdings nicht mit beliebiger sondern fester Geschwindigkeit



Ich kann es nicht beweisen, aber ich bezweifle, dass es sich um ein korrektes Lagrangesches System handelt. Und beim Hamiltonschen System habe ich auch meine Zweifel.

Die ursprüngliche und vollständige Aufgabenstellung wäre interessant.

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

So, jetzt hab ich alles zusammen. Es handelt sich um ein freies Teilchen in der komplexen w-Ebene. Die Lagrangefunktion lautet



Die Bewegungsgleichungen lauten



Die Erhaltungsgröße entspricht gerade dem Impuls, also



Nun kann man eine komplexe Funktion z(w) der Form



einführen und das Problem in dieser neuen Funktion z formulieren. Dann ist



Die Lagrangefunktion in z lautet dann



Da es sich um ein freies Teilchen handelt ist dies auch gleich der erhaltenen Gesamtenergie



Daneben kann man mit w = u+iv auch den Drehimpuls umformulieren



Den Ausdruck für J[z] spare ich mir.

Was jetzt noch fehlt sind die Symmetrien von L[w] sowie L[z], um das Noether-Theorem anwenden zu können. Im Falle von L[w] ist das trivial, es handelt sich einfach um die Translationsinvarianz



sowie die Rotationsinvarianz



Um deren Entsprechung in z zu finden, muss man sich nur überlegen, was die Funktion z(w) in der komplexen Ebene bewirkt und wie sie Geraden sowoe Kreise um den Ursprung abbildet.

Ich habe noch nicht verifiziert, dass die o.g. Lagrangefunktion L[z] die korrekten Bewegungsgleichungen liefert. Der Ansatz dafür lautet



Analog für z*.

Dafür muss man die Lagrangefunktion als



in den unabhängigen Variablen z und z* auffassen.

Wichtig: die ursprünglichen Gleichungen waren m.E. nicht die allgemeinen Bewegunggleichungen, sondern bereits die Gleichungen für einen speziellen Wert



also ein spezielles Anfangswertproblem.

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Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 16. Feb 2014 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo ihr beiden,

ich habe an der Aufgabenstellung tatsächlich nichts verändert.

Gegeben ist die Menge , die ich schon erwähnt hatte, das AWP mit den Anfangswerten und Aufgabenteil 1 heißt (original):
Find an integral of motion.

Hinterher ist noch der Fluss zu bestimmen und das Phasenportait zu skizzieren.

Liebe Grüße
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Feb 2014 18:40    Titel: Antworten mit Zitat

OK, danke ...

... hoffe, meine Ideen helfen weiter

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Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 17. Feb 2014 11:11    Titel: Antworten mit Zitat

@TomS
TomS hat Folgendes geschrieben:





Das wären jetzt ganz gewöhnliche Euler-Lagrange-Gleichungen, für die eine Lagrangefunktion der Form L=T-V zu konstruieren ist.

Das kam bei mir auch heraus. Auf der rechten Seite stehen bis auf den Massefaktor die Kraftkomponenten und . Leitet man nun nach y und nach x ab, sieht man, dass diese Ableitungen nicht gleich sind. Die für die Existenz eines Potentials erforderliche Integrabilitätsbedingung ist also nicht erfüllt.


@Margarita90
Margarita90 hat Folgendes geschrieben:
Aufgabenteil 1 heißt (original):
Find an integral of motion.

Leider hast du immer noch nicht beantwortet, wie ihr in der Vorlesung "integral of motion" definiert habt. Im Moment neige ich zu der Vermutung, dass damit nicht das Bewegungsintegral im physikalischen Sinne gemeint ist, sondern eine Größe, die mir in der Mathematik in der Theorie der exakten Differentialgleichungen in der deutschsprachigen Literatur als "Erstes Integral" der DGL in trüber Erinnerung ist. Das folgende bezieht sich auf diese Vermutung.

Aus den Ausgangsgleichungen ergibt sich für die Trajektorien (Bahnkurven) die DGL



oder anders geschrieben





Wegen ist diese DGL nicht exakt. Das ist die Aussage, zu den Bewegungsgleichungen existiert kein Potential, in anderer Form. Nun kann man versuchen, einen integrierenden Faktor zu finden, mit dem die DGL



exakt wird. Im allgemeinen ist das recht schwierig. Einfacher ist es, falls es einen integrierenden Faktor gibt, der nur von x oder nur von y abhängt. Da



nur von y abhängt, gibt es einen nur von y abhängenden integrierenden Faktor. Man erhält ihn aus der DGL



Das führt zu



Man sollte allerdings meine Rechnungen noch mal prüfen. Nach Multiplikation mit M lautet die DGL für die Trajektorien



Es ist jetzt eine Funktion G(x,y) zu finden, die



erfüllt. Man erhält:



Dieses G wird nun, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, als ein "Erstes Integral" der DGL bezeichnet. Auf den Trajektorien der DGL ist G konstant. Das würde zu einer englischen Bezeichnung "integral of motion" oder "constant of motion" passen.
Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 17. Feb 2014 15:20    Titel: Antworten mit Zitat

Oh, entschuldigt bitte. Mir war nicht bewusst, wie vielseitig die Begriffe in Mathematik und Physik benutzt werden.

Es geht tatsächlich eher um einen mathematischen Zusammenhang. Wir haben "integral of motion" definiert als Funktion , deren zeitliche Ableitung verschwindet.

Das trifft auf dein zu. Ich danke dir dafür!

Und ich danke auch TomS für seine Mühe und Zeit, auch wenn es mich in dem Fall nicht zur Lösung gebracht hat.


Also noch eine schöne Woche und nochmal: Tut mir leid, dass ich mich so unpräzise ausgedrückt habe.
Margarita90



Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61

Beitrag Margarita90 Verfasst am: 17. Feb 2014 16:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ach und außerdem gilt für ein Integral of Motion F:
, wobei der Fluss ist.


Wenn ich noch weiter fragen dürfte: Der Fluss ist doch die Menge der Lösungen der DGL in Abh. von den Anfangsbedingungen, oder?
Um ihn zu bestimmen, löse ich also die DGL, bekomme Integrationskonstanten und bestimme deren Werte über
und .
Ist das so richtig?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 17. Feb 2014 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

Margarita90 hat Folgendes geschrieben:
... Das trifft auf dein zu ...

Und ich danke auch TomS für seine Mühe und Zeit, auch wenn es mich in dem Fall nicht zur Lösung gebracht hat.

Gerne - und schade.

Jetzt schauen wir uns mal an, wie das mit meinen Überlegungen zusammenhängt. Zunächst haben wir







Mit der Definition



folgt



Hat das jetzt irgendwas miteinander zu tun? Die Größe G ist sicher kein Integral der Bewegung im Sinne der Lagrangeschen Mechanik

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Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 18. Feb 2014 09:50    Titel: Antworten mit Zitat

@Margarita90
Deine Definition von Fluss ist naheliegend. Wirklich bestätigen kann ich sie nicht. In meinem alten Büchlein über DGLs kommt der Begriff Fluss gar nicht vor. Da musst du zur Sicherheit dein Skript konsultieren. Das weitere Vorgehen stimmt dann.

@TomS
Meine gegenwärtige Meinung zur Möglichkeit der physikalischen Interpretation des gegebenen DGL-Systems stimmt mit deiner überein.

Interpretiert man x und y als verallgemeinerte Ortskoordinaten, hätte man ein System mit 2 räumlichen Freiheitsgraden. Die nochmalige Differentiation der DGLs zeigt, dass es zu ihnen kein Potential geben kann und daher auch keine Lagrangefunktion, weil die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist.

Interpretiert man x als verallgemeinerte Ortskoordinate und y als kanonisch konjugierten Impuls oder umgekehrt, hätte man ein System mit einem räumlichen Freiheitsgrad. Da auch hier die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist, gibt es keine dazu passende Hamiltonfunktion.


TomS hat Folgendes geschrieben:
So, jetzt hab ich alles zusammen. Es handelt sich um ein freies Teilchen in der komplexen w-Ebene. Die Lagrangefunktion lautet



Die Bewegungsgleichungen lauten


Das kann ich allerdings nicht nachvollziehen. Es ist doch dann



Diese L ist also rein reell und führt zu



was man auch zu



zusammenfassen kann. Dieses System erfüllt aber nicht die ursprünglichen DGLs.


@Margarita90
Wäre für die DGL der Trajektorien die Integrabilitätsbedingung erfüllt, entspräche das "Erste Integral" der DGL der Hamiltonfunktion. Seine Konstanz auf den Trajektorien entspricht dann dem Satz, das die Hamiltonfunktion auf den Trajektorien im (q, p)-Raum konstant ist. Es gibt also schon Verbindungen zwischen dem rein mathematisch definierten "Ersten Integral" und den physikalischen Bewegungsintegralen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14064

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Feb 2014 12:28    Titel: Antworten mit Zitat

Huggy hat Folgendes geschrieben:
@TomS
Meine gegenwärtige Meinung zur Möglichkeit der physikalischen Interpretation des gegebenen DGL-Systems stimmt mit deiner überein.

Ja, passt, danke für die Bestätigung.

Huggy hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es handelt sich um ein freies Teilchen in der komplexen w-Ebene

Das kann ich allerdings nicht nachvollziehen …

Du hast einen wesentlichen Punkt übersehen:

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nun kann man eine komplexe Funktion z(w) der Form



einführen … Die Lagrangefunktion in z lautet dann





Das hier diskutierte System in der z-Ebene mit z=x+iy wird durch die von oben eingeführte Transformation z=-2/w auf das freie Teilchen in der w-Ebene abgebildet.

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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 18. Feb 2014 13:46    Titel: Antworten mit Zitat

Aus



sowie



folgt





Die Bewegungsgleichung



wird dann zu



Diese Gleichung ist mit p = const. und



identisch erfüllt.



Berechnen wir doch mal den Ausdruck für p auf Basis der ursprünglichen Bewegungsgleichungen



Setzen wir nun die ursprüngliche gegebenen Bewegungsgleichungen im Zähler ein, so folgt



Damit ergibt sich wieder meine Schlussfolgerung

TomS hat Folgendes geschrieben:
… die ursprünglichen Gleichungen waren m.E. nicht die allgemeinen Bewegungsgleichungen, sondern bereits die Gleichungen für einen speziellen Wert


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Huggy



Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 769

Beitrag Huggy Verfasst am: 19. Feb 2014 08:17    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Huggy hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es handelt sich um ein freies Teilchen in der komplexen w-Ebene

Das kann ich allerdings nicht nachvollziehen …

Du hast einen wesentlichen Punkt übersehen:

TomS hat Folgendes geschrieben:
Nun kann man eine komplexe Funktion z(w) der Form


Mein Fehler! An die Transformation z <-> w hatte ich in dem Moment nicht mehr gedacht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 19. Feb 2014 08:20    Titel: Antworten mit Zitat

Macht nichts ;-)
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