Zerlegungssatz für Vektorfelder

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Betrachtet wird ein Vektorfeld

, das für

hinreichend stark abfällt. Bei der Herleitung des Zerlegungssatzes tauchen die folgenden zwei Rechenschritte auf (

: Laplace-Operator bzgl.

, Integration über gesamten Raum):

Den oberen Ausdruck kann ich mir noch herleiten, indem ich das Volumenelement und den Laplace-Operator z.B. in Kugelkoordinaten ansetze und insgesamt zweimal partiell integriere. Das ist allerdings ziemlich viel hinzuschreiben, sodass ich mich frage, ob man das auch einfacher rechnen kann, z.B. durch geschicktes Anwenden von Gauß'schem oder Stokes'schem Integralsatz.

Die rechte Seite des unteren Ausdrucks entsteht laut Literatur offenbar durch einmalige partielle Integration. Hier frage ich mich, ob ich das ganze nun auch wieder in ein Dreifachintegral zerlegen soll, da das ganze dann wahrscheinlich eine sehr lange Rechnung wird.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Das geht beides in der Tat mit dem Satz von Gauß:

Für 1) ist die zugehörige Rechenregel als 2.te Greensche Formel bekannt (http://de.wikipedia.org/wiki/Greensche_Formeln),welche aber nur eine einfache Folgerung aus dem Satz von Gauß ist.

Bei 2) wird es etwas schwieriger, hier benötigst du eine Formel, welche ebenfalls eine Folgerung aus dem Satz von Gauß ist; http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz - siehe Folgerungen:

Setzt du nun

und verwendest die Produktregel für die Rotation, erhältst du für verschwindende Öberflächenbeiträge die gesuchte Relation 2).

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Ok, Relation 2) konnte ich nun herleiten, muss dabei allerdings

fordern. Stimmt es, dass dazu die Bedingung gelten muss, dass

schneller als 1/r abfällt?

Bei der ersten Relation komme ich mit der 2ten Green'schen Identität nicht weiter, außer ich setze voraus, dass diese auch in einer Form

existiert. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll. Hab es schon mit dem Gaußschen Satz für Skalarfelder probiert, komme da aber nicht wirklich weiter.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zu 2), ja die Rotation muss, damit das Oberflächenintegral verschwindet schneller als

abfallen. Diese Forderung ist notwendig. Das Oberflächenelement skaliert mit

, der Possion-Kern mit 1/r, also muss die Rotation schneller als

abfallen, damit der Oberflächenbeitrag im Unendlichen verschwindet.

Zu 1): Natürlich gilt die 2.te Greensche Formel auch, falls eines der beiden Skalarfelder ein Vektorfeld ist, weil du die Gleichung in diesem Fall komponentenweise lesen kannst, sodass du in jeder Komponente die 2.te Greensche Formel für Skalarfelder erkennst.

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Danke! Da bin ich wieder mal nicht auf das naheliegendste gekommen.