Ist exp(ikx) quadratintegrabel?

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Meine Frage:
Ist die Wellefunktion exp(ikx) quadratintegrabel?

Meine Ideen:
Meiner meinung ist sie das nicht, da wenn ich beim integrieren die komplexkonjugierte Wellenfunktion mit der Wellenfunktion multipliziere 1 herauskommt. Das Integral geht dann gegen unendlich. Ist das richtig?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

Wenn Du über ein unendliches Integral integrierst, dann ja.

Linker · Gast

Also PhysikSpezi liegt schon richtig, dass f*f konjugiert das Betragsquadrat von f ist, aber eigentlich wird in der Quantenmechanik über ein endliches Volumen integriert.

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Ah ok, das heißt für einen unendlich hohen Potentialtopf wäre diese Funktion quadratintegrabel, da sie außerhalb des Potentialtopfs null ist, stimmt das?

Linker · Gast

Ja, das stimmt. Und dann weißt du auch, was rauskommt, wenn man über ein unendliches Intervall integriert.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

Hopf(en) · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 41

Es hängt natürlich von den gegebenen Randbedingungen ab.
Betrachtet man beispielsweise ein freies Teilchen ohne jegliche Randbedingungen, so ist exp(ikx) natürlich nicht quadratintegrabel. Dies hängt mathematisch übrigens damit zusammen, dass die Wellenfunktion in dem Fall auch die Eigenfunktion des Impulsoperators ist und die Eigenwerte kontinuierlich und nicht diskret sind.
Da der Hamilton- und Impulsoperator hier kommutieren, sind auch die Energieeigenwerte kontinuierlich. Mehr über die mathematische Begründung kann bei Interesse Hier nachgelesen werden.
Physikalisch macht die fehlende Quadratintegrabilität in diesem Falle natürlich auch Sinn, da aufgrund des Fehlens jeglichen Potentials der Ort absolut unbestimmt ist.