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Mr.Mitchell
Anmeldungsdatum: 17.05.2009
Beiträge: 43
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 Mr.Mitchell Verfasst am: 18. Okt 2013 14:07 Titel: Drehung von Spinoren |
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Hallo,
ich sitz an einer Aufgabe, bei der eine Drehung auf einen Spinor stattfinden soll. Die Drehung soll auf den Zustand
wirken und gesucht ist die Drehung bei der anschließend der Zustand
herauskommt.
Der Drehoperator ist gerade
= 1\cdot Cos(\frac{\alpha}{2}) - i \vec{n}\vec{\sigma} sin(\frac{\alpha}{2}) )
(1=Einhetsmatrix, finde das Zeichen nicht dafür)
D.h. es müsste gelten
 |S_z=+\frac{1}{2} \rangle =|S_x=+\frac{1}{2} \rangle )
und gesucht ist  (n=Einheitsvektor um den alpha gedreht wird)
Ich finde nicht so Recht einen Ansatz, als Anfang könnte ich  als Linearkombnation von  darstellen, allerdings kann ich mir nicht so recht erklären wie ich das genau machen soll.
Meine Idee wäre U als Matrix zu notieren sowie Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen, allerdings ist das eine sehr aufwändige und hässliche Angelegenheit...
Hätte ich dann die Darstellung könnte ich evtl das System der Form
 |S_z=+\frac{1}{2} \rangle =a|S_z=+\frac{1}{2} \rangle+b |S_z=-\frac{1}{2} \rangle )
lösen. So zumindest mein Plan.
Hat jemand Hinweise? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2013 15:59 Titel: |
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Am instruktivsten ist die Operatoren Sx,Sy und Sz und dann U in Bra-Ket-Notation auszudrücken und dann den Zustand drauf wirken zu lassen.
(Das gleiche nur in grün ist U als 2x2 Matrix zu schreiben und den Zustand drauf wirken lassen.) |
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zracki
Anmeldungsdatum: 28.05.2013
Beiträge: 59
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| zracki Verfasst am: 18. Okt 2013 16:01 Titel: |
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Dein Plan würde schon funktionieren, nur ist er tatsächlich etwas umständlich.
Überlege Dir lieber erst, welche 3d-Drehung den normalen dreidimensionalen z-Einheits-Vektor nach x-Einheits-Vektor überführt, also welchen Drehwinkel alpha und welche Drehachse n man benötigt.
Die gesuchte abstrakte Drehung (gegeben durch die 2 Angaben alpha, n) ist dann für den Spinor die gleiche, nur die entsprechende Matrix für die Spinordrehung sieht anders aus, d.h. es reicht, die beiden Werte alpha und n einfach zu übernehmen (evtl bis aufs Vorzeichen). |
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Mr.Mitchell
Anmeldungsdatum: 17.05.2009
Beiträge: 43
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| Mr.Mitchell Verfasst am: 18. Okt 2013 16:42 Titel: |
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Im normalen 3-dim. System ist das eine Drehung um +90° um die y-Achse.
D.h.
damit ergibt sich dann
 - i \sigma_y sin(\pi /4) =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} )
und
Wenn das so stimmen sollte, dann find ich einige Punkte aber verwirrend.
Ich kann z.B. keine Orthogonalität feststellen, wie kann ich also kontrollieren ob der Vektor überhaupt stimmt ?
Dazu kommt noch, dass erst Drehungen um 4 Pi auf den selben Vektor abbilden. Woher weiss ich also ob der 90° Winkel überhaupt stimmt ?
Danke schonmal für eure Hilfe  |
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zracki
Anmeldungsdatum: 28.05.2013
Beiträge: 59
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| zracki Verfasst am: 18. Okt 2013 17:15 Titel: |
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Man braucht eigentlich nur die erste Paulimatrix (sigma x) auf das erhaltene Ergebnis anzuwenden, um zu prüfen ob es stimmt.
Das mit den 4 Pi liegt daran dass Spinoren eine zweideutige Darstellung der Drehgruppe realisieren, aber das ist in Bezug auf die Aufgabe egal. Anscheinend reicht es ja, nur irgendeine der vielen möglichen Drehungen zu finden, die z nach x dreht. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 18. Okt 2013 17:18 Titel: |
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| Mr.Mitchell hat Folgendes geschrieben: |
Wenn das so stimmen sollte, dann find ich einige Punkte aber verwirrend.
Ich kann z.B. keine Orthogonalität feststellen, wie kann ich also kontrollieren ob der Vektor überhaupt stimmt ?
Dazu kommt noch, dass erst Drehungen um 4 Pi auf den selben Vektor abbilden. Woher weiss ich also ob der 90° Winkel überhaupt stimmt ?
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Du kannst mit S_x auf den Zustand wirken und feststellen, dass er Tatsächlich Eigenwert +1/2 hat.
Dies ist zwar eine richtige Rechnung, allerdings ist es nicht trivial zu sehen, dass sie wirklich richtig ist. Aber ausprobieren, dass das Ergebnis stimmt reicht in diesem Fall ja auch.
PS: zracki war schneller |
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Mr.Mitchell
Anmeldungsdatum: 17.05.2009
Beiträge: 43
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| Mr.Mitchell Verfasst am: 18. Okt 2013 17:38 Titel: |
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Ahh, das ganze per Eigenwertrelation überprüfen macht natürlich Sinn.
Super, ich danke euch beiden!!
Mfg |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 18. Okt 2013 19:45 Titel: |
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| zracki hat Folgendes geschrieben: | | Das mit den 4 Pi liegt daran dass Spinoren eine zweideutige Darstellung der Drehgruppe realisieren ... |
Das ist missverständlich. Es ist umgekehrt so, dass die Drehgruppe SO(3) keine treue Darstellung der SU(2) ist, deren Fundamentaldarstellung auf dem Spinorraum definiert ist. D.h. die Abbildung der SU(2) auf die SO(3) ordnet zwei verschiedenen SU(2)-Elementen ein SO(3)-Element zu.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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zracki
Anmeldungsdatum: 28.05.2013
Beiträge: 59
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| zracki Verfasst am: 19. Okt 2013 09:45 Titel: |
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Die Sprechweise „zweideutige Darstellung der Drehgruppe“ ist eigentlich recht verbreitet.
Z.B. in Teil 2 von Bronsteins Taschenbuch der Mathematik oder neueren Quantenmechanikbüchern.
Es gibt eben verschiedene Herangehensweisen; entweder mehrdeutige Darstellungen einer fraglichen Gruppe oder eindeutige ihrer universellen Überlagerungsgruppe.
Mein Eindruck war bisher immer, dass in der Physik die Sichtweise der mehrdeutigen Darstellungen bevorzugt wird. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 19. Okt 2013 10:45 Titel: |
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| zracki hat Folgendes geschrieben: | Die Sprechweise „zweideutige Darstellung der Drehgruppe“ ist eigentlich recht verbreitet.
Z.B. in Teil 2 von Bronsteins Taschenbuch der Mathematik oder neueren Quantenmechanikbüchern. |
Vielleicht hab ich diese Sprechweise immer übersehen oder ignoriert.
| zracki hat Folgendes geschrieben: | | entweder mehrdeutige Darstellungen einer fraglichen Gruppe oder eindeutige ihrer universellen Überlagerungsgruppe. |
Aus englischsprachigen Büchern zur theoretischen oder mathematischen Physik kenne ich eigtl. nur letzteres.
| zracki hat Folgendes geschrieben: | | Mein Eindruck war bisher immer, dass in der Physik die Sichtweise der mehrdeutigen Darstellungen bevorzugt wird. |
Das klingt so, als ob die SO(3) fundamental wäre, und die SU(2) ein mehrdeutiges "schlechtes" Abbild. Aber in Wirklichkeit ist ja die SU(2) fundamental.
Zur Klarstellung: die Darstellungen der SO(3) sind j=0,1,2,..., die der SU(2) sind j=0,1/2,1,3/2,2,... Letztere enthält also alle Darstelungen der SO(3) sowie alle Spinordarstellungen. Umgekehrt: die SO(3) hat keine Spinordarstellungen.
Daher ist für mich die SU(2) fundamental.
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Mr.Mitchell
Anmeldungsdatum: 17.05.2009
Beiträge: 43
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| Mr.Mitchell Verfasst am: 19. Okt 2013 14:13 Titel: |
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So wirklich Folgen kann ich euch nicht, alles was ich dazu lese geht mir zu tief in die Mathematik und da schalte ich leider schnell ab. Aber nur zum grundlegenden Verständnis, SO(3) beschreibt Drehungen im 3-dimensionalen und SU(2) scheinbar in 2 Dimensionen, also ist die Zahl schonmal die Dimension. Gefunden habe ich z.B. auch SO(2) und das ganze auch klein geschrieben so(2). Was hat das S und U/O sowie die Groß/Kleinschreibung für eine Bedeutung? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
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| TomS Verfasst am: 20. Okt 2013 09:16 Titel: |
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SU(2) ist die Drehgruppe von 2-dim. komplexen Vektoren; SO(3) ist die Drehgruppe von 3-dim. reellen Vektoren. Allerdings gilt dies letztlich nur für die Fundamentaldarstellung. Man kann auch höherdimensionalen Darstellungen finden, d.h. höherdimensionalen reelle oder komplexe Vektoren und höherdimensionalen Matrizen.
In der Quantenmechanik betrachtet man einen Drehimpuls j = 0,1/2,1?3/2,2,... Die Dimension der Darstellung (der Vektoren bzw. Matrizen) ist dann dim(j) = 2j+1 = 1,2,3,4,... Die Darstellungen mit j = 0,1,2,3,... haben beide Gruppen SU(2) und SO(3) gemeinsam, die Darstellungen mit j = 1/2,3/2,... existieren nur für SU(2). Insofern sind SU(2) und SO(3) verwandt.
SU(2) und SO(3) bezeichnen die Gruppe (Liegruppe), su(2) und so(3) die sogenannte Lie-Algebra der Generatoren. In deinem Fall sind die Generatoren gerade die Pauli-Matrizen (dividiert durch 2).
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