Ko-/Kontravarianz und Metrik

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich versuche seit einiger Zeit, zu verstehen, was Ko- und Kontravarianz bedeuten. Ich weiß, es gibt viele Quellen, aber gerade da ist das Problem.

Ich weiß, das ganze hat etwas mit dem Transformationsverhalten von Tensoren zu tun. Also praktisch kann man ja Vektoren unterteilen in die normalen, kontravarianten (dargestellt als Spaltenvektoren/Ket) und deren Dualvektoren, die kovarianten (dargestellt als Zeilenvektoren/Bra). Nun werden ja die Indizes manchmal hoch- und manchmal tiefgestellt. Meine Vermutung ist jetzt, dass die hochgestellten Indizes (z. B. auch bei einem Tensor zweiter Stufe) die Zeile in der Matrix angeben und die tiefgestellten Indizes die Spalte. Ist das so richtig? Dann müsste ja z.B., wenn ein Term ein Skalar ist, jeder Index genauso oft unten wie oben vorkommen, richtig? Also z.B. bei

. Wäre es demnach falsch, die Metrik einfach als Matrix

darzustellen? Denn das würde ja voraussetzen, dass der Tensor einen ko- und einen kontravarianten "Slot" hat: Bei einer 4x4 Matrix kann ich entweder links einen 1x4 Zeilenvektor multiplizieren und bekomme einen 1x4 Zeilenvektor (kovariant) oder ich multipliziere rechts einen 4x1 Spaltenvektor und bekomme einen 4x1 Spaltenvektor (kovariant).

Oder habe ich bloß noch etwas nicht ganz verstanden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18196

Unter Verwendung der Summenkonvention, d.h. dass über zwei gleiche Indizes, wobei einer ko- und der andere kontravariant ist, immer summiert wird, gilt

Es gilt aber auch

wobei Kronecker-delta für die Einheitsmatrix diag(1,1,...) steht.

Ich denke, du hast das grundsätzlich richtig verstanden, aber die eigentliche Idee dahinter ist eine andere. Es geht nämlich nicht um die Zeilen- und Spalten mit ihren Komponenten bzw. Koordinaten (!) sondern vielmehr um die Basisvektoren e und die daraus gebildeten Vektoren x, die an sich basisunabhängig (!) sind.

Betrachte die Basisvektoren

und den daraus gebildeten, basisunabhängigen (!) Vektor

Umgekehrt bekommst du die Komponenten durch Projektion auf eine Basis, d.h. im wesentlichen Skalarproduktbildung

Betrachten wir zum Schluss noch das Skalarprodukt beliebiger Vektoren

Der wesentliche Punkt ist folgender: der Index mu spielt zwei grundverschiedene Rollen; zum einen nummeriert er die Koordinaten bzgl. einer bestimmten Basis, zum anderen nummeriert er die Basisvektoren selbst. Die Koordinaten der Basis erhält man, wenn man "die Basis auf die Basis projiziert"; das Ergebnis ist das Kronecker-delta, d.h. man kann dieses sowohl als Metrik mit einem ko- und einem kontravarianten Index interpretieren, als auch als Koordinaten nummeriert durch mu bezogen auf die Basisvektoren nummeriert durch nu. Wichtig ist, dass dabei offensichtlich zwei verschiedene Basen eine Rolle spielen, nämlich einmal die mit Index unten und einmal die mit Index oben. In der Riemannschen Geometrie sind diese Vektoren nicht mehr identisch, d.h. man muss zwischen beiden Basissystemen unterscheiden - und damit auch zwischen den durch sie definierten Koordinaten.

Man kann sich das anhand eines 2-dim. Beispiels ganz gut vorstellen. Definiere zwei Basisvektoren, die keinen rechten Winkel bilden!! Zeichne einen beliebigen Vektor x ein. Nun kannst du diesen auf zwei Weisen auf die Basis projizieren:
a) der Endpunkt des Vektors x wird parallel zu einem Basisvektor auf den anderen Basisvektor projiziert
b) der Endpunkt des Vektors x wird mittels eines Lots auf den Basisvektor projiziert
Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem sind beide Varianten identisch.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

TomS, danke für die ausführliche Erklärung! smile