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Vakuumenergie
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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 22. Nov 2012 15:10    Titel: Vakuumenergie Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Woher kommt eigentlich die Vakuumenergie?
Warum entstehen im "Leeren Raum" dauernd Teilchen und Antiteilchen, die sich gegenseitig vernichten?

Casimir-Effekt:

Warum ziehen sich die zwei Platten eigentlich an?
Kann man das so verstehen, dass die Energiedichte des Vakuums außerhalb der Platten größer ist, als dazwischen?






Meine Ideen:
Danke
BerniO1986



Anmeldungsdatum: 01.05.2012
Beiträge: 89

Beitrag BerniO1986 Verfasst am: 23. Nov 2012 21:25    Titel: Re: Vakuumenergie Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Woher kommt eigentlich die Vakuumenergie?
Warum entstehen im "Leeren Raum" dauernd Teilchen und Antiteilchen, die sich gegenseitig vernichten?


Die Unschärferelation lässt sich nicht nur in der bekannten Form



schreiben sondern auch als




Danach sind 'kurze' Verletzungen der Energieerhaltung erlaubt. Wenn dies geschieht, dann können nach



Teilchen und Antiteilchenpaare entstehen.

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:


Casimir-Effekt:

Warum ziehen sich die zwei Platten eigentlich an?
Kann man das so verstehen, dass die Energiedichte des Vakuums außerhalb der Platten größer ist, als dazwischen?



Beim Casimir-Effekt sind zwischen den Platten sehr viel weniger Energiezustände erlaubt als außerhalb (nämlich nur jene die mit den Randbedingungen verträglich sind). Dadurch hat man (wie von dir schon gesagt) außerhalb eine höhere Energiedichte bzw. mehr mögliche virtuelle Teilchen. Da außen mehr virt. Teilchen als innerhalb der Platten entstehen ergibt sich eine Kraft die die beiden Platten zusammendrückt
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 23. Nov 2012 22:33    Titel: Re: Vakuumenergie Antworten mit Zitat

BerniO1986 hat Folgendes geschrieben:
[...]
Die Unschärferelation lässt sich nicht nur in der bekannten Form



schreiben sondern auch als




Danach sind 'kurze' Verletzungen der Energieerhaltung erlaubt. [...]

Dies ist in dieser Hinsicht eher irreführend: Während die Energieunschärfe bei Strahlungsübergangen sehr gut die natürliche Linienbreite (vor allem deren Form) wiedergibt, hat sie doch wenig (bis nichts) mit dem Vakuum zu tuen. Die Unschärferelation in ihrer bekannten Form ergibt sich schon nach der ersten Quantisierung in der nichtrelativistischen (Schrödingerschen) Quantemechanik.

Die Energie des Vakuums an sich taucht bei der Quantisierung von elektrischen Felder auf. Deren Eigenenergie analog zum harmonischen Oszillator bei

liegen. Selbst im Grundzustand - also im feldfreien Vakuum - ist also noch eine Nullpunktsenergie von

vorhanden. Prinzipiell ist also im Vakuum eine unendliche Energie (die man natürlich nicht anzapfen kann, da das System bereits im Grundzustand ist), denn man muss hier über alle möglichen summieren.
Trotz allem ist das elektrische Feld im Vakuum natürlich null. Nicht jedoch dessen Varianz.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Nov 2012 07:20    Titel: Antworten mit Zitat

Den Casimir-Effekt kann man im uebrigen auch erklären ohne sich auf die Nullpunktsenergie des Vakuums zu beziehen, auch wenn es etwas umstaendlicher ist.

http://arxiv.org/pdf/hep-th/0503158.pdf
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 09:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe mal ne Frage zur Formel der Unschärferelation.

Heißt die Formel jetzt: delta x * delta p größer gleich h / 2

oder delta x * delta p größer gleich h / 2 * pi
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 24. Nov 2012 09:23    Titel: Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Ich habe mal ne Frage zur Formel der Unschärferelation.

Heißt die Formel jetzt: delta x * delta p größer gleich h / 2

oder delta x * delta p größer gleich h / 2 * pi

h/4 *pi

Aber das ist wirklich irrelevant....
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 10:08    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe jetzt auf mehreren Seiten Unterschiede bei der Formel festgestellt.
Die meisten Seiten geben die Formel so an, wie du sie angegeben hast, aber mache geben sie auch mit h / 2 * p oder mit h / 2 an.

Hat das irgendeine Bedeutung?
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 10:15    Titel: Antworten mit Zitat

Steht jetzt in der Formel h oder h quer ?
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 10:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, ich bin selbst drauf gekommen.

delta x mal delta p gößer gleich h quer

ist dasselbe wie

delta x mal delta p gößer gleich h / 2 pi


Und delta x mal delta p gößer gleich h/4 *pi

ist dasselbe wie

delta x mal delta p gößer gleich h quer durch 2
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 11:10    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt das so?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2012 15:16    Titel: Antworten mit Zitat

BerniO1986 hat Folgendes geschrieben:
Die Unschärferelation lässt sich nicht nur in der bekannten Form



schreiben sondern auch als


Die beiden Relationen haben einen völlig unterschiedlichen Status; die erste kann mathematisch exakt hergeleitet werden und gilt universell für beliebige Quantenzustände; die zweite gilt für eine spezielle Situation i9n der zeitabhängigen Störungstheorie und ist nicht universell gültig. Insbs. bezieht sie sich nicht auf die Gesamtenergie!!

Und demnach ist die Aussage
BerniO1986 hat Folgendes geschrieben:
Danach sind 'kurze' Verletzungen der Energieerhaltung erlaubt. Wenn dies geschieht, dann können nach



Teilchen und Antiteilchenpaare entstehen.

leider falsch – auch wenn sie in ’zig Büchern und Foren – auch von Physikern – immer wieder zitiert wird.

Die Energie ist im Rahmen der Quantenfeldtheorie exakt erhalten: zum einen ist der Hamiltonoperator für ein abgeschlossenes, zeitunabhängiges System zeitunabhängig, die Gesamtenergie demnach eine Erhaltungsgröße; zum anderen sind in Feynmandiagrammen Energie und Impuls an jedem Vertex exakt erhalten. Die „virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paare“ werden nicht durch die >Verletzung der Energieerhaltung erklärt, sondern durch die Verletzung der Beziehung (mc²)² = E² - (pc)² im Falle virtueller Teilchen.

Zitat:
Beim Casimir-Effekt sind zwischen den Platten sehr viel weniger Energiezustände erlaubt als außerhalb (nämlich nur jene die mit den Randbedingungen verträglich sind). Dadurch hat man (wie von dir schon gesagt) außerhalb eine höhere Energiedichte bzw. mehr mögliche virtuelle Teilchen. Da außen mehr virt. Teilchen als innerhalb der Platten entstehen ergibt sich eine Kraft die die beiden Platten zusammendrückt

Die Erklärung ist nicht schlecht, allerdings handelt es sich bei dieser Berechnung und der Renormierung der Vakuumenergien gerade nicht um die Effekte virtueller Teilchen, sondern um einen Effekt nullter Ordnung, allerdings basierend auf einer renormierten Kopplungskonstanten.

jh8979 hat Folgendes geschrieben:
Den Casimir-Effekt kann man im uebrigen auch erklären ohne sich auf die Nullpunktsenergie des Vakuums zu beziehen, auch wenn es etwas umstaendlicher ist.

http://arxiv.org/pdf/hep-th/0503158.pdf

Guter Hinweis, hier wird nämlich tatsächlich mit Hilfe der Störungstheorie gerechnet.

Die Moral von der Geschicht’ ist, dass man Nullpunktsschwingungen und virtuellen Teilchen keine eindeutige „ontologische“ Bedeutung zusprechen kann, sondern dass es sich dabei nur um „formale Zwischenschritte“ handelt; was zählt ist die beobachtbare Größe, hier also die Casimir-Kraft.

Man kann diese Kraft übrigens für verschiedene Geometrien (Platten, Zylinder, …) berechnen. Ich habe mich mal an der Hohlkugel versucht und dazu auch ein Ergebnis im Internet gefunden. Interessanterweise scheint dabei eine abstoßende Kraft vorzuliegen!! Klingt komisch, evtl. liegt noch ein Rechenfehler vor.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Nov 2012 16:29, insgesamt einmal bearbeitet
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 15:25    Titel: Antworten mit Zitat

Hoffentlich nerve ich niemanden, wenn ich nochmal nachfrage.

Aber warum gibt es verschiedene Variationen der Formel der Unschärferelation?

Oder sind sie alle dasselbe?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2012 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

Was meinst du mit verschiedene Variationen der Formel der Unschärferelation?

Für den Fall von Ort x und Impuls p gibt es nur genau eine, exakt herleitbare Formel. Alles andere ist durch einen Näherungsbetrachtung motiviert, wo ein Faktor 2 oder 1/2 irrelevant ist, oder durch ein Gedankenexperiment motiviert, was auch streng genommen unzulässig ist.

Zeit t und Energie E sollte man in diesem Zusammenhang besser nicht erwähnen, da gerade für diese beiden Größen zwar in Spezialfällen ein ähnlicher Zusammenhang besteht, die physikalischen Hintergründe und der Gültigkeitsbereich dagegen völlig verschieden sind.

Nimm an, die gehst zur Sparkasse und holst die 100 € von einem Sparbuch. Wow, 100 €, lange angelegt, früher waren es nur 10 €, also viel viel weniger. OK; das ist der Zinseszinseffekt. Andererseits bekommst du in einer Lotterie bei einem Einsatz von 10 € eine Auszahlung (einen Gewinn) von 100 €. Würdest du sagen, das ist auch der Zinsenszinseffekt? Wohl kaum.

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Gustav123
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Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 15:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meinte das so:

delta x mal delta p gößer gleich h quer

delta x mal delta p gößer gleich h / 2 pi

Und delta x mal delta p gößer gleich h/4 *pi

delta x mal delta p gößer gleich h quer durch 2

Das müsste aber im Endeffekt immer die selbe Formel sein, oder?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2012 15:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab’ mir mal die deutsche Seite der Wikipedia durchgelesen – leider gefällt mir die ganz und gar nicht, da immer wieder die theoretische, exakte Herleitung aus einer Operatorbeziehung sowie die Argumentation mittels einer Messung vermengt werden. Das ist teilw. grob irreführend bis falsch, da insbs. eine exakte Berechnung für derartige Messungen auf andere (!) Relationen führt.

Die korrekte Form lautet



mit



und



für kanonisch konjugierte Operatoren O wie x und p.

Und das hat rein gar nichts mit einer Messung zu tun!

Für nicht kanonisch konjugierte Operatoren gelten andere Relationen, aber das ist hier (noch) nicht von Belang.

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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 16:28    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für deine Antwort.

Sind diese Formeln dasselbe:

delta x mal delta p gößer gleich h quer durch 2

Und delta x mal delta p gößer gleich h/4 *pi

h quer geteilt durch 2 ist doch dasselbe wie h / 4*pi
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2012 16:29    Titel: Antworten mit Zitat

na, da kommst du doch selbst drauf; oder nicht?
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Gustav123
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Beitrag Gustav123 Verfasst am: 24. Nov 2012 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke schon ;-)

Es ist dasselbe!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Nov 2012 16:49    Titel: Antworten mit Zitat

Rock
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Nic82
Gast





Beitrag Nic82 Verfasst am: 24. Nov 2012 20:04    Titel: Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Woher kommt eigentlich die Vakuumenergie?
Warum entstehen im "Leeren Raum" dauernd Teilchen und Antiteilchen, die sich gegenseitig vernichten?



ich habe so verstanden das die Vakuumenergie durch den Casimir-Effekt entsteht

grübelnd

die Vakuumenergie entsteht doch nicht durch den Casimir-Effekt

es ist doch eher: der Casimir-Effekt entsteht duch die Vakuumenergie

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Woher kommt eigentlich die Vakuumenergie?


ist aber noch offen
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 08:19    Titel: Antworten mit Zitat

Kennt jemand ein paar (einfache) Übungsaufgaben bezüglich der Formel (Unschärferelation)?

Ich würde gerne ein bisschen damit rechnen. :-)
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 08:22    Titel: Antworten mit Zitat

Die Vakuumenergie resultiert aus der quantenmechanischen (quantenfeldtheoretischen) Behandlung der beteiligten Felder; demzufolge kann sich kein Feld statisch in seinem absoluten (klassischen) Grundzustand befinden, sondern man hat immer eine von Null verschiedene Nullpunktsenergie. Der einfachste Fall dafür ist der quantenmechanische harmonische Oszillator; unter Vernachlässigung irrelevanter Konstanten gilt für die Hamiltonfunktion



Klassisch erhält man für die Grundzustandsenergie



Quantenmechanisch ist die Energie im Grundzustand |0> aber gegebenen durch



wobei ich die genaue Rechnung hier nicht durchführe.

Ein Quantenfeld kann man sich nun aufgebaut denken aus unendlich vielen gekoppelten harmonischen Oszillatoren; daher ist die Grundzustandsenergie zunächst mal unendlich!!

Diese muss man „renormieren“ bzw. im einfachsten Fall „normalordnen“, durch :: angedeutet; dann erhält man wieder



Im Falle des Casimireffektes liefert die Normalordnung zwischen den Platten sowie außerhalb der Platten ein unterschiedliches Ergebnis. Man betrachtet dazu die Energiedichte pro Volumen. Diese ist nach Renormierung endlich und man findet




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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 08:53    Titel: Antworten mit Zitat

Kennt jemand ein paar (einfache) Übungsaufgaben bezüglich der Formel (Unschärferelation)?

Ich würde gerne ein bisschen damit rechnen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 09:53    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, kennst du denn die Herleitung z.B. via Vertauschungsrelationen von x und p, Fouriertransformation und Breite von Wellenpaketen, quantenmechanischer harmonischer Oszillator?
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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

Oh, das kenne ich leider nicht.

Ich habe gedacht, dass man mit der Formel (sowie sie angegeben wird) direkt rechnen kann.

Wenn z.B. die Ortsunschärfe festliegt, dann (so dachte ich) könnte man einfach die Impulsunschärfe berechnen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 10:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das kannst du sicher tun; du kannst z.B. für ein Teilchen in einem Kasten der Länge L die (maximale) Ortsunschärfe mit L abschätzen und daraus die Impulsunschärfe ~ 1/L berechnen.
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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 10:20    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie funktioniert das genau (mit dem Kasten der Länge L)?

Würde es dir etwas ausmachen eine kurze Beispielrechnung anzubringen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 10:56    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, wenn das Teilchen in einem Kasten der Länge L eingesperrt ist, dann ist sicher



und damit



D.h. je schmäler der Kasten, desto größer die Impulsunschärfe (die Rechnung ist nicht ganz korrekt, aber das ist die übliche qualitative Argumentation)

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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank, Tom.
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

Ich möchte die Unschärfe der Geschwindigkeit eines Elektrons berechnen.

Den Impuls kann man auch schreiben: delta p = m * v

Die Formel nach v (delta v) umgestellt ist:

delta v größer gleich h / delta x * m * 4 * pi

Stimmt die Formel so?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 16:21    Titel: Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Ich möchte die Unschärfe der Geschwindigkeit eines Elektrons berechnen.

Den Impuls kann man auch schreiben: delta p = m * v


Denkfehler! Hier geht es um de Impuls p = mv; dieser kann beliebg scharf oder auch unscharf sein; d.h. über das Delta p sagt das gar nichts aus.

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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 16:27    Titel: Antworten mit Zitat

Die Aufgabe habe ich aus einem Physik Buch.

Da stand: p=m*v
also
delta p =m*v


Wie wäre denn die richtige Formel, um die Unschärfe der Geschwindigkeit eines Elektrons zu berechnen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 16:43    Titel: Antworten mit Zitat

Nochmal: wenn ein Elektron einen bestimmten Impuls p hat, dann sagt das nichts über dessen Impulsunschärfe Delta p aus; diese kann zunächst beliebig sein.
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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 25. Nov 2012 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ich muss mich korrigieren. (Vielleicht ändert das ja etwas)

Da stand

delta p = m * delta v

Also

delta x * delta p = delta x * m * delta v größer gleich h / 4 * pi

Nach delta v umgestellt:

delta v größer gleich h / delta x * 4 * pi * m
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Nov 2012 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

passt
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Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 26. Nov 2012 09:36    Titel: Antworten mit Zitat

Kann ich mit dieser Formel: delta v größer gleich h / delta x * 4 * pi * m

auch die Unschärfe der Geschwindigkeit makroskopischer Objekte berechnen?
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 26. Nov 2012 14:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe mal die Unschärfe der Geschwindigkeit eines Elektrons berechnet.

Da kam ich auf einen Wert von 1100 km/s.

delta x= 0,5* 10^10 m
Gustav123
Gast





Beitrag Gustav123 Verfasst am: 18. Dez 2012 16:13    Titel: Antworten mit Zitat

Der Casimir-Effekt wird doch immer mit Hilfe von virtuelle Teilchen erklärt.
Wenn virtuelle Teilchen aber nur mathematische Konstrukte sind, wie kann man dann den Casimir-Effekt erklären?
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 18. Dez 2012 16:29    Titel: Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Der Casimir-Effekt wird doch immer mit Hilfe von virtuelle Teilchen erklärt.
Wenn virtuelle Teilchen aber nur mathematische Konstrukte sind, wie kann man dann den Casimir-Effekt erklären?

Der Casimir-Effekt wird idR mit den Fluktuationen des eletrischen Feldes im Vakuum erklärt.
Die Leitenden Platten geben dem elektrischen Feld Randbedingungen, sodass es auf ihnen verschwinden muss. Damit sind zwischen den Platten nur noch wenige Moden zulässig.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Dez 2012 18:58    Titel: Antworten mit Zitat

Gustav123 hat Folgendes geschrieben:
Der Casimir-Effekt wird doch immer mit Hilfe von virtuelle Teilchen erklärt.
Wenn virtuelle Teilchen aber nur mathematische Konstrukte sind, wie kann man dann den Casimir-Effekt erklären?

Wie immer: die virtuellen Teilchen sind ein Artefakt der Störungsrechnung und nur Ausdruck unser Unfaehigkeit die Theorie anders zu lösen.
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