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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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 Chillosaurus Verfasst am: 18. Nov 2012 19:06 Titel: Brechungsindex für relativistische Teilchen |
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Sei E die kinetische energie der Teilchen, V die Potentialstufe und k_1 die Wellenzahl vor der Stufe, k_2 entsprechend nach der Stufe, dann erhält man über die Stetigkeitsbedingung für die Lösung der Diracgleichung für die Reflektion des Wahrscheinlichkeitsflusses
^{2})
und für die Reflektion:
^2)
Mit der Abkürzung 
Im Vergleich zu den Fresnel-Formaln im Spezialfall der orthogonalen inzidenz, liegt es Nahe, dass N_1 das Verhältnis beider Brechungsindizes darstellt.
Kann man auch direkt einen Brechungsindex im Sinne der Dirac-Gleichung angeben? |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 19. Nov 2012 13:18 Titel: |
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Aus den Maxwell-Gleichungen kann man mit wenigen Annahmen herleiten, daß eine
materialabhängige, komplexe Größe v^2/c^2 existiert, deren positive Wurzel man
dann Brechungsindex nennt. Durch Einsetzen in die Wellengleichung kommt man mit
den Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen auf die Formeln für rho und tau und
schließlich über das Betragsquadrat für die Intensität auf R und T.
Wenn Du diesen Weg umgekehrt gehst, solltest Du bei einer passenden Entsprechung
von v/c landen. Versucht habe ich das aber noch nicht.
p.s.: Um Verwirrung vorzubeugen, Deine zweite Formel ist die für die Transmission. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 19. Nov 2012 18:14 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | | [...] Wenn Du diesen Weg umgekehrt gehst, solltest Du bei einer passenden Entsprechung [...] |
Das geht ja für die Schrödingergleichung wunderbar. Aber für die Dirac-Gleichung sehe ich jetzt direkt keine Möglichkeit eine Analogie zur Telegrafengleichung (Wellenausbreitung im isotropen Medium) zu kreieren. Zumal die Stetigkeitsbedingungen andere sind als bei der SGL. (Die erste Ableitung der Spinoren muss nicht stetig sein.) |
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Laron
Anmeldungsdatum: 20.02.2012
Beiträge: 230
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| Laron Verfasst am: 21. Nov 2012 14:33 Titel: |
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Das ist eine interessante Frage.
Wie gesagt habe ich es nie versucht, aber ohne Annahmen an das System, das Du
modellieren willst, wirst Du wahrscheinlich nicht weit kommen. Wenn Deine
Teilchen keinen Spin auf den Festkörper übertragen, bleibt er erhalten.
Ähnlich wie die Polarisation kannst Du ihn vielleicht auch später gesondert
betrachten. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Nov 2012 23:21 Titel: |
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| Laron hat Folgendes geschrieben: | [...] Wenn Deine
Teilchen keinen Spin auf den Festkörper übertragen, bleibt er erhalten.
Ähnlich wie die Polarisation kannst Du ihn vielleicht auch später gesondert
betrachten. |
Der Spin wird nicht vom Potential beeinflusst.
Jetzt kanhn man die Energie-Impuls-Beziehung nutzen und somit die Wellenzahlen für V=0
^{2}})
und bei vorhandenem Potential V
^{2}-(mc^{2})^{2}})
schreiben.
Setzt man dies nun in obige Beziehung ein, so erhält man ein Produkt aus zwei Termen, von denen einer nur größen im Bereich V=0 und einer mit endlichem V enthält:
^{2}-(mc^{2})^{2}}}{E-V+mc^{2}} \frac{E+mc^{2}}{\sqrt{(E)^{2}-(mc^{2})^{2}}})
Dies würde nahelegen, dass es Brechungsindizes gibt:
^{2}-(mc^{2})^{2}}}{E-V+mc^{2}}) .
Nun ist im nichtrelativistischen Grenzfall die Schrödingergleichung gültig und somit ein Brechungsindex
Wenn nv Brechungsindex ist, so muss dieser für niedrige kinetische Energien E << mc² in den Brechungsindex aus der Schrödingergleichung übergehen. Möglicherweise kann es noch einen Vorfaktor geben, da oben nur das Verhältnis betrachtet wurde.
Nun lässt sich nv noch vereinfachen zu:
}{1+\left(\frac{E-V}{mc^{2}}\right)}} )
Wenn ich das richtig sehe, gibt es keine Möglichkeit diesen Term auf für klein E zu entwickeln, sodass man etwas wie n_v,sgl erhält.
Dennoch muss es doch eine Möglichkeit geben auch mit schnellen Teilchen Optik zu betreiben.
Ich meine für Photonen ist dies möglich und für thermische Geschwindigkeiten. Muss es bei den Geschwindigkeiten dazwischen nicht zwangsweise auch etwas geben?
Vllt. ist aber auch die verschwindende Ruhemasse für Photonen etwas, das dort eine relativistische Optik möglich macht?
Wer weiß mehr, hat Ideen,.. Habe ich mich irgendwo vertan?? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 18. Jan 2013 22:25 Titel: |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: | [...]
[...] |
Dummheitsfehler!
Die Energie E in der Diracgleichung ist die Energie aus der Schrödingergleichung + mc². Die Energie aus der SGL sei T, dann lässt sich oben zitierte Gleichung tatsächlich umformen zu
Die Frage, die jetzt noch bleibt, ist folgende:
KANN MAN MIT DIESER BRECHZAHL NORMALE OPTIK BETREIBEN?
Dazu würde z.B. eine Art Snellius Gesetz gehören.
Für Flüsse
sollten die Winkel des einkommenden und gestreuten Strahls also
[latec] \frac{sin(\alpha_1)}{sin(\alpha_2)}=\frac{N_2}{N_1}[/latex]
schreiben lassen.
Hat jemand eine Idee, wie man das machen kann? |
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