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The_Nati
Anmeldungsdatum: 29.10.2012
Beiträge: 34
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 The_Nati Verfasst am: 29. Okt 2012 17:31 Titel: Potentielle Energie auf einer Bahnkurve |
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Hallo Leute!
Ich hätte da mal ne Frage zur Berechnung der Potentiellen Energie...
Und zwar hab ich eine Kraft gegeben als:
 = -\frac{a \vec{r}}{|\vec{r}|^3} )
In dem System ist eine Bahnkurve parametrisiert als :
 \\
<br />
pn\\
<br />
\sqrt{\frac{mp^3}{a}\frac{n}{2}(1+\frac{n^2}{3})}\end{pmatrix} )
Dafür soll ich jetzt die kinetische und die potentielle Energie durch n parametrisiert berechnen.
Die kinetische Energie hab ich halt nach E=m*v berechnet wobei v die erste Ableitung von r nach n ist...
Allerdings weis ich jetzt nicht wie ich die potentielle Energie berechne 
Bei dem "normalen" Fall, der mir dazu einfällt, gilt ja einfach E= mgh...
In dem Fall ist mir auch klar woher der Zusammenhang kommt, allerdings
kann ich es auf mein Problem nicht übertragen
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich hier vorgehen soll?
Vielen Dank im vorraus!
Gruß  |
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szabo
Anmeldungsdatum: 29.12.2011
Beiträge: 25
Wohnort: Dresden
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| szabo Verfasst am: 29. Okt 2012 17:47 Titel: |
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Hallo Nati,
vll solltest du einige Begriffe wiederholen ;-) :
Wenn deine Kraft eine konservative ist, so kann sie als der Gradient deines gesuchten Potentials dargestellt werden. Im Umkehrschluss ist es dann möglich dein Potential als Integral über deine Kraft zu schreiben.
Dann deine Parametrisierung einsetzen und das Integral ausrechnen und fertig.
Btw:
 ?
Denk da nochmal drüber nach ;-) Falls noch Fragen auftauchen, einfach nochmal fragen.
LG szabo
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"Science is like sex, sometimes something useful comes out but that is not the reason we are doing it!“ Feynman |
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The_Nati
Anmeldungsdatum: 29.10.2012
Beiträge: 34
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| The_Nati Verfasst am: 29. Okt 2012 21:27 Titel: |
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Ups peinlich...
Und dann mit dem Differential von  nach n ergibt sich:
]
<br />
)
Also das Potential für die Kraft hatte ich berechnet als:
 = -F(\vec{r}) )
 = \frac{a}{2} \cdot |\vec{r}|^{-\frac{1}{2}} )
Sieht das erstmal richtig aus oder soll ich nochmal die einzelnen Schritte aufschreiben?
Jetzt ist die Frage wie berechne ich aus dem Potential die potentielle Energie? 
Einfach für die entsprechenden Werte der Bahnkurve einsetzen und ausrechnen?
Aber du meinst ja erst einsetzen dann integrieren...
Nur dann hab ich ja wenn ich über die Kraft integriere einen Vektor stehen, was mach ich denn damit?
Mir fällt da spontan nur das Kurvenintegral ein...
Soll ich es damit lösen?
Danke für die Hilfe  |
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szabo
Anmeldungsdatum: 29.12.2011
Beiträge: 25
Wohnort: Dresden
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| szabo Verfasst am: 29. Okt 2012 21:57 Titel: |
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Hey,
du solltest doch die Begriffe wiederholen ;-). Also deine kin. Energie sieht ganz gut aus, auch wenn ich jetzt nicht nachgerechnet habe, da ich darauf vertraue, dass du differenzieren kannst. Mit Potential ist natürlich die Potentielle Energie gemeint (Vorsicht in der ED ist dem nicht so!), wohingegen das Potential (die potentielle Energie) welches du da hingeschrieben hast mir nicht wirklich richtig erscheint, denn wenn ich mal spontan den Gradienten darauf anwende, dann kommt da nicht wirklich deine Kraft raus. Mit Integration meinte ich demnach folgende:
d\vec r) .
Ich bitte dich aber nochmal nachzulesen wieso du das so machen kannst, also konservative Kraft etc. .
An sich ist es egal ob du erst integrierst und dann einsetzt oder umgekehrt, so wie sich das auch für verschiedene Parametrisierungen gehören sollte. Das Integral musst du auch nicht wirklich ausrechnen, wenn du dir überlegst, was nach dem Gradientenbilden so aussieht wie deine Kraft. Vergiss dabei bitte nicht folgendes:
 = \frac{d}{dr}f(r)\cdot \vec e_r \qquad \text{mit } r=\vert \vec r\vert \text{ und } \vec e_r= \frac{\vec r}{r})
LG szabo
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The_Nati
Anmeldungsdatum: 29.10.2012
Beiträge: 34
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| The_Nati Verfasst am: 29. Okt 2012 23:17 Titel: |
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mmh okay irgendwie krieg ich das grad nicht ganz zusammen..
also konservative Kraft hab ich mir nochmal angeguckt was ich dazu habe.
so wie ich das verstanden habe verschwindet bei einer Konservativen Kraft die Rotation, war auch ein Teil der Aufgabe das zu zeigen.
Bei uns laut Definition kann man eine konservative als Gradient einer Funktion darstellen.
Diese Funktion nennet sich dann das Potential.
Umgekehrt wenn ich die konservative Kraft zu diesem Potential berechen, wenden ich den Gradienten an.
Ist auch klar.
So wie ich das jetzt verstanden habe ist in dem Fall Potential und potentielle Energie das gleiche macht ja auch Sinn.
So Fehler bei meinem Potential hab ich glaub ich gefunden.
Hab jetzt:
 = \frac{-a}{|r|} )
Wenn ich darauf jetzt wieder den Gradient anwende ( jeweils nach x,y,z ableiten, ergibt jeweils die x-,y-,z-Spalte) ergibt das doch wieder meine Kraft oder?
Da  = \frac{\partial}{\partial x} \phi(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial x}( \frac{-a}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}})}) = \frac{-ax}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} )
Hab ich als Kontrolle noch mal bei wolfram alpha eingegeben also denke mal das stimmt so..
Wenn ich das jetzt für x,y,z analog mache dann bleibt für die Spalten ja immer stehen ^{\frac{3}{2}}} ) wobei j halt jeweils x,y,z ist...
Damit kann ich dann den Term vor x,y,z ausklammern und hab somit wieder 
Was ) entspricht und somit doch bewiesen ist, dass das Potential von F ist, richtig?
So und für r würde ich jetzt einfach die Bahnkurve einsetzen und ausrechnen.
Sorry das ich mich so blöd anstelle aber mit dem hier kann ich grad nichts anfangen:
 = \frac{\partial}{\partial r} f(x) \cdot \vec{e_r} )
Also ich verstehe schon wie es gemeint ist ^^
Aber ich weis nicht so ganz wie ich es in dem Fall anwenden soll
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szabo
Anmeldungsdatum: 29.12.2011
Beiträge: 25
Wohnort: Dresden
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| szabo Verfasst am: 29. Okt 2012 23:41 Titel: |
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Ach Nati,
warum denn so kompliziert, mit
 = \frac{d}{dr}f(r)\cdot \frac{\vec r}{r})
meine ich eine Rechenregel des Gradienten: Hängt deine Funktion auf welche du den Gradienten anwenden magst nur vom Betrag von  ab, so kann man die Funktion einfach nach  ableiten und mit dem Einheitsvektor in Richtung von multiplizieren. Der Einheitsvektor ist dabei einfach der schon angegebene Vektor  (einfach mal den Betrag bilden, dann wird klar warum der Einheitsvektor heißt ;-)). Die Funktion, von der hier krypischer Weise die Rede war ist natürlich deine potentielle Energie, denn wenn du genau hinschaust hängt diese nur vom Betrag von ab, es gilt also:
 = \frac{d}{dr}\left(-\frac{a}{r}\right)\cdot \frac{\vec r}{r}=\frac{a}{r^2} \cdot \frac{\vec r}{r}=-\vec F) ,
wobei  natürlich wieder den Betrag von bezeichnet.
LG szabo
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