Ebene Wellen als Grenzfall sphärischer Wellen

wmech · Gast

Hi. Ich wollte aus Eigeninteresse mal ebene Wellen als Grenzfall sphärischer mal mathematisch sinnvoll herleiten. Meine Motivation ist reine Freude am Rätseln und Rumprobieren.

Ich fühl mich an einer Stelle aber nicht sehr komfortabel in der Herleitung. Ich schildere mal meine Gedanken:

Wir betrachten sphärische Lösungen der Wellengleichung für elektrische Felder, der Form:

ObdA messen wir auf der z-Achse in sehr großer Entfernung zur Quelle. Weiter fordern wir:

Womit wir nähern können:

Weiterhin wollen wir das elektrische Feld nur in einer kleinen Umgebung entlang der Gerade auf welcher Quelle und Beobachtungspunkt liegen. Womit wir ansetzen:

sowie:

Soweit steht nun da:

Nun beginnt der Teil an dem ich mich unkomfortable fühle. Eigentlich würde ich jetzt am liebsten den zweiten Bruch auf der rechten Seite der Gleichung am liebsten weg argumentieren, indem ich mittels der geometrische Reihe

sage, dass alle Ordnungen größer 0, wegen der Bedingung

vernachlässigbar sind. Allerdings müsste ich nach diesem Argumentationsmuster auch den Sinus als Potenzreihe ausschreiben und mit der geometrischen Reihe multiplizieren, woraufhin das nähern hin zur ebenen Welle nicht mehr funktionieren würde (Periodizität geht verloren). Belasse ich es dabei und betrachte nicht die Potenzreihendarstellung des Sinus und führe trotzdem stur die Näherung durch, geht auch die Periodizität verloren.

Ich muss also irgendwie eine sinnvoll argumentierte Näherung durchführen, welche die Epsilon-Abhängigkeit des Sinus aufrechterhält, mir aber die Epsilon-Abhängigkeit der Amplitude eliminiert. Ich wäre dankbar für einige neue Ansätze und Vorschläge und auch gewiefte mathematische Ideen.

Namenloser324 · Gast

Achso, die Reihenentwicklung ist nur dann sinnvoll wenn du auch 1/(1+e/z0) durch 1-(e/z0)(dein Fehler ist, dass du schon die erste Potenz vernachlässigst) ersetzt für kleine e, denn ansonsten brauchst du sie nicht bemühen da sonst dort steht A=A.

Dann kannst du das Sinus reinziehen und erhälst 1*sin(blabla)-(e/z0)*sin(blabla) und letzteres ist natürlich seehr klein für kleine e.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hat es mit der Beschränkung auf das E-Feld und auf monochromatische Wellen eine besondere Bewandtnis?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

Nun, du kannst den Betrag im Sinus sicher weglassen, z.B. durch Fallunterscheidung oder eben durch Betrachtung nur eines Halbraumes mit z>0. Dann müsstest du den Sinus um Epsilon entwickeln.

Das ist aber m.E. alles nicht sinnvoll, da die so gewählte Näherung nur für einen kleinen Bereich für Epsilon sinnvoll funktioniert, die ebene Welle aber gerade durch eine großräumige Gültigkeit ausgezeichnet ist. Du scheiterst außerdem an der Betrachtung für größere x und y.

Warum möchtest du Kugelwellen durch ebene Wellen annähern?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

1.) @franz... denkst Du eigentlich nach bevor du schreibst?

2.) @all
Das 1/r in der kugelsymmetrischen Loesung kommt einfach vom Umschreiben des Laplace Operators in Kugelkoordinaten (siehe [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Spherical_waves]hier[/ur]). Mit andere Worten, r*Kugelwellen ist in guter Naeherung eine eben Welle fuer grosse Radien...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT

Lieber jh8979!