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Mkr
Gast
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 Mkr Verfasst am: 23. Mai 2011 12:36 Titel: Einwirkung von vier Federn auf ein Teilchen |
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Meine Frage:
Im Moment stehe ich vor einem wahrscheinlich eigentlich trivialen Problem bezüglich eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators.
Aussgangssituation ist folgende:
Ein Teilchen der Masse m befindet sich in der Mitte von vier Federn mit jeweils gleicher Federkonstante k.
Die Ruhelage dieses Teilchens ist beschrieben durch:
Die Aufhängepunkte der Federn lauten:
Die Beiträge der einzelnen Federn zum Potential sind:
= \frac{1}{2}k(l_{i}(x,y)-a)² )
Dabei ist ) die Länge der Feder i.
Gesucht ist nun:
Die Hesse-Matrix V(2) sowie die Taylor-Entwicklung von V(x,y) bis zur quadratischen Ordnung.
Meine Ideen:
Zuerst muss ich aus den einzelnen Potentialen ) das Gesamtpotential ) . Und genau an dieser Stelle hapert es leider schon. Reicht es, wenn ich sage:
=V_{1}(x,y)+V_{2}(x,y)+V_{3}(x,y)+V_{4}(x,y)) ?
Irgendwie will mir der Ansatz aber nicht gefallen, da die Federn ja aus vier unterschiedlichen Richtungen auf das Teilchen wirken.
Nachdem ich das Gesamtpotential habe, muss ich es Ableiten. Da das System einen Freiheitsgrad von 2 besitzt, resultiert am Ende eine 2x2 Hesse-Matrix mit:
Führe ich jedoch diese Ableitungen durch werden die Komponenten zu gewaltigen Termen, die sich mir irgendwie nicht erschließen wollen.
Setze ich dann die Ruhelage ein, so resultiert in allen Fällen immer 0. Das kann ja auch irgendwie nicht korrekt sein.
Ich vermute, dass mein Fehler schlicht und ergreifend beim Gesamtpotential liegt, ich kann ihn aber leider nicht erkennen. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 23. Mai 2011 16:07 Titel: |
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Mit der Summe der Potentiale ist alles in Ordnung, das ist ja genau das Vorteil daran. Du kennst aber l(x,y) nicht und kannst daher es auch nichts direkt ausrechnen. Ist dein Potential schon so vorgegeben?
Ich würde als Potential folgendes nehmen:
 = \frac 12 k (\sqrt{(x-a_{i,x})^2 + (y-a_{i,y})^2}-d_i)^2)
Wo d die Länge einer kräftefreien entkoppelten Feder ist. Wenn du Glück hast und alle Feder kräftefrei die Länge a haben, dann ist d=a für alle Feder. |
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Mkr
Anmeldungsdatum: 23.05.2011
Beiträge: 15
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| Mkr Verfasst am: 23. Mai 2011 16:20 Titel: |
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Hallo. Vielen Dank für die Antwort.
Das Potential für jeweils eine der Federn (sowie alles, was im oberen Teil meines Posts steht), ist leider genau so vorgegeben.
Dadurch das unbekannt ist, stellt sich mir die Frage erst, wie es weiter geht. Wie gesagt, ich habe den Ansatz weiter verfolgt, indem ich die 4 Potentiale der Federn aufaddiert habe. Es resultiert dann:
=\frac{1}{2}k[(l_{1}(x,y)-a)²+(l_{2}(x,y)-a)²+(l_{3}(x,y)-a)²+(l_{4}(x,y)-a)²] )
Das ganze hab ich dann zunächst zweimal nach x abgeleitet. Der resultierende Ausdruck ist aber so riesig und nichtssagend, dass mir ein bisschen das Verständnis für ihn fehlt. (Wegen irgendwas sind Übungsaufgaben ja immer gut  ) - Natürlich könnte ich nun die vier gesuchten Ableitung einfach errechnen und in die Hesse-Matrix packen. Aber vereinfacht oder schlüssig wird dadurch auch nichts. Deshalb habe ich mir die Frage gestellt, ob das Addieren der Potentiale in der Form, wie ich es getan habe, überhaupt erlaubt ist. Eventuell macht beim "richtigen" Ergebnis das Ableiten, sowie das Einsetzen mehr Sinn.
Und wie bereits gesagt, dadurch, dass ich am Ende um die Ruhelage entwickeln muss, resultiert überall 0. Das kann ja auch eigentlich nicht sein. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 23. Mai 2011 16:56 Titel: |
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Null kommt da nicht raus, da du l(x,y) nicht kennst, kannst du den Ausdruck überhaupt nicht auswerten. Mir liegt die Vermutung nah, dass die Bestimmung von l(x,y) einfach dir als Teil der Aufgabe überlassen ist.
Wie in meinem voherigen Beitrag steht:
=\sqrt{(x-a_{i,x})^2 + (y-a_{i,y})^2})
Die Hessematix ausgewertet auf der Stelle (0,0) ist dann
=\begin{pmatrix} 2k & 0 \\ 0 & 2k \end{pmatrix})
und das sieht genau so aus, wie man es erwarten würde.
Diese Matrix bedeute, dass in der Näherung diese Schwingung so aussieht, als ob die horizontale und vertikale Bewegungen entkoppelt wären. Die Federkonstanten beider horizontalen(bzw. vertikalen) Feder addieren sich entsprechend, als ob diese durch eine einzelne Feder mit doppelter Federkonstante ersetzt wären. |
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Mkr
Anmeldungsdatum: 23.05.2011
Beiträge: 15
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| Mkr Verfasst am: 23. Mai 2011 17:05 Titel: |
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| Rmn hat Folgendes geschrieben: | | Null kommt da nicht raus, da du l(x,y) nicht kennst, kannst du den Ausdruck überhaupt nicht auswerten. |
Ah, da lag dann wohl mein Denkfehler. Ich hatte diesen Ausdruck nämlich nach dem Einsetzen der Ruhelage als 0 ausgewertet. Aber stimmt, den Ausdruck an sich kenne ich ja garnicht. Und lösbar ist die Aufgabe nicht, ohne ihn zu kennen. Deshalb macht es wirklich Sinn, sich erst einmal diesen Ausdruck näher anzusehen.
Vielen Dank, jetzt kann ich die Aufgabe lösen. |
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McClane
Anmeldungsdatum: 02.06.2012
Beiträge: 63
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| McClane Verfasst am: 02. Jun 2012 13:16 Titel: |
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Hallo,
ich bearbeite momentan die gleiche Aufgabe und habe Probleme auf die Hesse-Matrix zu kommen. Um die Hesse-Matrix zu erhalten, muss doch zb für den ersten Eintrag,) zweimal partiell nach x ableiten. Ich habe ) durch den oben genannten Ausdruck ersetzt und wie schon gesagt, zweimal partiell nach x abgeleitet. Jedoch erhalte ich dann einen sehr sehr großen Term, der sich auch nicht weiter vereinfachen lässt. Ist dieser Lösungsweg überhaupt so richtig? |
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