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Teilchen im Kasten - Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit
 
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nox



Anmeldungsdatum: 14.02.2011
Beiträge: 6

Beitrag nox Verfasst am: 14. Feb 2011 13:18    Titel: Teilchen im Kasten - Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit Antworten mit Zitat

Aufgabe:
In einem eindimensionalen Kasten der Länge L erfährt ein Elektron ein Potential U, für das gilt:


a) Berechnen Sie den Ort bzw. die Orte, an denen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektron im Grundzustand bzw. ersten angeregten Zustand maximal wird.

___________________________________________________

Die Wellenfunktion des Grundzustandes:



Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist ja das Quadrat der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, also:



Um das Maximum herauszufinden, muss ich die Gleichung jetzt integrieren und gleich null setzen, dabei verhedere ich mich aber irgendwie total und lande jedes Mal bei L = 0



Auf beiden Seiten mit 2*L^6*pi multipliziert fällt der Nenner weg, im Zähler hab ich L^3 ausgeklammert, sodass bei mir jetzt noch steht:



Joah, entweder, ich hab mich schon weiter oben vertan oder was übersehen, jedenfalls weiß ich ab hier nicht mehr so recht wie weiter.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14061

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Feb 2011 13:28    Titel: Re: Teilchen im Kasten - Maximale Aufenthaltswahrscheinlichk Antworten mit Zitat

nox hat Folgendes geschrieben:

a) Berechnen Sie den Ort bzw. die Orte, an denen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektron im Grundzustand bzw. ersten angeregten Zustand maximal wird.

Die Integration über x liefert dir die Normierung der Wellenfunktion. Diese muss letztlich Eins sein, was bedeutet, dass dein Teilchen mit der Wahrscheinlichkeit Eins irgendwo im Kasten zu finden ist. D.h. mittels deines Integrals errechnest du die Normierungskonstante.

Gefragt ist aber eigentlich etwas anderes, nämlch der Ort, an dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal wird. Dazu nimmst du die (normierte) Wellenfunktion für den jeweils zu betrachtenden Zustand, berechnest das Absolutquadrat |...|² und setzt ohne Integration die Ableitung nach x gleich Null, um so die Extrema (und insbs. Maxima) zu bestimmen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
nox



Anmeldungsdatum: 14.02.2011
Beiträge: 6

Beitrag nox Verfasst am: 14. Feb 2011 16:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ah ok, da lag der Fehler.
Ich komme damit für den Grundzustand (n=1) auf x = L/pi.
Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle , also eindeutig ein Maximum.
Im 1. angeregten Zustand ist , ebenfalls Maximum. Frage: Die Wellenfunktionen der einzelnen Niveaus haben immer mehr Maxima, je höher das Niveau ist:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ch/13/pc/praktikum1/farbe/images/abb_2.gif
Sollte sich das nicht bei der Berechnung bemerkbar machen?

_____________________

Zu der Aufgabe gehören noch zwei weitere Teilaufgabe, könnte mir jemand bitte sagen, ob meine Ergebnisse stimmen?

b)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich 0,4 L <= x <= 0,7 L im ersten angeregten Zustand anzutreffen?


Ich habe das Absolutquadrat von 0,4 bis 0,7 integriert und komme auf P = 29,48%.

c)
Gegeben sei ein zweiter Kasten der Länge L'. Wie groß muss L' sein, damit die Energie E4(L') des 4. Zustandes in diesem Kasten gleich der Energie E2 (L') des 2. Zustandes des Kastens der Länge L entspricht?



Danke.
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