Teilchen im Kasten - Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit

nox · Anmeldungsdatum: 14.02.2011 Beiträge: 6

Aufgabe:
In einem eindimensionalen Kasten der Länge L erfährt ein Elektron ein Potential U, für das gilt:

a) Berechnen Sie den Ort bzw. die Orte, an denen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektron im Grundzustand bzw. ersten angeregten Zustand maximal wird.

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Die Wellenfunktion des Grundzustandes:

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist ja das Quadrat der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, also:

Um das Maximum herauszufinden, muss ich die Gleichung jetzt integrieren und gleich null setzen, dabei verhedere ich mich aber irgendwie total und lande jedes Mal bei L = 0

Auf beiden Seiten mit 2*L^6*pi multipliziert fällt der Nenner weg, im Zähler hab ich L^3 ausgeklammert, sodass bei mir jetzt noch steht:

Joah, entweder, ich hab mich schon weiter oben vertan oder was übersehen, jedenfalls weiß ich ab hier nicht mehr so recht wie weiter.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 15902

nox · Anmeldungsdatum: 14.02.2011 Beiträge: 6

Ah ok, da lag der Fehler.
Ich komme damit für den Grundzustand (n=1) auf x = L/pi.
Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle

, also eindeutig ein Maximum.
Im 1. angeregten Zustand ist

, ebenfalls Maximum. Frage: Die Wellenfunktionen der einzelnen Niveaus haben immer mehr Maxima, je höher das Niveau ist:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ch/13/pc/praktikum1/farbe/images/abb_2.gif
Sollte sich das nicht bei der Berechnung bemerkbar machen?

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Zu der Aufgabe gehören noch zwei weitere Teilaufgabe, könnte mir jemand bitte sagen, ob meine Ergebnisse stimmen?

b)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich 0,4 L <= x <= 0,7 L im ersten angeregten Zustand anzutreffen?

Ich habe das Absolutquadrat von 0,4 bis 0,7 integriert und komme auf P = 29,48%.

c)
Gegeben sei ein zweiter Kasten der Länge L'. Wie groß muss L' sein, damit die Energie E4(L') des 4. Zustandes in diesem Kasten gleich der Energie E2 (L') des 2. Zustandes des Kastens der Länge L entspricht?

Danke.