Potentielle Energie eines stehenden Stabes

cruzel · Anmeldungsdatum: 09.08.2010 Beiträge: 3

Hallo zusammen,
hab heute eine Aufgabe gerechnet, bei der ein Stab umfällt und die Geschwindigkeit zu berechnen war, die das obere Ende beim Aufprall hat.
Um auf die potentielle Energie zu kommen wurde in der Aufgabe angenommen, diese wäre im Massenschwerpunkt des Stabes konzentriert und somit

.

Das einfach anzunehmen, war mir nicht ganz geheuer und ich hab dann versucht irgendwie die Energie über Integration über die Länge des Stabes zu berechnen, bin da jedoch gescheitert.

Schließlich bin ich auf eine andere Idee gekommen ... Man könnte doch den Stab in x Teile unterteilen (jedes Teilchen hätte dann die Höhe l/x und die Masse m/x) und für diese jeweils einzeln die potentielle Energie bestimmen und am Ende alle Energien addieren. Je kleiner man den Stab unterteilt, desto genauer sollte diese Rechnung werden. Nja dann hab ich halt mal angefangen das zu zeichnen und die Rechnung aufzustellen...

http://a.imageshack.us/img830/5110/stabe.jpg

Meine Rechnung:

http://a.imageshack.us/img831/1671/formel.png

Leider kann mein Taschenrechner die letzte Gleichung nicht lösen und auch wenn ich für x mal probeweise z.b. 1000 einsetze, kommt nicht annähernd

heraus.

Weis jemand Rat?

Grüße,
cruzel

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich bin mit den Gleichungen, die du aufgestellt hast, einverstanden smile

Dass bei dir beim Auswerten des Summenausdruckes am Ende nicht 1/2 rauskommt (

), dürfte wahrscheinlich einfach nur daran liegen, dass dein Taschenrechner diesen Ausdruck, so wie du ihn ihm eingegeben hast, vielleicht noch nicht ganz verstanden hat, oder dass dein Taschenrechner eventuell einfach irgendwelche numerischen Probleme beim Zusammenzählen der vielen Summenglieder gehabt hat.

Magst du im Zweifelsfall einfach mal ausprobieren, was dein Taschenrechner ausgibt, wenn du für x mal 2 nimmst, oder x=5, oder x=10 ? (oder ganz geduldig mal x=1, x=2, x=3, ...) Dann sollte sich der Wert entweder schon einigermaßen (von unten kommend) an 1/2 annähern, oder du siehst den Ausgaben des Taschenrechners vielleicht dann schon ein bisschen an, wo ein eventuelles Eingabe-Missverständnis zwischen dir und der Interpretation des Rechners liegen könnte.

Oder magst du einfach mal die Variable statt mit x mit dem üblicheren Namen n bezeichnen? Vielleicht versteht das der Rechner automatischer als eine natürliche Zahl, so wie du sie meinst.

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Anmerkung: In deiner Herleitung hast du jeweils angenommen, dass der Schwerpunkt einer Teilscheibe an ihrem unteren Rand liege. Wenn die Scheiben dann am Ende unendlich viele und unendlich dünn werden, stimmts trotzdem wieder. Bei Beispielen für endliche Werte für x wirst du allerdings immer Ergebnisse bekommen, die ein kleines bisschen unterhalb von 1/2 liegen. Also eine Folge, die "von unten gegen 1/2" konvergiert (gegen

).

cruzel · Anmeldungsdatum: 09.08.2010 Beiträge: 3

Hey markus.
danke für die Antwort! Ich habs jetzt mal mit einem Mathematik Programm probiert (mathematica) und der berechnet den grenzwert brav sogar bis unendlich und gibt mir dann genau die

.

Grüße,
cruzel

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519

Beim letzten Term deiner Summe ist glaube ich ein Fehler drin (ist natürlich nur dann wichtig, wenn du die Rechnung so abgeben wolltest, war vielleicht auch bloß ein Tippfehler oder so):

(m/x)*g*(l-(x-x)*l/x )
da wäre der letzte ausdruck ja (m/x)*g* l (weil x-x=0) aber nach Fortsetzung der Reihe wäre es richtigerweise l-x*l/x, womit der gesamte letzte Ausdruck 0 wird (Epot des untersten Teil des Stabes ist ja 0, wenn der SP wie überall unten liegt).

Oder ich bin bekloppt und habe was übersehen ^^

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, fuss, das war ein Schreibfehler von cruzel im letzten Term in der zweiten Gleichung in seinem zweiten Link. Die Gleichungen darunter stimmen dann aber wieder.

cruzel · Anmeldungsdatum: 09.08.2010 Beiträge: 3

Oh, stimmt. Danke für den Hinweis!

Grüße,
cruzel

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519