geostationäre Bahn

Gast0815 · Gast

Aufgabe: Ein Satellit soll im Weltraum auf einer festen Position über dem Äquator stehen. Welche Höhe über der Erdoberfläche muss diese Umlaufbahn haben (Ergebnis ca. 35900km).

Gegeben:

Nun mein Ansatz:

Um über der selben Position über dem Äquator zu stehen muss der Satellit auf dieser Bahn genau 24 Stunden für eine Umdrehung benötigen.

Es gilt für die Geschwindigkeit:

Außerdem muss die Radialkraft gleich der Anziehungskraft sein, damit der schöne Satellit nicht runterfällt:

Beide Ansätze zusammengeführt:

Ich habe jetzt x-mal die Werte eingesetzt und auch die 24h ordentlich in Sekunden umgerechnet, ich komme partout nicht auf das richtige Ergebnis. Ist meine Umformung bis dahin falsch ?

Vom Ergebnis für r muss ich dann ja noch den Erdradius abziehen, aber auch das haut nicht ansatzweise hin.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3248

deine Ableitungen stimmen.
Mit deinen Formeln komme ich auf das richtige Ergebnis.

Warum du jedesmal das falsche rausbekommst, weiß ich nicht.

zeig mal die Formel exakt umgerechnet mit werten.

Welche Werte setzt du ein?
bzw dein Ergebnis

Gast0815 · Gast

Oh je,

ich habe total verpennt das mein Ergebnis ja in Metern war. In Km umgerechnet und abzüglich des Erdradius haut es jetzt auch hin. Mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.

Beim 2. Aufgabenteil stehe ich jetzt aber total auf dem Schlauch.

Gesucht ist nun die Energie die die Triebwerke benötigen um den Satelliten in eine Bahn zu bringen, in welcher die Umlaufzeit doppelt so groß ist.

Gehe ich hier von konstanter Geschwindigkeit auf beiden Bahnen aus und sage erstmal: Wenn die Umlaufzeit doppelt so lang ist, dann ist auch der Weg Doppelt so lang? Dann müsste man den Satelliten von 35,9km auf eine Entfernung von 71,8km bringen und dafür die notwendige Energie berechnen.

Auf der Erde hätte ich irgendwie mit dem Energieerhaltungssatz gearbeitet, aber ich kenne ja weder die Geschwindigkeiten auf beiden Bahnen noch gilt E_kin=mgh ... grübelnd

Gast0815 · Gast

So , habe im Internet jetzt Das dritte Keplersche Gesetz gefunden, welches in meinem Lehrbuch garn icht auftaucht. Danach würde ich sagen dass sich bei doppelter Umlaufzeit der Radius um den Faktor

vergrößert (oder?).

Wäre noch die Sache mit der Energie zu klären....

armchairastronaut · Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 30 Wohnort: Keulen

Dritte Wurzel von 4 ist okay.

Du brauchst für den Rest der Aufgabe die Beträge der kinetischen und der potenziellen Energie, aus der sich die Gesamtenergie des Satelliten zusammensetzt.

Du rechnest also die Hubarbeit aus, die aufgewendet werden muss, um den satelliten im Gravitationsfeld der Erde bis in die gewünschte Höhe zu bringen (m*g*h reicht dazu nicht aus, weil die Gravitationskraft in dem hier relevanten Bereich nicht als konstant angenommen werden kann).

Tipp: die Gravitationskraft ist Fg=G*m*M/r². Wenn du die über den gesamten Hubweg integrierst, kommt die Hubarbeit als Ergebnis rausgepurzelt.

Und die Bahngeschwindigkeit des Satelliten musst du halt auch noch kennen. Dazu weißt du aber, dass die Zentralkraft auf de Bahn genau gleich der Gravitationskraft ist, woraus du die Bahngeschwindigkeit herleiten kannst.

Gast0815 · Gast

Schon mal danke für die ausführliche Antwort.

Um aber erstmal auf den richtigen Radius zu kommen: Mein Bezugspunkt ist doch der Erdmittelpunkt. Ich sollte in Aufgabenhteil a) zwar den Abstand zur Erdoberfläche berechnen, habe also von den rund 42km noch die 6,4km Erdradius abgezogen. Wenn ich jetzt mit 3. Kepplerschen Gesetz den neuen Radius berechnen will für die doppelte Umlaufzeit, dann rechne ich doch

, und erhalte damit meinen "neuen" Radius, oder etwa nicht?

armchairastronaut · Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 30 Wohnort: Keulen

Sagen wir vorsichtshalber erst einmal, dass es um 42000km geht (nicht 42km!)

Nun gilt nach Kepler 3:

T2³/T1³ = a2³/a1³

Wenn nun gefordert ist, dass T2=2*T1, dann wird aus der obigen Beziehung die folgende:

(2*T1)²/T1² = a2³/a1³
oder, vereinfacht:
a2³/a1³=4

Oder, da ja a2 gesucht ist: a2 = 3. Wurzel (4*a1³)
oder vereinfacht: a2 = a1* (3. Wurzel (4))
Bzw. in LaTEX:

EDIT:
was natürlich gleichbedeutend ist mit