Was passiert, wenn man die Erde anschubst / abbremst?

Mistmatz · Gast

Nach dem dritten Kepler'schen Gesetz gilt ja:

Was passiert nun, wenn ich die Bahngeschwindigkeit

der Erde verändere? Nach obiger Formel: Wenn ich die Erde abbremse, braucht sie für den Umlauf um die Sonne länger, also wird

größer. Das muss doch aber heißen, dass

auch größer wird, sich die Erde also von der Sonne entfernt.
Würde ich die Erde also so weit abbremsen, dass sie nahezu stehen bleibt (

), wird die Umlaufzeit unendlich groß (

) und die Erde entfernt sich unendlich weit von der Sonne.

So weit so gut. Ich kann mir das aber irgendwie nicht vorstellen. Ich denke, wenn die Erde abgebremst würde, würde sie sich doch der Sonne annähern und bliebe die Erde so wie oben stehen, müsste sie doch eigentlich direkt auf die Sonne stürzen und mit ihr kollidieren.

Wo mach ich den Fehler?

Röhrenfan · Anmeldungsdatum: 29.09.2009 Beiträge: 129

Mistmatz · Gast

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Der Name KEPLER erinnert uns an eine bestimmte Bahnform der Planetenbewegung und an drei Gesetze dazu.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Vergiss das Keplersche Gesetz erst einmal und betrachte die Kräftebilanz. Dann sollte dir etwas auffallen.

Gruß
MI

Mistmatz · Gast

Dass die Erde weiter nach außen geht, wenn sie schneller wird und umgekehrt ist mir klar.
Ich stell mir das immer so vor: Die Erde fällt eigentlich auf die Sonne drauf. Nur hat sie bei ihrer Entstehung etwas Schwung in eine Richtung mitbekommen. Da im Weltall nichts ist, was sie bremst, bewegt sie sich immer weiter, ohne langsamer zu werden.
Die Erde wird nun also von der Sonne angezogen, aber während sie sich auf die Sonne zubewegt, bewegt sie sich auch im Raum weiter und fällt dann quasi an der Sonne vorbei und weil die Sonne eine Kugel ist, passiert das auf der anderen Seite auch wieder und die Erde fällt wieder an der Sonne vorbei und das die ganze Zeit.
Wenn die Erde jetzt schneller wird, bewegt sie sich in der Zeit, in der sei von der Sonne, sagen wir mal 1m angezogen wird, eine größere Strecke im Raum weiter, als vorher (da schneller). Sie fällt also noch weiter an der Sonne vorbei, sprich der Bahnradius wird größer.

Soweit so gut. Aber betrachten wir es mal (schul-)mathematisch: Aus kleiner werdender Geschwindigkeit folgt eine kleinere Umlaufdauer und dann aus der Keplerkonstanten ein kleinerer Bahnradius. Das widerspricht aber meiner Idee von oben. Also muss doch da mittendrin noch irgendwas anderes passieren grübelnd

[Edit: Grammatik]

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ich möchte noch einmal auf die Kräftebilanz zurückkommen. Was ändert sich? Was sagt dir Newton dann?

Gruß
MI

Mistmatz · Gast

Also in beiden Fällen ist die entscheidende Kraft die Gravitationskraft der Sonne.

Diese wirkt als Zentralkraft. Damit ist die Kraft auf die Erde

Diese sind gleich, also kann ich gleichsetzen und nach der Geschwindigkeit auflösen. Das Resultat ist

Das heißt, wenn der Radius größer wird, wird die Bahngeschwindigkeit kleiner, also:
Wenn die Bahngeschwindigkeit größer wird, wird der Radius kleiner...? grübelnd

Edit: Fehlerkorrektur: Die Gleichung für die Geschwindigkeit muss natürlich lauten:

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Du betrachtest immer nur statische Fälle, d.h. Umlaufbahnen, die sich NICHT ändern. Insbesondere betrachtest du Kreisbahnen - wenn die Erde aber kurz abgebremst würde, dann würde sie garantiert nicht auf eine Kreisbahn hinunterfallen (Siehe franz' Anmerkung).

Jetzt zum Fall einer wechselnden Umlaufbahn. Betrachte einfach mal eine elliptische Umlaufbahn und was da an den einzelnen Stellen passiert. Das sollte dir verstehen helfen, was mit der Erde passieren würde. Zeichne bei einer Ellipse einfach mal die Kräfte ein!

Gruß
MI

Mistmatz · Gast

Ich glaube langsam aber sicher versteh ich worauf du hinaus willst.
Nur: Elliptische Bahnen hatten wir im Unterricht nicht. Wir haben das in der Schule auf Kreisbahnen beschränkt. Geh ich richtig in der Annahme, dass sich bei einer elliptischen Umlaufbahn die Bahngeschwindigkeit ständig ändert? Also dort, wo die Ellipse "flacher / enger" ist, ist die Bahngeschwindigkeit kleiner, als an den Enden? Ist das nicht sogar Kepler-2: "Gleiche Flächen in gleichen Zeiten"?

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Genauso ist es. Daher auch der Hinweis von Franz.
Guck dir zum Beispiel mal Kometenbahnen an. Die werden immer schneller, je näher sie der Erde kommen und wenn sie sich entfernen, dann werden sie langsamer. Wenn du dir die Kräfte einzeichnest, dann siehst du, dass eben manchmal eine Bremsung entsteht, manchmal eine Beschleunigung.

Wenn du willst, kannst du das ganze auch energetisch betrachten:
Die Erde hat eine gewisse Gesamtenergie, die sich zusammensetzt aus der potentiellen Energie und der kinetischen Energie.
Wenn du nun die Erde (z.B.) bremst, entziehst du ihr kinetische Energie. Dies führt dazu, dass sie sich der Sonne annähern muss, weil kein Gleichgewicht mehr zwischne den Kräften herrscht: Dabei wird aber potentielle Energie in kinetische umgewandelt, was zu einer Beschleunigung führt (teilweise eben auch in Bahnrichtung - das ist der Knackpunkt). Entsprechend gilt dann auch das dritte keplersche Gesetz immer noch.

Gruß
MI

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hier

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/kepler6.htm

gibt es ein nettes Applet zum Thema zum Spielen. smile

Einfach einen Planeten mit der Maus platzieren und gucken, was passiert. Wenn man den Planeten mit der Maus mit Schwung platziert (Maus gedrückt halten, ziehen und loslassen), kann man ihm eine Anfangsgeschwindigkeit geben.

Mistmatz · Gast

Ah, jetzt blick ich langsam durch. Ich hab mir immer nur zwei Formeln angeschaut und mich zu sehr darin verbissen, was passiert, wenn das eine größer und das andere kleiner wird...
Vielen Dank smile