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Sphärisch symmetrischer Potentialtopf in der Quantenmechanik
 
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Autor Nachricht
Felipe



Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36

Beitrag Felipe Verfasst am: 21. Jan 2009 15:45    Titel: Sphärisch symmetrischer Potentialtopf in der Quantenmechanik Antworten mit Zitat

Hallo miteinander!
Wir haben mal wieder eine große Aufgabe bekommen, die wir bis sonntag lösen sollen.. Ich bin leider nicht ganz so fit in der Quantenphysik, daher bin ich auf eure hilfe angewiesen und würde mich freuen, wenn wir das gemeinsam hinkriegen könnten. Nicht verwundern, wenn in der Aufgabe was von Mathematica steht, dass bekomme ich schon umgesetzt, wenn ich überhaupt weiß, was ich tun soll Augenzwinkern

Hier erstmal die komplette Aufgabenstellung:

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Ein Teilchen mit Masse m und Energie E sei in einem sphärisch symmetrischen Potential V(r)
gebunden. Für die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung gilt dann bekanntlich


( k=1,2,3,…; l=0,1,2,…; m=-l bis +l )

Für das Potential gelte:

und es sei
.

a) Welche Lösungsansätze für R(r) bzw. u(r) liefert Mathematica algebraisch für die „Radiale
Schrödingergleichung“ ? Bestimmen Sie mit Hilfe der physikalischen Randbedingungen für r=0 und ;, sowie der Stetigkeitsforderung für die Radialfunktion bei a, welche Form die Eigenfunktionen
der gebundenen Zustände für beliebiges l=0, 1, 2,… in den Bereichen r<a und r>a annehmen müssen.


b) Wählen Sie die Werte m=1, , a=1, V0=100. Bestimmen Sie für l = 0, 1, 2 jeweils alle
gebundenen Energiezustände auf vier Nachkommastellen genau.


c) Die Fälle l = 0 und l = 1 werden häufig in Lehrbüchern (siehe z.B. Nolting, Bd.5, II (1993), p.129,
p.393) algebraisch berechnet und führen auf relativ einfach strukturierte transzendente Bestimmungsgleichungen für die gebundenen Energiezustände. Bestimmen Sie deren Lösungen und
vergleichen Sie mit Ihren Ergebnissen unter b).

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Bin echt für jede HIlfe dankbar!! Thumbs up!
pfnuesel



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich

Beitrag pfnuesel Verfasst am: 22. Jan 2009 04:09    Titel: Antworten mit Zitat

Wink

Was hast du dir denn zu dieser Aufgabe bereits überlegt? Kennst du die radiale Schrödinger-Gleichung? Weisst du wo sie her kommt? Weisst du welche Randbedingungen zu wählen sind? Weisst du was die Stetigkeitsforderung bedeutet?
Felipe



Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36

Beitrag Felipe Verfasst am: 22. Jan 2009 12:31    Titel: Antworten mit Zitat

ich habe mir auf diversen seiten die radiale schrödinger gleichung angeschaut, aber wie ich damit umzugehen hab, weiß ich absolut nicht unglücklich
wenn ich erstmal einen einstieg bekomme, fällt mir der rest evtl leichter.
Gargy



Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046

Beitrag Gargy Verfasst am: 22. Jan 2009 15:43    Titel: Antworten mit Zitat

Felipe hat Folgendes geschrieben:
ich habe mir auf diversen seiten die radiale schrödinger gleichung angeschaut, aber wie ich damit umzugehen hab, weiß ich absolut nicht unglücklich


Versuchs doch mal mit dem Tipp, den die Aufgabenstellung dir gibt... Nolting Band 5. Oder ein Skript zur Vorlesung?

_________________
Ich habe ins Blaue geschossen und ins Schwarze getroffen - Friedrich Dürrenmatt
Felipe



Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36

Beitrag Felipe Verfasst am: 22. Jan 2009 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

ein skript gibt es nicht wirklich.. die vorlesung hat nicht wirklich was mit den aufgaben hier zu tun, deshalb bringen die auch nichts unglücklich
das buch von nolting hab ich leider nicht.. müsste ich mir morgen ausleihen.

aber ich hab mich weiter schlau gemacht. ich brauche doch die differentialgleichung, die sich allgemein aus H = E ergibt. Ich weiß allerdings nicht genau, ob ich nun beide Operatoren (H,E) anwenden muss, ober ob nur H reicht, weil das ja die räumliche ableitung beinhaltet. Irgendwo hab ich auch diese DGL gefunden, aber wie man darauf kommt und ob das die ist, die ich brauche, weiß ich nicht.



und die kann man ja ganz leicht lösen (lassen) mit dem Ergebnis:

pfnuesel



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich

Beitrag pfnuesel Verfasst am: 23. Jan 2009 04:27    Titel: Antworten mit Zitat

Also wir haben zunächst einmal die Schrödinger-Gleichung . Wenden wir darauf den Ansatz an, der in der Aufgabenstellung gegeben ist, so ergibt sich die radiale Schrödinger-Gleichung



So etwas solltet ihr irgendwo einmal gehört haben.

Jetzt lässt du einmal und einmal gehen und schaust wie sich die Gleichung für diese Grenzwerte verhält und ob du irgendwelche Schlüsse daraus ziehen kannst.
Felipe



Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36

Beitrag Felipe Verfasst am: 23. Jan 2009 15:22    Titel: Antworten mit Zitat

das sieht doch schonmal gut aus Thumbs up!
aber wie bist du denn nun darauf gekommen? wenn ich den hamilton-operator anwende, kommt bei mir was anderes raus unglücklich
und woher kommt das l? muss da nicht auch noch ein k rein?
pfnuesel



Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich

Beitrag pfnuesel Verfasst am: 24. Jan 2009 12:01    Titel: Antworten mit Zitat

Die Herleitung ist eigentlich in jedem guten Buch zur Quantenmechanik zu finden. Das kommt rein, wenn du die Energie ersetzt und sind die Eigenwerte zur Kugelfunktion .
physstud



Anmeldungsdatum: 07.02.2009
Beiträge: 50
Wohnort: Schweiz

Beitrag physstud Verfasst am: 09. Feb 2009 02:40    Titel: Antworten mit Zitat

Nur noch mal als Anmerkung, weil du die Energie als Operator oben erwähntest: Die Energiewerte sind die Eigenwerte des Hamilton-Operators, also nicht selber Operatoren. Augenzwinkern
Und die Gleichung ist demnach auch eine Eigenwertgleichung für den Hamiltonoperator H.
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