Fermat-Prinzip und Huygens-Prinzip

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo,

ich verstehe nicht warum das Fermatprinzip aus dem Huygens-Prinzip abgeleitet wird ?

ALso das Huygens -Prinzip hat doch nur Gültigkeiten bei dem Wellenmodell. Das ist doch so, dass wenn Licht auf eine Wand trifft und dort ein Spalt ist, dann ist an dieser "WELLENFRONT??" jede Stelle ein neuer Auslöser für eine Welle. Daraus folgt dann eine neue Wellenfront, der Rest der Wellen löscht sich durch Interferenz aus oder ?

Wenn man nun alle Wellen in Zeigerdarstellung, also die Zeiger addiert, dann sieht man welcher "Wellenweg" der kürzeste von der Quelle zum Ziel ist und welche Wege noch eine Rolle spielen. Es sind ja immer die, die in der Nähe des kürzesten liegen.

=> Stimmt das so oder ist was falsch bzw. fehlt noch was ?

UNd das Fermat-Prinzip besagt doch, dass Licht immer den kürzesten Weg nimmt und was besagt es sonst noch ?

Ich verstehe auch den Zusammenhang überhaupt nicht ?

Gruß

daniel2005

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hej,

meinem Glauben nach ist das Huygenssche Prinzip allgemeiner, da man mit den Elementarwellen auch z. B. Interferenz (am besagten Doppelspalt, etc) erklären kann. Das Fermat-Prinzip wird ja nur höchtens bei LIchtbrechung angwendet, einfach weil es stark teilhaften Charakter des LIchts voraussetzt (schnellster Weg klingt eher nach Kanonenkugeln...). Mit Fermat wüsste ich nicht, wie man Interferenzen erklären sollte...

Naja, und dann kann man natürlich aus dem allgemeinen Fall den Speziellen konstruieren. D. h. angwendet auf Lichtbrechung sind die Ergebnisse die gleichen. Angwendet auf den Doppelspalt liefert nur Huygens eine Antwort.

Grüße,

Wasilij

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

aha, danke. Und warum gilt das Huygensprinzip und Fermat-Prinzip nur für kleine Wellenlängen bei der Strahlenoptik ?

Gruß

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo,

also ich wollte wissen, warum das Huygens-Prinzip und das Fermat-Prinzip nur für kleine Wellenlängen bei der Strahlenoptik gültig ist. Wenn die Wellenlänge zum Beispiel bei einer Fensteröffnung größer ist, dann ergibt die Addition aller Zeiger doch keinen Strahl mehr, dann tragen doch die Wege in der Umgebung des schnellsten weniger zur Gesamtintensität des Lichts bei oder ? Also ist auch das Bild bei der Zeigeraddition für große Wellelängen eher eine Welle und somit das Hugensprinzip der Strahlenoptikl nicht merhr gültig ab größeren Wellenlängen.

Gruß

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hej,

sry, ch sehe immer noch niht den punkt.

Das Fermatprinzip hat primär nichts mir Wellenlängen zu tun, sondern mit Strahlen bestimmter Geschwindigkeit. Prinzipiell sehe ich keine Beschränkungen hinsichtlich dieser, sie kann also beliebig klein werden. Können wir Fermat dann schonmal beiseite legen?

In welchem sinne ergibt jetzt eine Zeigeraddition bei Huygens einen Strahl? Was für Zeiger addierst du genau?

Grüeß,

Wasilij

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo,

ich meine bei dem Huygensprinzip folgendes:

Es besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront ein neuer Erreger für eine neue Welle ist. Daraus entsteht ja dann eine neue Wellenfront und der Rest dieser Wellen löschen sich aus. Wenn man jetzt alle möglichen Lichtwege von einer Quelle zum Empfänger betrachtet, dann stellt man doch fest, dass der Gerade Wege von der Quelle zum Empfänger der schnellste, also der mit der kürzesten Laufzeit ist. Nun kann ich doch das Fermat-Prinzip damit beweisen, dass bei einer kleinen Wellenlänge die Wege in der Umgebung des kürzesten beitragen, da die Phasendifferenzen sehr gering sind. Je größer die Wellenlänge des Lichts, desto mehr tragen auch Strahlen mit größerem Abstand von dem schnellsten WEg dazu bei.

Was ich damit sagen will ist, kann man das Fermatprinzip also so beweisen ?

Und wenn man die Zeigerdarstellung für alle Wege aufzeichnet am Empfänger, dann kann man sehen, dass nur die Wege in der Nähe des schnellsten bei kurzen Wellenlängen einen Strahl bilden und bei größerer Wellenlänge eine Welle eben.

Das hab ich gemeint.

Gurß

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

aha und wie begründest du dann das Brechungsgesetz aus was`?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Schau doch mal hier:

http://www.physikerboard.de/topic,12747,-herleitung-des-brechungsgesetzes.html

Beide Methoden, also Fermat und Huygens, kommen auf s gleiche Brechungsgesetz. Das sollte als Beweis reichen.

Wasilij

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

Hallo,

danke ich versteh das nicht. Ich hab jetzt hier mal meine eigene Begründung für das Brechungsgestz geschrieben. Könnt ihr euch das bitte mal anschauen ?

Nach dem Huygens-Prinzip ist jede Stelle einer Wellenfront Erreger einer neuen sogenannten Elementarwelle. All diese Elementarwellen haben die gleiche Ausbreitrungsgeschwindigkeit und Wellenlänge wie die Ausgangswellen. Zusammen bilden die Elementarwellen wiederrum eine neue Wellenfront. Mithilfe dieses Prinzips lässt sich das Brechungsgesetz erklären. Beim Auftreffen einer Wellenfront (angenommen 3 Strahlen der Front in Skizze) auf ein Material ( zum Beispiel Prisma) größerer Dichte erfolgt Brechung. Der eintreffend STrahl mit der Lichtgeschwindigekti in Luft ( 3,00 mal 10^8 m/s). Dieser trifft in unter einem bestimmten Winkel auf die Oberfläche des Material z.B. Prisma auf. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts verlangsamt sich in Glas. Dafür gibt es keinen physikalischen Grund. Der Lichstrahl tritt nicht unter dem gleichen Winkel wie der eintreffende Strahl aus dem Prisma aus, sondern hier unter einem kleineren . DEr Grund für das Brechungsgesetz ist also das Hugens-Prinzip, das an dem Punkt an dem der Lichtstrahl die Oberfläche des Prisamas berührt eine neue Elementarwelle entstehen lässt. Die huygenssche Wellenfront verläuft nach dem Austreten mit gleiche Geschwindigkeit und Wellelänge weiter.

Ist das eine Begründung für das Brechungsgesetz ?

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Hallo Daniel2005,

Warum soll es keinen physikalischen Grund dafür geben dass sich das Licht verlangsamt? Der Grund ist die Trägheit der Elektronen und Atomkerne im Glas oder Wasser. Das elektrische Feld des Lichtes zieht im Glas periodisch die negativen Elektronen und positiven Atomkerne auseinander und drückt sie zusammen, mit der Frequenz der Lichtwelle. Dem Licht wird dadurch Energie entzogen und es wird geschwächt. Die schwingenden Atome wirken aber wie eine Dipolantenne und strahlen wieder genauso viel Licht ab. Aber etwas verzögert, weil sie eine träge Masse haben. Insgesammt werden die Lichtwellen dadurch an jedem Atom etwas aufgehalten, wodurch das Licht im Medium langsamer vorankommt. Bei Glas nur noch mit 2*10^8m/s.

Die Brechung kommt daher, dass die eine Seite der Wellenfront früher ins Medium eintritt, und so länger aufgehalten wurde als die andere Seite. Dadurch kippt die Wellenfront etwas. Und ein gedachter Licht-"Strahl" ist definiert, als ein Weg, der immer senkrecht zu den Wellenfronten verläuft. Der macht dann halt einen Knick.

Ich denke übrigens, dass es sehr schwierig ist das Fermatsche Prinzip aus dem Huygenschen direkt herzuleiten. Man muss zeigen, das alle Welleberge die später ankommen sich gegenseitig auslöschen. Oder man leitet ganz einfach für jedes Prinzip den Winkel her und zeigt, dass die Winkel übereinstimmen. Beim Fermatschen Prinzip muss man z.B. die Laufzeit nach dem Winkel ableiten und das Minimum suchen. In beiden Fällen kommt man zum Gesetz

.

Gruß
Chrischi

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

ok danke. Kann man dass nicht auch irgendwie mit der Zeigerdarstellung beweisen. Also das, wenn man alle Zeiger addiert, dann sieht man, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt ??

Gruß

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Mit Zeigern fällt mir gerade nichts ein. Ich würde es so beweisen:

Wenn man das Licht einschaltet, dann würden nach einer gewissen Zeit die schnellsten Teilwellen räumlich am weitesten gekommen sein. Und die bestehen alle aus kleinen Kugelkappen (wegen Huygens). Die vorderste Front bildet dann einen gemeinsamen Wellenberg in Form einer Ebene (bestehend aus kleinen Kugelkappen). Die Ausbreitungsrichtung der Ebene verläuft definitionsgemäß senkrecht zur Ebene. Damit hast du gezeigt, dass die schnellsten Wege (Fermatsches Prinzip) eine Wellenfront ausbilden und alle anderen Wege (die laut Huygens auch auftreten) nicht zur vordersten Front beitragen können, weil es halt Nachzüglerwellen sind. Das ist schon mal ein Beweis für die erste Wellenfront nach anschalten des Lichtes. Für die 2. und 3. usw. kann man ähnlich argumentieren.

Man muss jetzt noch ein Argument finden, warum die Nachzügler-Wellen nicht eine Wellenfront in eine andere Richtung ausbilden. Ich denke, weil die sich symetrisch um die Richtung der schnellsten Front ausbilden. Jede Vektorkomponente in eine andere Richtung wird durch das Spiegelbild auf der anderen Seite ausgeglichen, so dass im Mittel nur die Komponente übrigbleibt, die auch in die Richtung der schnellsten Welle zeigt.

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

man ist das kompliziert. jeder schreibt hier seine eigene Theorie aus, bald blick ich hier gar nicht mehr durch.

Also warum wird denn jetzt ein Lichtstrahl gebrochen, wenn ich ihn durch ein Prisma schicke ?

Gruß

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Ok zugegeben, ist schwierig, wie schon gesagt. Aber dich interessiert scheinbar eher, warum es überhaupt Brechung gibt. Aber das hast du ja oben schon selbst fast erklärt. Fehlt nur, dass die Wellenfront im Glas deshalb schräg liegt, weil der obere Teil früher ins langsame Glas eintritt, als der untere Seite.

Stelle es dir mit einer Reihe Jogger vor, die parallel nebeneinander laufen. Sie laufen auf einen schräg liegenden Fluss zu. Im Fluss sind alle nur noch 2/3 so schnell. Jetzt wird aus der geraden Linie eine schräge Linie, weil die einen Jogger den Fluss früher erreichen und früher ausgebremst werden.

daniel2005 · Anmeldungsdatum: 10.12.2005 Beiträge: 24

achso, die einzelnen wellen müssen immer zusammenbleiben als front, deshalb wir das gebrochen oder ?

Ich glaub jetzt hab ichs dann verstanden.

Gruß

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Genau, nur wo eine überhaupt eine Wellenfront vorhanden ist, kann man sinnvoll von einer Richtung des Lichts reden. Deshalb sind Lichttrahlen nur gedachte Linien, die immer senkrecht zu den Wellenfronten laufen. Die sind nur eine Art Denkhilfe. Einzelne Lichtstrahlen gibt es gar nicht wirklich. Selbst Laserstrahlen haben eine gewisse mindestbreite und bestehen aus Wellenfronten.

eifelreh · Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 56

Also, zur idee der zeigerdarstellung kann ich auch nix sagen -- aber du bist doch bei einem fehler geblieben:

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Aber wie will man die beiden Bilder unter einen Hut bekommen? Die einzelnen Jogger laufen ja gerade aus. Ein Knick ergibt sich nur in der Linie, die die nebeneinander laufenden Jogger bilden. Der Rettungsschwimmer dagegen, der einen bestimmten Punkt erreichen will, läuft aber selbst einen Knick. Und zwar im selben Winkel, wie sich die Line aus Joggern verkippt. Aber warum?

Ich sehe absolut kein einfaches Bild, diesen Zusammenhang der Winkel zu erklären. Meine Erklärung oben ist schon etwas kompliziert zum vorstellen. Kann man das vieleicht einfacher formulieren?

eifelreh · Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 56

Du hast recht chrischi.
Bei wikipedia ist ja das bild der aufs wasser zulaufenden rettungsschwimmer/jogger ja für die erklärung des Snelliusschen (er)brechungsgesetzes:
( http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Refraction_metaphore_sport1.png&filetimestamp=20071223013213 ).
Das fermatsche prinzip wurde auch von Planck sogar als indirekter gottesbeweis mißbraucht... (pfui, denkt da der/die aufrechte atheistIn/agnostikerIn)
Problematisch daran ist aber, dass der rettungschwimmer ein klares (dingendes) ziel hat, beim licht hingegen gilt die betrachtung erst post hoc. es landet durch die beugung eben "irgendwo".
Trotzdem finde ich das bild des rettungsschwimmers nützlich um den unterschied zwischen kürzestem und schnellstem weg klar zu machen, das ging bei daniel2005 nach meinem eindruck eben durcheinander.

(no)Reh(-birth)

chrischi · Anmeldungsdatum: 16.01.2009 Beiträge: 21 Wohnort: Konstanz

Gutes Bild aus Wikipedia. Hier sind es also auch Rettungsschwimmer. Für den kürzesten Weg ist natürlich ein Bild mit einem zielorientierten Rettungsschwimmer ebenso gut. Sollte man eigentlich in der Wikipedia ergänzen.
Doch selbst wenn man die beiden Bilder versteht, ist anschaulich kein Zusammenhang erkennbar. Auch im Wikipediaartikel zum Brechungsgesetzt ist der Zusammenhang nicht überzeugend, auch wenn es heißt "Herleitung aus dem Fermatschen Prinzip" und das richtige herauskommt.