Teilchen im Kasten + Zeitentwicklung

toxicate · Anmeldungsdatum: 02.05.2008 Beiträge: 2

Hi,

ich hab hier ne Anfangsverteilung bei der ich den weiteren zeitlichen Verlauf errechnen soll. Ich weiß, dass es einfach sein muss, aber irgendwie komm ich dann doch nicht auf den Ansatz. Vorallem habe ich schon einiges versucht, aber am Ende komme ich wieder nur zum Anfang zurück *kopfschüttel*. Vielleicht könnt ihr mir ja mal helfen.

Die Konstante C hab ich z.B. zum Spaß noch berechnet, aber für die Veteilung bringt das nichts.

Danke im Vorraus!

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Ist mit "Teilchen im Kasten" das übliche Experiment mit einem freien Teilchen in einem unendlich hohen Potentialtopf gemeint? Dann würde ich vorschlagen, dass Du unter dem Stichwort "Zeitentwicklungsoperator" recherchierst.

toxicate · Anmeldungsdatum: 02.05.2008 Beiträge: 2

Im Prinzip ja. Ich habe einfach ne Anfangsverteilung

gegeben und muss irgendwie rausbekommen, wie sich das Teilchen mit den Randbedingungen

verhält.
Der Zeitentwicklungsoperator hilft da nur bedingt, denn schreibt sich mit dem Hamiltonoperator, den ich ja nicht aus der Anfangsbedingung quetschen kann. Abgesehen davon wurde er bis jetzt noch nicht in der Vorlesung behandelt, dementsprechend denke ich mir mal, dass ich ihn auch nicht brauche.

In der Vorlesung wurde gesagt, dass die Lösungen bei Dirichletrandbedingungen (wie oben geschrieben) für die Schrödingergleichung gegeben sind durch

wobei

und

In diesem Fall könnte man die Funktion zerlegen und schreiben, dass die ganz oben angegebene Anfangsbedingung in der Zeitentwicklung geschrieben werden kann als

Das bringt mir aber nichts, denn wenn ich das Betragsquadrat für die Dichteverteilung haben will fallen alle Exponentialfunktionen raus, da ihr Betrag gerade eins ist.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Ich vermisse da zwar noch ein t im Exponenten, aber ja, genau so macht man das: Man zerlegt die Funktion in Energie-Eigenzustände und die entwickeln sich mit der Zeit so, dass je nach ihrer Energie sich einfach die Phase ständig dreht. Wenn man alle Zeitentwicklungen der einzelnen Energie-Eigenzustände addiert (die man ja vorher auseinander genommen hatte), dann bekommt man die Zeitentwicklung für die gesamte Wahrscheinlichkeitswelle.

Gruß
Marco

mitschelll · Anmeldungsdatum: 06.12.2007 Beiträge: 362

Die Exponentialfunktionen müssen sich auch rauskürzen, da bei einem zeitunabhängigem Hamiltonoperator die Zustände gerade "stationäre Zustände" beschreiben. Das heißt, an einem Ort x darf die Wellenfunktion zwar oszillieren (mit

), sobald ich aber die Wahrscheinlichkeit wissen will, muss eine konstante Zahl das Ergebnis sein.