Kraft/Beschleunigung verbundener rotierender Scheiben

tanjahh · Anmeldungsdatum: 05.12.2004 Beiträge: 11 Wohnort: Hamburg

Hi, ich komme mit einer Aufgabe nicht klar.
Zwei Scheiben haben dieselbe Masse und denselben Radius.
---- Decke
0 Scheibe 1
[ Faden
0 Scheibe 2

Die obere Scheibe kann sich reibungsfrei in einem Lager drehen. Auf
beiden Scheiben ist ein d¨unner Faden aufgerollt, der sie verbindet. Die Scheiben werden gleichzeitig losgelassen. Bestimmen Sie
a) die Schwerpunktsbeschleunigung der unteren Scheibe,
b) die Zugkraft im Faden,
c) die Winkelbeschleunigung jeder Scheibe bezüglich ihres
Schwerpunkts.

Ich weiß, dass Die Fadenkraft überall gleich ist und die Scheiben sich mit derselben Geschwindigkeit drehen, aber dann komme ich nicht weiter..

Es wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen wie die scheiben hier im Raum angeordnet sind und wie das ganze vor sich gehen soll?
Könntest du nicht vielleicht eine Skizze reinstellen?

tanjahh · Anmeldungsdatum: 05.12.2004 Beiträge: 11 Wohnort: Hamburg

Ich weiß nicht genau wie das geht, aber die obere Scheibe hängt an einem Faden, der über die Scheibe aufgerollt ist, im Prinzip wie eine flache Garn rolle, die zweite Scheibe ist mit dem selben Faden verbunden und auch eine Art Garnrolle. Die beiden werden irgendwie festgehalten und dann losgelassen, dass sie sie wickeln sich von selber ab und fallen bei runter

Aber ich muss ehrlich sagen, so ganz habe ich das auch nicht verstanden

pelle · Anmeldungsdatum: 13.12.2004 Beiträge: 17

So soll das aussehen wenn alles geklappt hat!
Mich interressiert das auch. Unser Übungsgruppenleiter meinte, dass beide Scheiben den gleichen Impuls kriegen... aber müssen sie sich nicht unterschiedlich schnell drehen, weil die oben eine reine Rotation und die unten Rotation und Translation unterliegen?

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

zu a)
Was bei dieser Aufgabe sehr schwer ist, wie ich finde, dass ist die Abrollbedingung. Denn man muss hier beachten, dass der Faden an beiden Rollen sich Abrollt. Daher und weil Rolle1=Rolle2 ist folgt:

Für die Drehmomente gilt, dass es für jede Rolle zwei gibt:
Eines durch die Trägheit verursacht, das andere durch die Fadenkraft. Aufgrund der gleichheit der Rollen folgt daraus:

Aus der Abrollbedingung kann man nun auf die Beschleunigung der unteren Rolle schließen. Wobei hier die Winkelbeschleunigung aus dem Zusammenhang der Drehmomente resultiert, also Ia=rF und dann nach a umgestellt. Das Trägheitsmoment habe ich einem Tabellenwerk entnommen. Somit kommt für die Beschleunigugn der unteren Rolle folgendes raus:

zu b)
Die Seilkraft folgt aus der Gleichgewichtsbedingung:

Für dieses folgt, nach Fs umgestellt, und das Erbeniss von a) eingesetzt:

zu c)
die Winkelbeschleunigungen müssen für beide Rollen gleich sein:
Grund:

d.h.

daraus folgt:

durch einsetzen des Trägheitsmomentes und der in b) ausgerechneten Fadenkraft, kommt dafür raus:

p.s.

bei der c) bin ich mir aber nicht zu 100% sicher. Es dürfte aber stimmen, weil: Die Angreifenden Kräfte und Drehmomente für beide Rollen gleich sind. und die Gravitationskraft die die zweite Rolle beschleunigt übt keine Drehmoment (-e) auf diese aus, die zu einer höheren Winkelbeschleunigung führen könnten.
Es muss also stimmen.
Würde mich interessieren ob die Aufgabe von mir richtig gelöst wurde. Wenn das offizielle Ergebnis da ist, könntet ihr ja mal Feedback geben.

Wink

Edit:
Nachtrag zu Aufgabe a)

wenn man ins Ergebnis von a) das Ergebnis von b) einsetzt was ich vorhin vergessen habe, kommt folgendes Endergebnis raus:

Schackel · Anmeldungsdatum: 13.12.2004 Beiträge: 2

hab was anderes raus Prost

Erstmal verstehe ich nicht, warum Laplactus die Vektoren der Drehmomente so krank eingezeichnet hat...
Außerdem lese ich mich nicht in diesen Mist ein, sondern schreibe einfach die Ansätze so hin, wie Gott sie geschaffen hat.
Die Kräfte, die wirren sind Fg und Fs
gesucht ist die Beschl, die sich aus der Summe der Kräfte und fer Masse ergibt. Wenn wir mit Beträgen rechnen, sieht es so aus:
Fg-Fs=m*a
Fs*R=I*@
I=1/2*m*R² , @=a/R
=> Fs*R=1/2*m*R²*a/R
=> Fs=1/2*m*a
oben einsetzen
=> Fg-1/2*m*a=m*a
=> a=2/3*g=6,45m/s²

ich hoffe so kann man's machen

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

Sers Schackel,

wieso habe ich die Vektoren Krank eingezeichnet? (Versteh ich nicht)

zu deinem Lösungsvorschlag:
Du hast einen groben Fehler gemacht. Denn in diesem Fall, wie in meinem Thread oben, von mir gleich zu Anfang hingeschrieben worden ist, ist

Das ist die Weltberühmte Abrollbedingung die sich hier anders darstellt als in manch anderer Aufgabe.

wenn du das beachtest, kommst du auf das gleiche Ergebniss für die Beschleunigung der unteren Rolle wie ich.
Ansonsten ist dein Lösungsansatz fast der gleiche wie meiner.

MfG

Wink

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

alternativer Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe c)

da in a) folgendes herauskommt:

kommt man mit der Abrollbedingung

durch gleichsetzen in die obere Gleichung auf das gleiche Ergebnis:

Wie bereits gesagt, bei dieser Aufgabe ist die Abrollbedingung der Knackpunkt!

MfG
Enthalpus

Wink

Pandorus · Anmeldungsdatum: 15.12.2004 Beiträge: 5 Wohnort: Lübeck

Zu Pelle: lt. Drehimpulserhaltungssatz bleibt der Gesamtimpuls des Systems konstant. Zu Beginn ist er null, beide Scheiben sind gleich. Wenn sich die obere nach links dreht, "kompensiert" es die untere durch die entgegengesetzte Drehung.

Pandorus · Anmeldungsdatum: 15.12.2004 Beiträge: 5 Wohnort: Lübeck

Pandorus · Anmeldungsdatum: 15.12.2004 Beiträge: 5 Wohnort: Lübeck

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

@Pandorus
Du hast scheinbar die Grundprinzpien/ Grundidee oder besser die Quintessenz der Mechanik noch nicht so ganz verinnerlicht glaube ich.
Ich versuchsmal zu Erklären:

Ein starrer körper hat aufgrund seiner Massen-Trägheit etwas dagegen linear beschleunigt zu werden. Dies wird durch die Masse ausgedrückt. Mann konnte ja keinen unterschied zwischen Träger- und Schwerer- Masse entdecken. Und laut Einstein gibt es keinen.
Also Actio=Reactio. Kraft und gleich große Gegenkraft usw.

Bei Drehbewegungen verhält es sich nun ähnlich. Jedoch spielt ja bei der Drehbewegung die Geometrie der Massenverteilung zusätzlich zur Masse eine bedeutende Rolle. Dies wird (ich hoffe das das bekannt ist) durch das Hauptträgheitsmoment bzw. Trägheitsmoment 1. Grades oder kurz Trägheitsmoment ausgedrückt .

Man kann nun dem Trägheitsmoment bei Rotationsbewegungen die gleiche Eigenschaft wie der Masse bei Linearbewegungen zuschreiben.

Sie wirken der Ursache entgegen. Nur das es in diesem Falle heißt: Drehmoment = "Trägheitsdrehmoment" (Gegendrehmoment)

Oder Mathematisch ausgedrückt:

Es gilt nach Newton immer: ACTIO=REACTIO

Ich hoffe das das ein bisschen Licht in die Abgründe der Mechanik bringt.

MfG

Enthalpus

p.s.
Die Drehmomente sind in der Skizze richtig eingezeichnet. Es handelt sich da nämlich um die durch die Trägheitsmomente verursachten Drehmomente. Deshalt heißen sie auch MI.

Pandorus · Anmeldungsdatum: 15.12.2004 Beiträge: 5 Wohnort: Lübeck

@ Enthalpus

Ich glaube, dass ich mich lediglich an der Formulierung Deiner Aussage gerieben habe. Newtons Gesetz Actio=Reactio ist mir durchaus bewusst. Die Aussage, dass ein Trägheitsmoment ein Drehmoment ausübt (also eine Bewegung verursacht), ist mir neu. Schließlich ist M=I*alpha. Natürlich ist mir klar, dass das Trägheitsmoment ein Pendant zur Masse bei linearen Bewegungen ist.

Aber, um konkret zu unserem Beispiel zu kommen, wo wirkt denn das Drehmoment des Trägheitsmoments? Geht es nicht letztendlich, wie in der linearen Mechanik, nur um Trägheit?

Enthalpus-Laplacus · Anmeldungsdatum: 02.12.2004 Beiträge: 271 Wohnort: Bavaria

@Pandorus:

Natürlich geht es letztendlich um die Trägheit.
Um es in aller deutlichkeit zu sagen: Das Trägheitsmoment verursacht natürlich kein Drehmoment.
Sonst würden sich ja alle Rotationssymmetrischen Gegenstände selbständig machen und anfangen von sich aus zu drehen. Big Laugh

Aber es ist wirkt diesem entgegen.
Man kann sich also vorstellen das da etwas ist, genannt Trägheitsmoment das ein Gegen- Drehmoment ausübt.

Letztendlich beschreibt die Gleichung:

nichts anderes.
Wenn du diese folgendermaßen Umformst:

dann steht da im Prinzip nichts anderes als das die tangential Beschleunigung bei einer Rotatien mit steigendem Trägheitsmoment immer kleiner wird.

Also wirkt das Trägheitsmoment der versuchten Winkelbeschleunigung entgegen. Es verursacht ein Gegendrehmoment. Aber nur wenn der Versuch unternommen wird das System zu Beschleunigen. Ansonsten ist es es wie bei der linearen Bewegung. Einmal in Bewegung immer in Bewegung (theoretisch jedenfalls).

Ich hoffe du verstehst jetzt was ich gemeint habe.

MfG

Enthalpus