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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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 AK Verfasst am: 08. Jan 2008 18:09 Titel: Durchhängenden Antennendraht Funktionsgleichung? |
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Hallo!
ich habe diese Aufgabe schon in anderen Foren gestellt,aber ich komme damit nicht so klar.vll. kann mir hier jemand dazu helfen.
Ein Frachtschiff hat 2 Masten, zwischen denen eine Drahtantenne für Grenzwelle(Wellenlänge zwischen 100 und 200m;resp.Frequenz zwischen 1,5 und 30MHz) gespannt ist. An beiden Masten ist der Antennendraht in einer Höhe von 30m über dem Deck befestigt. In der Mitte hängt er um 4,63m durch.
Geben Sie die Funktionsgleichung des durchhängenden Antennendrahtes an.
Es handelt sich hier um eine Katenoide bzw. Kettenlinie.
Dies war die Antwort aus dem anderen Forum.
Insbesondere zum Zusammenhang zwischen der Länge der Kette (Linienlänge) l, dem Skalierungsfaktor a und dem horizontalen Abstand der Aufhängepunkte w.
l/(2a) = sinh( w/(2a) )
l ist die ideale Länge der Antenne, um elektromagnetische Wellen mit der Wellenlänge im Bereich 100m bis 200m abzustrahlen.
Dafür kennst du bestimmt eine (Näherungs-)Formel.
Meine Frage hier: was nehm ich für l? 100m oder 200m und eine Näherungsformel finde ich keine.
Ziel muss es nun sein:
- den Skalierungsfaktor a zu bestimmen
- den Abstand w der Masten zu bestimmen
Die Antenne ist in der Höhe h = 30m an den Masten befestigt
und hängt um d = 4,63m in der Mitte durch.
Das ist mir klar.
Wenn du den Bezugspunkt deines Koordinatensystem in die Mitte zwischen die beiden Masten auf das Schiffsdeck legst, dann gilt für den Funktionsterm:
Das ist die Formel der Kettenlinie.
f(x) = a*cosh(x/a) + y0
Diesen Schritt verstehe ich nicht so,warum 0 eingesetzt wird.w ist mein Abstand der Masten,warum w/2
Dann muss gelten:
f(w/2) = a*cosh(w/(2a)) + y0 = h
f(0) = a*cosh(0) + y0 = a + y0 = h - d
=> a*cosh(w/(2a)) - a = d
<=> cosh(w/(2a)) = (d+a)/a
Es gilt noch die oben angeführte Formel:
sinh( w/(2a) = l/(2a)
Weil (cosh(x))² - (sinh(x))² = 1 gilt, muss gelten:
( (d+a)/a )² - ( l/(2a) )² = 1
Daraus lässt sich der Skalierungsfaktor a bestimmen.
Wenn die gegebenen und ermittelten Werte jetzt in die Gleichung
sinh( w/(2a) = l/(2a)
eingesetzt werden, kann auch der Mastabstand w bestimmt werden.
Komme mit den Formeln nicht so klar und verstehe sie auch kaum.vll. kann mir jemand da etwas behilflich sein.
Grüsse
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 08. Jan 2008 19:49 Titel: |
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Hi,
aus dem Bild erkennt man, dass wir 3 konkrete Punkte kennen, durch die die Kurve geht: ) , ) und ) . Die allgemeine Funktionsgleichung hast du gegeben mit =a \cdot \textbf{cosh}(\frac x a)+ y_0) . Einsetzen der Punkte in die Funktionsgleichung:
=h: & a \cdot \textbf{cosh}(- \frac{w}{2a})+ y_0 & = h \\ f(0) = h-d: & a+ y_0 & = h-d \\f(\frac w 2)=h: & a \cdot \textbf{cosh}( \frac{w}{2a})+ y_0 & = h)
Die erste Gleichung kannst du weglassen, sie ist äquivalent zur dritten (wegen der Symmetrie des Hyperbelkosinus).
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Die Länge einer Kurve, die durch die Gleichung y=f(x) gegeben ist, errechnet sich nach
)^2}~\dd x)
Angewendet auf unsere Kettenlinie heißt das
)^2}~\dd x,~~\text{mit}~f(x)=a \cdot \textbf{cosh}(\frac x a)+ y_0)
Wenn du dieses Integral löst, kommst du gerade auf die Gleichung
Hilft dir das erstmal weiter?
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Was den Wert für  angeht, kann ich dir leider nicht weiterhelfen. Beim Amateurfunk benutz man nur schmale Bänder, wobei bei jedem Band die Wellenlänge halb bzw. doppelt so lang ist wie beim nächstgelegenen Band. Vielleicht ist das ja beim Schiffsfunk ähnlich?
lg
cst
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
3252 mal |
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 08. Jan 2008 20:25 Titel: |
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bis dahin verstehe ich das schon,aber weiß halt nicht was ich mit dem l dann machen soll oder das a bestimmen soll.
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 08. Jan 2008 21:15 Titel: |
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Also wir haben die beiden Gleichungen
^2- \left( \frac{l}{2a}\right)^2&=&1)
Aus der unteren bekommst du a, aus der oberen anschließend w. Für den Wert von musst du eine vernünftige Annahme machen. Ich habe bei http://www.faro.at/funk/FnkCro96.pdf folgendes gefunden:
| Zitat: | Der Notanruf (der das Notsignal enthält) wird im UKW-Bereich auf Kanal 16 abgesetzt, im
Kurzwellen (eig. Grenzwellen)Bereich auf 2.182 kHz. |
Daraus kriegst du die Wellenlänge.
cst
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 09. Jan 2008 19:10 Titel: |
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hab versucht a aus der unteren auszurechnen ,komme da auf
a=wurzel (1/3+l²)/d²
hab versucht die wellenlänge irgendwie zu berechnen.
Habe die Formel zur Phasengeschwindigkeit gefunden.
c=lampda*f
lampda=Wellenlänge
c=Phasengeschwindigkeit
f=frequenz
hier ist doch dann f=2.182 kHz,mir fehlt dann noch die Phasengeschwindigkeit.wie bekomm ich die raus?
grüsse
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 09. Jan 2008 20:28 Titel: |
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Hi,
ich komme auf
Funkwellen und Licht sind prinzipiell dasselbe: elektromagnetische Wellen; auch wenn sie sich in Frequenz und Wellenlänge unterscheiden. Sie breiten sich also mit Lichtgeschwindigkeit aus -- c = 300 000 km/s.
cst
P.S.:
Übrigens sind in der Funkerei Halbwellendipole weit verbreitet.  wäre also auch sinnvoll anzunehmen, je nach Schiffslänge. 
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 09. Jan 2008 22:12 Titel: |
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hm... wie bist du auf
a=(l²-4d²)/8d gekommen?
mit der Formel l=lambda/2 weiß ich auch nicht viel anzufangen,lambda hab ich doch gar nicht gegeben.
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 10. Jan 2008 00:03 Titel: |
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Ich habe zunächst die Quadrate ausmultipliziert. (Beim ausmultiplizieren von (d+a)^2 binomische Formel anwenden!) Dann hab ich die Gleichung mit 4a^2 multipliziert. Die Terme  heben sich heraus, man braucht keine Wurzel zu ziehen. Kannst ja deine Rechnung mal posten.
Für lambda hast du die richtige Formel schon gefunden:
 ,
dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit (c = 300 000 km/s) und f die Frequenz (f=2 182 kHz). Damit berechnest du die Wellenlänge  . Die Funkantenne ist entweder genauso lang wie die Wellenlänge ( ) oder halb so lang () -- das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor, beides ist möglich und üblich. Immerhin sind die Masten 30m hoch, da wird das Schiff sicher entsprechend lang sein.
cst
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 12. Jan 2008 16:46 Titel: |
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ich hab jetzt mal die Wellenlänge bestimmt und komme auf 137,48m
dann nehm ich die Formel a=(l²-4d²)/(8d)
setze dort meine Wellenlänge ein und komme auf 507,96
und diesen wert muss ich für a in die Gleichung
cosh = w/2a = d+a/a einsetzen. die Gleichung muss ich dann nach w umstellen,was passiert mit dem cosh?
grüsse
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 13. Jan 2008 13:32 Titel: |
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Die Zahlenwerte kann ich schonmal bestätigen. 
Auf die Gleichung
musst du jetzt die Umkehrfunktion des Hyperbelkosinus anwenden (auf beiden Seiten), diese heißt Areahyperbelkosinus ( ):
Bei meinem Taschenrechner muss man dazu (Zahl) 2nd hyp cos drücken; kann sein, dass bei dir die Taste 2nd INV heißt und/oder dass man die Zahl zum Schluss eingeben muss. (Ergebnis: w = 137,07m)
cst
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 13. Jan 2008 17:19 Titel: |
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habs paar mal versucht mit meinem Taschenrechner ich rechne zuerst d+a/a aus und komme auf 110,71 ,das will ich cosh(110,71) machen und komme aus 6,021*10^47. und komme dann nicht auf die w=137,07m
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 13. Jan 2008 19:15 Titel: |
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Zuerst (d+a)/a auszurechnen war richtig, allerdings kommt da nicht 110,... raus:
Dann hast du den  gebildet, du brauchst aber den inversen cosh, also ) . Siehe dazu noch mal (genauer) meinen letzten Beitrag.
cst
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 14. Jan 2008 11:52 Titel: |
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habe falsch eingesetzt gehabt. unten 4,63m anstatt die 507,96.ich komme aber für w=142,83m raus. Jetzt habe ich mein a und mein w bestimmt und muss diese dann in die Funktionsgleichungen einsetzen?
Meine Punkte P0(-71,47;30) P1(0,25.37) P2(71,47;30)
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 15. Jan 2008 00:47 Titel: |
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Naja, eigenmtlich sollst du ja die Funktionsgleichung angeben, nicht die 3 Punkte, d.h. du musst noch  berechnen. w=142,83m kann man übrigens definitiv ausschließen, da man einen 137m langen Draht nicht zwischen zwei 142m entfernten Masten spannen kann.
Ich habe noch mal nachgerechnet und komme nach wie vor auf l=137,489m, a=508,028m, w= 137,072m und y0 = -482,658:
 = 508.028\cdot \textbf{cosh}\frac {x}{ 508.028} - 482.658)
Gruß
cst
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 15. Jan 2008 08:44 Titel: |
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hm..seltsam ich rechne mir zuerst aus
(4,63+507,96)/(507,96) = 1,00991148
dann mach ich cosh^-1(1,00991148) da komm ich auf 0,140678
und diesen Wert noch 2*507,96 = 142,83m irgendwas geb ich da falsch ein.
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 15. Jan 2008 20:25 Titel: |
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Aaah, ich hab's jetzt rausgefunden:
Man muss hier sehr genau rechnen; du hast trotz der vielen Kommastellen noch Rundungsfehler drin -- die machen hier ausnahmsweise mal was aus. Ich hatte alles "in einem Rutsch" berechnet und jedes Zwischenergebnis direkt weiterverwendet, ohne Zahlenwerte auf einen Zettel zu schreiben (--> l = 137,4885426m, a=508,0278551m, w = 137,072384m). Also prinzipiell hast du richtig gerechnet. ;o)
Gruß
Christian
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AK
Anmeldungsdatum: 06.01.2008
Beiträge: 12
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| AK Verfasst am: 15. Jan 2008 22:20 Titel: |
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habs jetzt auch komplett eingegeben und komme auch auf w=137,06m
jetzt hab ich in eine Gleichung die Werte eingesetzt um auf y0 zu kommen.
Da bekomm ich -482,58 raus. Diesen y0 Wert setze ich noch die Gleichung f(x)= a*cosh(x/a) +y0 ein.
=507,96*cosh(x/507,96)-482,58
Bleibt mein x-wert oder muss ich den auch noch ausrechnen.
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cst
Anmeldungsdatum: 16.11.2006
Beiträge: 106
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| cst Verfasst am: 16. Jan 2008 03:04 Titel: |
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Nein, jetzt bist du wirklich fertig. Die Funktionsgleichung muss ja noch ein x enthalten.
cst
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