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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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 skywalker Verfasst am: 28. Nov 2007 20:29 Titel: Beweise, dass Impulserwartungswert = 0 gilt |
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Hallo :-)
Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen. Dazu hätte ich auch eine Lösung gefunden, nur diese verstehe ich nicht in allen Punkten.
Hoffe, ihr könntet mir das ein bissl erklären :-)
Aufgabe:
Zeige, dass jede eindimensionale reelle Wellefunktion, die im Unendlichen verschwindet, den Impulserwartungswert Null hat.
Lösung:
 \vec{p} \psi(\vec{p},t) d^3 p)
 \vec{p} \psi(\vec{p},t) d^3 p )
 (\vec{-p'}) \psi(\vec{-p'},t) d^3 p' )
 \vec{p'} \psi^*(\vec{p'},t) d^3 p' = - \left\langle p \right\rangle = 0)
Nun meine Fragen dazu:
1.) Wieso befindet sich in dem Integral der Impulsvektor? Der, der sich zwischen den Psis befindet.
2.) Wieso sagen die plötzlich ab der 3. Gleichung p' ? Kann das sein, dass einfach substituiert wurde? Mit p = -p' ?
3.) Wieso kann zum Schluss gesagt werden, dass  ist?
Schon mal vielen dank im vorraus, für eure Hilfe  |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 28. Nov 2007 20:31 Titel: |
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Oh, mir fällt grad auf, dass ich dieses Thema ins falsche Forum gestellt habe. Es gehört natürlich in die Quantenmechanik. Wie kann ich das Thema verschieben? 
Tut mir leid ... |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 28. Nov 2007 21:06 Titel: Re: Beweise, dass Impulserwartungswert = 0 gilt |
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| skywalker hat Folgendes geschrieben: | Hallo :-)
Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen. Dazu hätte ich auch eine Lösung gefunden, nur diese verstehe ich nicht in allen Punkten.
Hoffe, ihr könntet mir das ein bissl erklären :-)
Aufgabe:
Zeige, dass jede eindimensionale reelle Wellefunktion, die im Unendlichen verschwindet, den Impulserwartungswert Null hat.
Lösung:
Nun meine Fragen dazu:
1.) Wieso befindet sich in dem Integral der Impulsvektor? Der, der sich zwischen den Psis befindet.
Weil du den Erwartungswert in der Basis der Impulszustände bestimmst:
Indem man 2x den Einheitsoperator im p-Raum einschiebt, bekommst du, wenn P den Impulsoperator bezeichnet
Das ist aber wegen der Orthogonalität der p-Zustände
 \, \langle p | p |p' \rangle \, \psi(p') = \int d^3p \psi^*(p) p \psi(p))
2.) Wieso sagen die plötzlich ab der 3. Gleichung p' ? Kann das sein, dass einfach substituiert wurde? Mit p = -p' ?
ja
3.) Wieso kann zum Schluss gesagt werden, dass ist?
Wenn x = -x gilt, dann kann x und auch -x nur Null sein.
Schon mal vielen dank im vorraus, für eure Hilfe |
Der wesentliche Punkt oben ist die Beziehung (NUR wenn die Ortswellenfunktion reell ist)
 = \psi(-p))
Das scheint mir nicht klar hervorgehoben zu sein.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 28. Nov 2007 21:15 Titel: Re: Beweise, dass Impulserwartungswert = 0 gilt |
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Schon mal vielen dank
| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
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Das gilt doch, weil p von i abhängt. Woraus folgt, dass man von p ein konjungiert Komplexes bilden kann. Und deswegen diese negation, oder? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 28. Nov 2007 21:26 Titel: |
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jein, denn p ist ja hier kein Operator... 
Es ist aber
 = \int d^3x e^{ipx} \psi(x))
und das cc
 = \int d^3x e^{-ipx} \psi^*(x) =|_{\psi(x) reell} \int d^3x e^{-ipx} \psi(x) = \Psi(-p))
Aber intuitiv lagst du schon richtig. 
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skywalker
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| skywalker Verfasst am: 29. Nov 2007 20:04 Titel: Re: Beweise, dass Impulserwartungswert = 0 gilt |
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Hallo,
heute ist eine weiere Frage in mir aufgekommen ... ich finde irgendwie folgendes komisch:
| skywalker hat Folgendes geschrieben: |
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wenn da wirklich substituion angewendet wurde, also p = -p' , wieso ist dann das  nicht negativ? Und unabhängig von der Substitution kann es doch wahrscheinlich auch nicht sein, da es ja später  (betonung soll in dem ' liegen) heißt.
Wisst ihr da vielleicht was näheres zu bescheid?
Und ein Abschreibfehler von meiner Seite kann es auch nicht sein ... so steht es im Nolting drin. |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 29. Nov 2007 20:45 Titel: |
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Ein Volumselement ist immer positiv, du integrierst über den selben Raum, nur in einem anderen Koordinatensystem. Das Volumen muss dabei gleich bleiben, es kann ja nicht negativ werden, nur weil man in einem gespiegelten Koordinatensystem x' = -x arbeitet.
Bei einer allgemeinen Koordinatentransformation
)
wird aus
D.h. man muss mit dem Betrag der Jakobi-Determinante multiplizieren.
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
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| skywalker Verfasst am: 29. Nov 2007 21:07 Titel: |
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Achso 
Klingt einleuchtend. Danke |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 30. Nov 2007 11:47 Titel: |
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Abgesehen davon geht das viel einfacher und ohne den Impulsraum zu missbrauchen, denn
 \vec \nabla \psi(x))
Das ist aber wegen
 = \psi(x))
 \vec \nabla \psi(x))
Wenn man nun partiell integriert, unter Verwendung von
 \psi(x)\right) = \psi(x) \vec \nabla \psi(x) + \psi(x) \vec \nabla \psi(x))
daher
 \psi(x) \right) - \psi(x) \vec \nabla \psi(x) = \psi(x) \vec \nabla \psi(x))
 \psi(x)}_{=0} + i\hbar \int \dd x^3 \psi(x) \vec \nabla \psi(x))
Der erste Term kann in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden und verschwindet, wenn die Wellenfunktion im Unendlichen verschwindet (**) (was ja eine Bedingung in der Aufgabe war). Der zweite Term ist aber genau -<p>, wehalb überbleibt
und daher
(**) Mir ist derzeit noch nicht ganz klar, wo dies beim ersten Beweis versteckt eingeht.
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
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| skywalker Verfasst am: 30. Nov 2007 17:07 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
(**) Mir ist derzeit noch nicht ganz klar, wo dies beim ersten Beweis versteckt eingeht. |
Dies wurde vermutlich außer acht gelassen. Denn in der zu der Lösung zugehörige Aufgabenstellung steht nichts dazu, dass die Wellenfunktion im unendlichen verschwinden würde.
ANsonsten ist sie analog zu der meinigen.
Deinen Lösungsweg kann ich prinzipiell zu 100% nachvollziehen. So ist es natürlich auch nicht übel. Würde sogar schon sagen besser.
Aber trotzdem habe ich da in einem Punkt noch ein Problem. Bis jetzt habe ich diese Tatsache in der Vorlesung bzw Übungsaufgaben einfach nur hingenommen .. verstanden habe ich es aber nicht. Und zwar, warum gilt:
 \psi(x)) = 0)
rechnerisch habe ich es nicht hinbekommen ...
Die Integration hebt sich doch mit dem Nabla weg, oder? Also:
 \psi(x)) = (\psi(x) \psi(x)))
Und dies ergibt dann nicht Null ... aber ich habe garantiert wieder einen denkfehler eingebaut |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 30. Nov 2007 19:41 Titel: |
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Eines der Divergenztheoreme lautet:
Null wird es aber nur, wenn die Wellenfunktion auf der (hinreichend weit entfernten) Oberfläche verschwindet, so wie bei uns.
Wie man diese Form des Divergenztheorems nun exakt beweist hab ich momentan keine Ahnung.
Man könnte aber zB das Integral in x, y, und z zerlegen und zB die x-Komponente des Integrals anschauen.
Wenn man hier nur das x-Integral raushebt hat man dafür, wenn xu und xo die Integrationsgrenzen von V in Abhängigkeit von y und z darstellen:
}{\partial x} dx = \Psi(x_o, y, z) - \Psi(x_u, y, z))
Wenn die Grenzen weit genug draussen liegen, verschwindet die Wellenfunktion sowohl bei xu als auch bei xo und das x-Integral wird Null. Somit verschwindet auch das gesamte Volumsintegral.
Für mich wäre das Erklärung genug, aber vielleicht finde ich noch einen besseren Beweis.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 01. Dez 2007 14:15 Titel: |
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So jetzt weiss ich, wie man die Identität zeigen kann:
Sei A ein konstanter, beliebiger Vektor. Dann ist wegen des "normalen" Divergenztheorems (kann als bekannt vorausgesetzt werden)
 \, da = \int_v \vec \nabla (\psi \vec A ) \, dV)
Nun ist aber (Produktregel)
 = \vec A \cdot \vec \nabla \psi + \psi \vec \nabla \cdot \vec A)
Da A konstant ist, bleibt nur der erste Term über. Wenn man diesen einsetzt bekommt man
Da A beliebig gewählt wurde, gilt auch
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skywalker
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| skywalker Verfasst am: 02. Dez 2007 10:25 Titel: |
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Super, danke. Deine Erklärung ist für mich sehr einleuchtend.
Und hier an dieser Stelle nochmal meine hezlichsten dank an dich schnudl.
Du hast mir wirklich sehr geholfen. Und auch stets so einfach wie möglich erklärt, dass auch ich dussl es verstehe
Danke :-) |
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