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Quantumdot
Gast
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 Quantumdot Verfasst am: 12. Apr 2024 09:39 Titel: Darstellungen von Liegruppen in der Physik |
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Ich versteh nicht was die Motivation ist Teilchen als (projektive) Darstellungen von Liegruppen wie der SL(2, C) zu beschreiben. Wie kam man darauf und warum führt das zum Erfolg?
Warum können Teilchen nur durch mathematische Objekte beschrieben werden, die (projektive) Darstellungen einer Liegruppe sind?
Meine Idee dazu. Im Rahmen der SRT beschreibt die Liegruppe SO(1, 3) Transformationen im Ortsraum zwischen gleichberechtigten Koordinatensystemen in denen die physikalischen Gesetze dieselbe Form haben. Nun ist die Frage wie die Felder von Feldgleichungen zu transformieren sind, wenn man den Ortsraum so transformiert. Bspw verwendet man zur Beschreibung der elektromagnetischen Wechselwirkung das Vierer-Vektorfeld A. Dieses kann man als Element eines Darstellungsraums einer Darstellung der SO(1, 3) deuten. Damit ist gemäß der Darstellungsabbildung rho (was ein Gruppenhomomorphismus ist) klar wie ein Element von SO(1, 3) sich auf ein Element für die Transformation von A überträgt.
Weiterhin soll es keine Rolle spielen, ob man erst zwei Elemente von SO(1, 3) miteinander verknüpft und diese dann gemäß der Darstellung rho abbildet oder erst die beiden Elemente SO(1, 3) mit rho abbildet und dann die Verknüpfung ausführt.
In der Quantenmechanik kann man dies etwas aufweichen. Denn dort muss es nur bis auf einen Phasenfaktor übereinstimmen, was zusätzlich zu dem Auftreten projektiver Darstellungen führt. Diese Projektiven Darstellungen führen zu Spinoren und zu das was man als halbzahlige Spins kennt.
Nun gibt es in der Lietheorie die Aussage, dass die Darstellungen der Gruppe SL(2, C) den Darstellungen und den projektiven Darstellungen der SO(1, 3) entspricht, weshalb man insbesondere an der Analyse der SL(2, C) interessiert ist.
Kann man das so sagen?
Korrektur aus zweiten Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2024 10:48 Titel: |
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Vorab: dich interessiert hauptsächlich die Symmetrie der Raumzeit, also nicht Isospin / Flavor etc. und auch keine Eichtheorien, richtig?
Wenn man die relativistische Feldtheorie (Maxwellsche Elektrodynamik) oder Quantenmechanik (Klein-Gordon, Dirac …) konstruiert, dann soll diese für bestimmte Objekte die Lorentz- bzw. korrekterweise Poincare-Symmetrie aufweisen, damit sich die Symmetrie der Raumzeit auf die Beschreibung des Systems (Lagrange-Dichte, Hamilton-Funktion bzw. Operator …) sowie auf die entsprechenden Lösungen überträgt.
Dabei kommen nun unterschiedliche Objekte vor, die sich unterschiedlich transformieren: die Lagrange-Dichte ist ein Skalar bzgl. der Poincare-Symmetrie, Hamiltonian H und Impulse P definieren *) eine Vektor-Darstellung, das elektromagnetische Viererpotential bzw. der Feldstärketensor leben in einer Vektor- bzw. Tensor-Darstellung zweiter Stufe.
*) bedeutet, dass es sich bei H und P um die Generatoren handelt; zusammen mit Rotationen und Boosts definieren sie eine Darstellung der Poincare-Algebra; aus der entsprechenden Symmetrie des Systems folgen gemäß Noether-Theorem die entsprechenden Erhaltungsgröße; H, P etc. spielen sozusagen eine Doppelrolle
D.h., gegeben ist eine Gruppe G, sowie Objekte wie Felder und Operatoren, die sich bzgl. gewisser Darstellungen rep(G) transformieren.
Man kann das ganze bottom-up betrachten, also diese Objekte und ihre Transformation identifizieren und daraus auf die Gruppe schließen, oder top-down von einer Gruppe G ausgehen und ihre Darstellungen zur Konstruktion der Theorie (Lagrange-Dichte …) nutzen. Macht man ersteres, so ist klar, dass die Kenntnis einiger Objekte bzw. einiger Darstellungen nicht unbedingt ausreichend ist, um die Gruppe G zu identifizieren.
Nun ist Physik eine empirische Wissenschaft, d.h. wir erhalten aus den Experimenten Hinweise zu den Symmetrien. Das war z.B. der Fall bei der Lorentz-Invarianz, in den 60ern für das Quarkmodell und die QCD, und ca. um die 1920er Jahre in der Quantenmechanik für den Spin – damals noch nicht-relativistisch betrachtet.
Der Spin ist tatsächlich maßgeblich, denn er hat nicht mittels Vektoren oder Tensoren darstellbar.
D.h. man ist zu einer Verallgemeinerung
 \to SU(2))
bzw.
 \to SO^+(3,1)_{\mathbb{C}} \simeq SL(2)_\mathbb{C} \times SL(2)_\mathbb{C} )
gezwungen. Die ursprünglich identifizierte Symmetrie der Raumzeit und damit der Vektoren und Tensoren ist nicht ausreichend.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 12. Apr 2024 12:38 Titel: |
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Danke für deine Antwort.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Vorab: dich interessiert hauptsächlich die Symmetrie der Raumzeit, also nicht Isospin / Flavor etc. und auch keine Eichtheorien, richtig?
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Sind auch interessante Themen, aber vorerst ja.
| Zitat: | | Wenn man die relativistische Feldtheorie (Maxwellsche Elektrodynamik) oder Quantenmechanik (Klein-Gordon, Dirac …) konstruiert, dann soll diese für bestimmte Objekte die Lorentz- bzw. korrekterweise Poincare-Symmetrie aufweisen, damit sich die Symmetrie der Raumzeit auf die Beschreibung des Systems (Lagrange-Dichte, Hamilton-Funktion bzw. Operator …) sowie auf die entsprechenden Lösungen überträgt. |
Gibt es eine rein logische Begründung warum man möchte, dass die Raumzeitsymmetrie sich auf die Objekte der Feldtheorien überträgt oder muss man auf Empirie zurückgreifen?
| Zitat: | Dabei kommen nun unterschiedliche Objekte vor, die sich unterschiedlich transformieren: die Lagrange-Dichte ist ein Skalar bzgl. der Poincare-Symmetrie, Hamiltonian H und Impulse P definieren *) eine Vektor-Darstellung, das elektromagnetische Viererpotential bzw. der Feldstärketensor leben in einer Vektor- bzw. Tensor-Darstellung zweiter Stufe.
*) bedeutet, dass es sich bei H und P um die Generatoren handelt; zusammen mit Rotationen und Boosts definieren sie eine Darstellung der Poincare-Algebra; aus der entsprechenden Symmetrie des Systems folgen gemäß Noether-Theorem die entsprechenden Erhaltungsgröße; H, P etc. spielen sozusagen eine Doppelrolle |
Hierzu habe ich eine Frage, die nicht direkt mit dem Thema, sondern mit der Terminologie zu tun hat. Mich hat es lange Zeit verwirrt, dass man von Tensoren erster Stufe als Vektoren spricht und diese bspw von Tensoren zweiter Stufe abgrenzt. Das hat bei mir zu der Vorstellung geführt, dass Tensoren keine Vektoren seien, aber im mathematischen Vektorraumsinne handelt es sich auch um Vektoren. Genauso sind Spinoren auch Vektoren. Es hat mich eine gewisse Zeit daran gehindert zu verstehen was Tensoren und Spinoren sind. Warum verwendet man diese verwirrende Terminologie?
| Zitat: | |
Hier habe ich noch eine Wissenslücke in der Lietheorie. Was bedeutet das + bei SO(3, 1). Ich dachte man sei an _\mathbb{C} ) und nicht an _\mathbb{C} \times SL(2)_\mathbb{C} ) interessiert
wenn man die Lorentzgruppe betrachtet. 
und wie sieht es aus, wenn man die Poincare-Gruppe betrachtet? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 12. Apr 2024 12:58 Titel: |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es eine rein logische Begründung warum man möchte, dass die Raumzeitsymmetrie sich auf die Objekte der Feldtheorien überträgt oder muss man auf Empirie zurückgreifen? |
Mathematisch ist es natürlich nahe liegend, möglichst alle verwendeten Objekte in irgendeine Darstellung einsortieren; rein logisch, zwingt einen niemand dazu. Tatsache ist, dass sich dieses Zusammenspiel empirisch bestätigt wurde.
| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | | Es hat mich eine gewisse Zeit daran gehindert zu verstehen was Tensoren und Spinoren sind. Warum verwendet man diese verwirrende Terminologie? |
Ich denke, die Begründung ist, dass man bei der Betrachtung der Symmetrie alles als Vektor bezeichnet, was sich analog zum Ortsvektor transformiert, also als 1-Tensor; dass es sich dabei außerdem um Elemente eines linearen Vektorraumes handelt, und dass dies auch für allgemeine Tensoren n-ter Stufe handelt, beachtet man dabei nicht.
Das + bei der Lorentzgruppe steht für die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe, d.h. in der üblichen Darstellung einer Transformation
Damit ist eine derartige Transformation ein Element der Zusammenhangskomponente der Eins; insgs. hat die SO(1,3) vier Zusammenhangskomponenten, die dann relevant werden, wenn man außerdem Raum- und Zeitspiegelungen betrachtet.
Die Komplexifizierung betrachtet man zunächst nur, um zu zeigen, dass die SO(1,3) nicht halb-einfach ist; da steckt m.W.n keine unmittelbare physikalische Idee dahinter.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 15. Apr 2024 17:43 Titel: |
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| Zitat: |
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das ist nicht korrekt, sondern
 \simeq SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 ) .
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach
Zuletzt bearbeitet von Corbi am 17. Apr 2024 15:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 17. Apr 2024 15:51 Titel: |
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ich weiß nicht warum du eine komplexifizierte Version der Lorentzgruppe betrachten willst.
Mein Post passt schon, ich habe nur vergessen die KOMPLEXE spezielle lineare Gruppe hinzuschreiben.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 17. Apr 2024 16:39 Titel: |
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1. Ok, evtl. muss man das nicht machen.
Man betrachtet
sowie
wobei
 \in SL(2,\mathbb{C}))
Damit sollte deine Aussage folgen. Man zeigt, dass S in SL(2,C) liegt, und insbs. dass
die gewünschte Invariante liefert.
2. Warum mache ich das?
Man betrachtet die zugehörige Lie-Algebra
sowie deren Komplexifizierung
)
Damit findet man
Und das sehe ich nicht ohne die Komplexifizierung. |
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