Quantenfelder in populärwissenschaftlichen Darstellungen

Quantumdot · Gast

In youtube Videos findet man Darstellungen von Quantenfeldern, wonach ein Quantenfeld omnipräsent ist und den ganzen Raum ausfüllt. Teilchen sind Elementaranregungen des Feldes. Visualisiert wird dies durch wellenartige Ausbreitung. Da wabert dann meistens irgendwas rum. Wenn man zwei einigermaßen lokalisierte Teilchen eines Quantenfeldes hat, hat man zwei wabernde Dinge an zwei unterschiedlichen Orten. Die Anregungen können im Gegensatz zum klassischen Felder nicht kontinuierlich, sondern nur in diskreten Stufen erfolgen.
Wie zutreffend sind solche Darstellungen und was "wabert" da aus Sicht der Quantenfeldtheorien?

Nach den Quantenfeldtheorien hat man zum einen abstrakte Fockzustände, die keine Ortsabhängigkeit haben und zum anderen ortsabhängige Feldoperatoren, die auf die Fockzustände wirken. Nur was ist das "Wabern" in diesen Darstellungen? Der Erwartungswert des Feldoperators bzgl. des Fockzustands?
Vielleicht kann man in diesem Zustand noch diskutieren, ob es eine anschauliche Bedeutung der Feldoperatoren gibt.

antaris

So ungefähr wie hier?

https://pro-physik.de/nachrichten/die-lehre-von-der-leere-0

Quantumdot · Gast

Hi antaris,
Nein den Dirac-See meinte ich nicht.
Als Nicht-Mitglied des Forums kann ich keine Links schicken, aber such mal auf youtube nach dem Video mit dem Titel
"Quantum Fields: The Most Beautiful Theory in Physics!"

und dann bei etwa 8:36

Was ist der Huckel, der da von links nach rechts wabert bezogen auf Fockzustände, Feldoperatoren und alles was man damit mathematisch machen kann (wie z.B. das Bilden von Erwartungswerten und Fluktuationen).

Mit dem Dirac-See hat das nichts zu tun.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Quantumdot · Gast

antaris

Aruna_Gast · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Meine Idee zur Visualisierung ist folgende:

Betrachte die Pfadintegralquantisierung der QCD mit zwei Farben in zwei Raumdimensionen. Wir vernachlässigen die Quarks und betrachten ausschließlich Gluonen. ein.

Die Wirkung und das euklidische Pfadintegral lauten

Dabei sehen A und F ähnlich aus wie in der Elektrodynamik, allerdings sind A und F su(2)-Matrizen; daher ist F auch nicht linear in A.

Zuletzt führen wir die Näherung der Gittereichtheorie ein. Auf einem Gitter mit Gitterkonstante a lebt das Eichfeld A auf den Kanten zwischen zwei Vertizes. Aus einer Eichfeld-Konfiguration auf einer Kante mu erhält man eine SU(2)-Matrix mittels

Im folgenden betrachten wir geschlossene Pfade C entlang derartiger Kanten; das sogenannte pfadgeordnete Produkt entlang C liefert

d.h. man multipliziert die einzelnen Beiträge unter Beachtung der Reihenfolge entlang C. Dieser sogenannte Wilson-Loop ist ein geeignet sortiertes Produkt über SU(2)-Matrizen entlang der Kanten mu.

Der Witz ist nun, dass man die o.g. Wirkung S[A] sowie das Pfadintegral Z vollständig durch diese U's ausdrücken kann, nämlich durch Pfade entlang aller kleinstmöglichen Quadrate auf dem gegebenen Gitter. In der Wilson-Wirkung S[U] übernehmen diese U's die Rolle der dynamischen Variablen (anstelle von A):

Die Summe läuft über alle kleinst-möglichen Quadrate der Kantenlänge a im 2+1 dim. Raumzeit-Gitter.

Zuletzt benötigt man noch das Maß des Pfadintegrals. Dieses entspricht exakt dem Haarschen Maß der SU(N), im Spezialfall der SU(2) reduziert es sich auf das Maß über die 3-dim. Oberfläche eines 4-dim. Balls. Die Koordinaten auf dieser 3-dim. Oberfläche sind gerade 3 Winkel (analog zu 2 Winkeln auf der 2-dim. Oberfläche eines 3-dim. Balls). Wir schreiben das als

wobei das Produkt über alle Gitterpunkte x sowie je Gitterpunkt alle an Kanten mu läuft; in 2+1 Dimensionen sind das ganz anschaulich 3*2 Kanten.

Was bedeutet das?

Auf jeder Kante sitzt ein U.

Dieses U ist eine unitäre N*N-Matrix aus der SU(N). Speziell für zwei Farben liefert dies SU(2); nur für diese existiert die Assoziation mit einer 3-dim. Oberfläche eines Balls, sowie den 3 Winkeln. Analog zur 2-dim. Oberfläche der Einheitskugel dürfen wir uns vorstellen, dass wenn die drei Winkel den erlaubten Wertebereich überstreichen, dass dann ein Einheitsvektor die Oberfläche der Einheitskugel überstreicht.

Für die drei Winkel schreibe ich theta. Damit erhalten wir schlussendlich

Also auf jeder Kante sitzt eine 3-dim. Kugeloberfläche, assoziiert mit drei Winkeln bzw. einem 3-dim. Einheitsvektor. Eine Eichfeldkonfiguration entspricht der Gesamtheit dieser Einheitsvektoren. Zu einen bestimmten Zeitpunkt betrachten wir ein 2-dim. Gitter; die Fluktuationen entsprechen den zeitlichen Veränderungen der Richtungen der 4-dim. Einheitsvektoren. Das Pfadintegral liefert je Konfiguration ein Maß für den Beitrag dieser Konfiguration. Im Pfadintegral treten jedoch alle Konfigurationen auf.

Jetzt haben wir immer noch zwei Probleme, nämlich
1. dass das Maß über alle raumzeitlichen Konfigurationen berechnet wird, nicht nur für einen Zeitpunkt; wir vergessen das mal und betrachten nur einzelne Zeitpunkte
2. dass wir an jeder Kante diese 3-dim. Kugeloberfläche d.h. unanschauliche 4-dim. Einheitsvektoren haben; wir reduzieren das auf eine 2-dim. Kugeloberfläche mit 3-dim. Einheitsvektoren haben, was zwar keiner Lie-Gruppe mehr entspricht, aber egal.

Wie gesagt liefert das Pfadintegral ein Maß für den Beitrag jeder Konfiguration. Aufgrund des Tricks mit der euklidischen Wirkung ist dies eine positive reelle Zahl zwischen Null und Eins. Dieses Maß berechnen wir mittels der Integrale über alle Kanten, d.h. einer Konfiguration wird genau eine derartige Zahl zugeordnet.

Jetzt zur Veranschaulichung:

1. wir zeichnen das 2-dim. Gitter

2. wir zeichnen eine zeitliche Abfolge von Konfigurationen in einer Farbe; eine Konfiguration ist gegeben durch eine beliebige Wahl von Einheitsvektoren, einer je Kante
3. wir berechnen das Maß für diese Konfiguration und re-normieren alle Einheitsvektoren mittels dieses Maßes
2. und 3. liefert uns einen Film, wobei die Vektoren im Verlauf des Films ihre Länge nicht ändern, jedoch je Kante ihre Richtung

4. nun betrachten wir alle – überabzählbar unendlich viele – Konfigurationen und wählen zunächst einige mit möglichst großem Maß aus, d.h. Länge der Vektoren nahe Eins
5. wir zeichnen die zeitliche Abfolge all dieser Konfigurationen, je Konfiguration in einer eigenen Farbe
4. und 5. liefert uns eine Überlagerung von Film, einen je Farbe

Zur Visualisierung des gesamten Quantenzustandes benötigen wir prinzipiell überabzählbar unendlich viele Filme.

Das interessante ist, dass man für SU(2) bzw. allgemein SU(N) nicht-triviale Lösungen erhält, die ein Extremum des Maßes liefern.

Speziell für die Quantenelektrodynamik erhält man ausschließlich Fluktuationen des Photonfeldes um eine triviale Lösung

d.h. triviale Eichfelder modulo Eichtransformationen. Das entspräche in der QED mit Eichgruppe U(1) genau einem Winkel.

In der SU(2) mit drei Winkeln existieren nicht-triviale Konfigurationen, u.a. Solitonen und Instantonen; dies entspricht klassischen Lösungen der Feldgleichungen, d.h. Extrema der Wirkung, mit Quantenfluktuationen um diese Extrema.

Für die einfacher zu veranschaulichende S(2) mit zwei Winkeln liegt keine Lie-Gruppe und demnach keine Eichtheorie vor; die Visualisierung von Fluktuationen verläuft jedoch analog. Die konkrete Theorie einschließlich weiterer Wechselwirkungen modifiziert die Wirkung und damit die Länge der zu zeichnenden Vektoren, nicht die möglichen Vektoren.

In einer Eichtheorie enthält der o.g. Ansatz Konfigurationen, die äquivalent unter Eichtransformationen sind. Beschreibt man diese mittels SU(N) Rotationen

so ist

invariant unter Eichtransformationen. D.h. die genannte Visualisierung lässt zu viele Möglichkeiten zu. Wählt man eine geeignete Eichfixierung, so bleiben nur noch Konfigurationen übrig, die sicher inäquivalent unter Eichtransformationen sind. Das reduziert die o.g. Filme, die zu betrachten sind, ändert jedoch wiederum nicht die grundsätzliche Idee der Visualisierung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Hier ein Beispiel derartige Fluktuationen im QCD-Vakuum:

http://www.physics.adelaide.edu.au/theory/staff/leinweber/VisualQCD/Nobel/index.html

Achtung: die Visualisierung erfolgt rein mittels Farbcodierung; und die Visualisierung zeigt nicht die quantenmechanische Superposition mehrerer Konfigurationen d.h. mehrerer Filme, nur eine Mittelung d.h. letztlich einen einzigen klassisches Film.

Hier weitere Visualisierungen:

https://arxiv.org/pdf/1903.08308.pdf

Die Darstellung mittels Vektoren zeigt nicht das o.g. Eichfeld bzw. dessen Winkel-Variablen, sondern das chromo-magnetische Feld der QCD; wiederum jedoch nicht dessen Superpositionen

Hier wird eine andere Größe und deren Fluktuationen visualisiert:

https://www.bu.edu/tech/support/research/whats-happening/highlights/lattice-qcd09/

Wiederum nur eine Mittelung, ohne Superpositionen.