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dasoermel
Anmeldungsdatum: 20.10.2007
Beiträge: 3
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 dasoermel Verfasst am: 20. Okt 2007 22:17 Titel: Exponentielle Prozesse mit Störfunktion |
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Hallo
Ich studiere Mathe und muss ein Referat halten über exponentielle Prozesse.
Nun habe ich eine Frage zu gestörten Exponentialprozessen (Bsp.: Bei einer chemischen Reaktion kann man zusätlich reagierende Substanzen einbinden.)
Im Heuser (Lehrbuch der Analysis I) steht:
Wird der "Prozesssubstanz=u(t)" pro Zeiteinheit die "Menge" S(t) zugeführt oder entzogen, so ändert sich u(t) in dem (hinreichend kleinen) Zeitintervall  näherungsweise um:
:=u(t+\Delta t) - u(t) = a \cdot u(t) \cdot \Delta t + S(t) \cdot \Delta t = (a \cdot u(t) + S(t)) \cdot \Delta t)
Die Frage ist nun, wie folgendes zustande kommt:
 - u(t) = a \cdot u(t) \cdot \Delta t + S(t) \cdot \Delta t)
Kann man das mathematisch zeigen?! Ist es einfach eine Definition? Braucht man dazu Wissen aus der Physik?!
Mathematisch bin ich da nicht drauf gekommen!!!!
Ich würde mich über eure Hilfe freuen!
LG Lutz |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 20. Okt 2007 23:35 Titel: |
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Hallo dasoermel  .
Im Moment sehe ich nicht viel Physik in der Problemstellung. Ich möchte trotzdem darbringen was ich sehe. Es handelt sich bei Deiner Formel im Prinzip um eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Man sieht es besser, wenn man Deine Gleichung umstellt und den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten vollzieht:
 + S(t))
bzw.
 = S(t))
Als Lösung bekommt man dann einen Exponentialausdruck. Wenn es bei Deinem Thema um einen exponetielle Prozesse geht, macht es Sinn, daß ein Ausdruck entsteht, wie Du ihn angegeben hast. Als Beispiel habe ich folgende Funktion gewählt:
 = t \cdot \operatorname{e}^{a \cdot t})
Daraus folgt dann:
)
Ein Vergleich mit der Differentialgleichung ergibt:
 = \operatorname{e}^{a \cdot t})
Ich weiß nicht, ob es Dir etwas geholfen hat. Vielleicht wissen die Leute vom Matheboard mehr. |
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dasoermel
Anmeldungsdatum: 20.10.2007
Beiträge: 3
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| dasoermel Verfasst am: 21. Okt 2007 01:00 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: |
bzw.
Daraus folgt dann:
Ein Vergleich mit der Differentialgleichung ergibt:
Ich weiß nicht, ob es Dir etwas geholfen hat. Vielleicht wissen die Leute vom Matheboard mehr. |
Also wenn ich
in
einsetze, dann kommt für mich aber S(t)=0 raus?! Und das wäre jetzt nicht wirklich eine Störfunktion!
Wie ich im ersten Beitrag schon gesagt habe weiß ich nur nicht wie ich auf die Beziehung
komme! Also was wird in dem Schritt gemacht?! Wie kann man das erklären?!
Die Lösung der DGL ist übigens u(t)=u_p(t) + C*e^(a*t) wobei C eine Konstante ist und u_p(t) eine partikuläre Lösung der gestörten DGL.
Wäre über weitere Hilfe dankbar!
Gruß Lutz |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 21. Okt 2007 11:31 Titel: |
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Hallo.
| v hat Folgendes geschrieben: | Also wenn ich
in
einsetze, dann kommt für mich aber S(t)=0 raus?! |
Das solltest Du noch einmal nachrechnen  .
Ok, einen Versuch mache ich noch. Ich stelle mir also einen beliebigen (fiktiven) physikalischen Prozeß vor, der exponentiell ablaufen mag. Ich wähle dazu einen Kaskade, bei der stetig neue Teilchen erzeugt werden. Die Teilchenzahl sei dann durch die Funktion
 = C \cdot \operatorname{e}^{a \cdot t})
beschrieben. Zu einen Zeitpunkt t sind dann also entsprechend viele Teilchen freigesetzt worden. Zu einen Zeitpunkt  läßt sich dann schreiben
 &=& C \cdot \operatorname{e}^{a \cdot (t + \Delta t)} \\ &=& C \cdot \operatorname{e}^{a \cdot t} \cdot \operatorname{e}^{a \cdot \Delta t} \\ &=& v(t) \cdot \operatorname{e}^{a \cdot \Delta t})
Da eine recht kleine Größe ist, erlaube ich mir die Exponentialfunktion in einer Näherung zu behandeln. Ich gehe dazu von einer Taylor-Reihe aus und breche nach der 1. Ordnung ab:
Damit erhält man für die Näherung der Teilchenzahl:
 &=& v(t) \cdot (1 + a \cdot \Delta t) \\ &=& v(t) + a \cdot v(t) \cdot \Delta t)
Umgestellt ergibt sich dann für die Änderung der Teilchenzahl:
 - v(t) = a \cdot v(t) \cdot \Delta t)
Das sieht doch schon recht ähnlich nach dem aus, was Du möchtest.
Was ist, wenn man feststellt, daß der Prozeß der Teilchenkaskade nicht vollständig durch eine exponetielle Abhängigkeit beschrieben werden kann, sondern nur in kleinen Intervallen recht nahe dran kommt? Was ist, wenn durch Absorbtion oder Teilchenzerstrahlung eine Anzahl von Teilchen verlustig geht? Man kann versuchen dies zu bestimmen und durch eine Rate ) zu beschreiben. Dies soll ausdrücken, wieviel Teilchen pro kleinem Zeitintervall entnommen werden. (Anmerkung: wird in diesem Beispiel negativ sein; für einen Prozeß, bei dem etwas hinzugefügt wird, ist entsprechend positiv). Die Gesamtzahl der in einem Zeitbereich von entnommenen Teilchen ist dann  \cdot \Delta t) .
Wird die Annäherung des reellen Prozesses durch ) beschrieben, kann man nun für die Änderung der Teilchenzahl analog wie oben vorgehen. Als Ergänzung füge ich jedoch noch den Term hinzu, der die Abweichung von der reinen Exponentialfunktion darstellt:
 = a \cdot u(t) \cdot \Delta t + S(t) \cdot \Delta t)
Bringt Dich diese Vorgehensweise eines Physikers weiter? |
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dasoermel
Anmeldungsdatum: 20.10.2007
Beiträge: 3
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| dasoermel Verfasst am: 21. Okt 2007 15:43 Titel: |
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Ja super! Ich danke dir! Ich hab's verstanden!!!!
Wenn ich nochmal Fragen habe, dann wende ich mich an dich!
Vielen Dank!
LG Lutz |
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