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Hochseeangler
Gast
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 Hochseeangler Verfasst am: 06. Feb 2026 12:24 Titel: |
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Ja, soweit ist das auch verständlich.
Allerdings scheitere ich immer noch an der Vorstellung, dass es unendlich viel Information auf einem endlichen Volumen geben soll. Vielleicht hab ich aber auch einen Denkfehler. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 06. Feb 2026 12:49 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings scheitere ich immer noch an der Vorstellung, dass es unendlich viel Information auf einem endlichen Volumen geben soll. |
Das geht auch nur theoretisch. Praktisch wird mit der Information auch Energie gespeichert und die Energiedichte eines endlichen Volumens muss kleiner als die eines Schwarzen Loches sein, wenn die Information lesbar bleiben soll soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 13:52 Titel: |
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Schauen wir uns ein anderes Beispiel an, ein Wasserstoffatom. Vergessen wir zunächst mal, dass angeregte Zustände wieder in den Grundzustand übergehen.
Wir haben gebundene Zustände mit den Energien
Die Quantenmechnaik liefert uns dazu noch Korrekturen und ein paar weitere Effekte, die wir vernachlässigen.
Den zughörigen Zustand bzw. die Wellenfunktion bezeichne ich mit u_n.
So wie wir elektromagnetische Wellen überlagern könne, können wir auch quantenmechanisch Zustände überlagern. Das folgt in beiden Fällen aus der Linearität der Gleichungen (Maxwell, Schrödinger) und aus dem Superpositionsprinzip. Daher sind Zustände der Form
etwas völlig normales, wir können sie sogar im Labor erzeugen.
Ein Zustand
wobei die drei psi's ungleich Null sind, entspricht dann 1100000000000010.
Da n über die positiven natürlichen Zahlen läuft, können wir mathematisch sogar in einem einzelne Atom unendlich viele Bits kodieren; praktisch geht das nicht, die Zustände sind instabil, die hochangeregten Zustände lassen sich kaum unterscheiden, die Information lässt sich nicht einfach bitweise schreiben und auslesen, es sind wohl keine beliebige Kombinationen von Bits erzeugbar ... praktisch ist immer das selbe, von der guten alten Festplatte bis hin zum Quantencomputer.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 14:39 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Praktisch wird mit der Information auch Energie gespeichert und die Energiedichte eines endlichen Volumens muss kleiner als die eines Schwarzen Loches sein, wenn die Information lesbar bleiben soll soll. |
Das trifft in meinem Beispiel des Wasserstoffatoms so nicht zu.
Der Zustand ist normierbar, also gilt
Für den Energieerwartungswert gilt demnach
Die in den Zustand hineinzusteckende Energie darf E_0 nicht erreichen, weil wir ansonsten einen teilweise ionisierten Zustand erzeugen.
Das Wasserstoffatom verletzt die Annahme, dass die Information in einem endlichen Volumen gespeichert ist.
Hier wäre das anders:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das selbe gilt für den quantenmechanischen 1-dim. Potentialtopf als einfachstes Modell eines Atoms.
Praktisch sieht das anders aus, denn der Potentialtopf hat nur eine endliche Tiefe und man erhält nur endlich viele Eigenmoden. |
Der Topf hat eine endliche Breite und damit ein endliches Volumen. Für unendlich viele Bite müsste er unendlich tief sein; dann gilt, dass im n-ten Bit eine Energie
gespeichert ist. Damit stimmt die Aussage von DrStupid.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 06. Feb 2026 15:29 Titel: |
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Okay. Aber das heißt, praktisch ist die Reihe auf eine gewisse Anzahl an Gliedern begrenzt, oder?
Würdest du jedem Glied der Superposition eine reale Bedeutung zuweisen? Es sind ja unendlich viele...
Wie würdest du solch ein Beispiel aus der Elektrotechnik sehen? Besteht eine Rechteckschwingung in der Natur aus unendlich vielen harmonischen Anteilen? Oder ist es einfach nur eine Beschreibung? Ist es klar, auf was ich hinaus will? Vielleicht muss ich nochmal überlegen, wie ist es formulieren. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 06. Feb 2026 15:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Praktisch wird mit der Information auch Energie gespeichert und die Energiedichte eines endlichen Volumens muss kleiner als die eines Schwarzen Loches sein, wenn die Information lesbar bleiben soll soll. |
Das trifft in meinem Beispiel des Wasserstoffatoms so nicht zu. |
Wieso nicht? Die Energiedichte eines Wasserstoffatoms ist doch kleiner als die eines Schwarzen Loches.  Ich bezog mich zwar auf Dein Beispiel mit dem Hohlraumresonator, aber auch der würde in der Realität nicht einmal annähernd an die theoretische Obergrenze heran kommen, weil es kein Material gibt, das das aushalten würde. Vielleicht ginge es mit einem Geon, aber das ist ja nicht eindimensional. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 06. Feb 2026 15:39 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Besteht eine Rechteckschwingung in der Natur aus unendlich vielen harmonischen Anteilen? |
Nein, in der Realität ist irgendwann Schluss - entweder weil die Gesamtenergie zu hoch wird oder weil die Energie der Beiträge höherer Ordnung jeweils kleiner wird als die eines einzelnen Photons. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 16:01 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Praktisch wird mit der Information auch Energie gespeichert und die Energiedichte eines endlichen Volumens muss kleiner als die eines Schwarzen Loches sein, wenn die Information lesbar bleiben soll soll. |
Das trifft in meinem Beispiel des Wasserstoffatoms so nicht zu. |
Wieso nicht? Die Energiedichte eines Wasserstoffatoms ist doch kleiner als die eines Schwarzen Loches. ;) Ich bezog mich zwar auf Dein Beispiel mit dem Hohlraumresonator, aber auch der würde in der Realität nicht einmal annähernd an die theoretische Obergrenze heran kommen, weil es kein Material gibt, das das aushalten würde. Vielleicht ginge es mit einem Geon, aber das ist ja nicht eindimensional. |
Na ja, deine Formulierung deutet an, mehr Information impliziere mehr Energie. Im Wasserstoffatom ist aber die gesamte Information mit einem Aufwand von weniger als 13.6 eV speicherbar.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 16:19 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Okay. Aber das heißt, praktisch ist die Reihe auf eine gewisse Anzahl an Gliedern begrenzt, oder? |
Ja.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Würdest du jedem Glied der Superposition eine reale Bedeutung zuweisen? |
Ja.
Ich kann die Dinger anregen, messen, das Licht der jeweiligen Wellenlänge sehen ...
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 06. Feb 2026 16:28 Titel: |
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| Zitat: |
Ja.
Ich kann die Dinger anregen, messen, das Licht der jeweiligen Wellenlänge sehen ... |
Hmn. Somit hat dann ein Wasserstoffatom unendlich viele Bestandteile? Oder wie soll man sich das vorstellen? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 06. Feb 2026 17:11 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im Wasserstoffatom ist aber die gesamte Information mit einem Aufwand von weniger als 13.6 eV speicherbar. |
Davon abgesehen, dass das Wasserstoffatom bereits im Grundzustzand 938 MeV auf die Waage bringt, kann man damit nicht unendlich viel Information auf endlichem Raum speichern. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 17:15 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im Wasserstoffatom ist aber die gesamte Information mit einem Aufwand von weniger als 13.6 eV speicherbar. |
Davon abgesehen, dass das Wasserstoffatom bereits im Grundzustzand 938 MeV auf die Waage bringt ... |
... was aber nur dem "Trägermedium" entspricht. Die eigtl. Information steckt in den 13.6 eV.
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | ... kann man damit nicht unendlich viel Information auf endlichem Raum speichern. |
Siehe oben:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das Wasserstoffatom verletzt die Annahme, dass die Information in einem endlichen Volumen gespeichert ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 17:31 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Ja.
Ich kann die Dinger anregen, messen, das Licht der jeweiligen Wellenlänge sehen ... |
Hmn. Somit hat dann ein Wasserstoffatom unendlich viele Bestandteile? Oder wie soll man sich das vorstellen? |
Es hat nicht unendlich viele Bestandteile sondern unendliche viele möglich "Eigenschaften".
Stell dir eine Raumkapsel vor; wir betrachten eine Eigenschaft, nämlich ihre Geschwindigkeit; als Vektor "lebt" sie mathematisch in einem 3-dim. Vektorraum. Die Quantenmechanik verwendet ebenfalls einen Vektorraum, allerdings ist dieser unendlich-dimensional (das ist eigtl. der einzige essentielle Unterschied zur Schulmathematik, und der beste Startpunkt, QM zu verstehen).
Wäre die Raumkapsel völlig alleine in einem völlig leeren Universum, so würde es überhaupt keinen Sinn ergeben, den Vektor in Komponenten zu zerlegen; "Richtung bzgl. etwas" ist dann einfach sinnlos (außer dass die Raumkapsel ihre bisherige Flugrichtung ändern könnte.
Die unendlich-dimensionalen Komponenten eines Quantenobjektes erhalten ebenfalls erst im Kontext einer Messung einen Sinn, aber da haben sie einen sehr präzisen. Übrigens hast du exakt das selbe beim Spektrum von Licht; auch das hat unendlich viele Eigenschaften, nämlich die Amplitude je Wellenlänge.
Mit der o.g. Information ist das ähnlich, Information ist immer bezogen auf jemanden, der diese Information teilen möchte. Für den einen ist ein elektromagnetisches Signal nur ein Signal, für den anderen ist das selbe Signal aus Fourier-Moden zusammengesetzt, wobei diese einzelne Bits kodieren. Das ist aber keine Eigenschaft des Signals alleine, sondern unsere Interpretation desselben, das haben wir so entschieden.
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 06. Feb 2026 18:56 Titel: |
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| Zitat: |
Es hat nicht unendlich viele Bestandteile sondern unendliche viele möglich "Eigenschaften". |
Ahhh, ich glaube ich komme meinem Verständnisproblem näher. Angenommen ich habe ein sinusförmiges Spannungssignal. Wären dann die unendlich möglichen Eigenschaften, dass die Amplitude des Signals theoretisch unendlich hohe Werte annehmen kann?
| Zitat: | | Die Quantenmechanik verwendet ebenfalls einen Vektorraum, allerdings ist dieser unendlich-dimensional (das ist eigtl. der einzige essentielle Unterschied zur Schulmathematik, und der beste Startpunkt, QM zu verstehen). |
Wie sind dann diese in unsere 4-dim. Raumzeit eingebettet? Denn darin bewegt sich doch ein Teilchen. Oder verstehe ich das wieder falsch?
| Zitat: | | Mit der o.g. Information ist das ähnlich, Information ist immer bezogen auf jemanden, der diese Information teilen möchte. Für den einen ist ein elektromagnetisches Signal nur ein Signal, für den anderen ist das selbe Signal aus Fourier-Moden zusammengesetzt, wobei diese einzelne Bits kodieren. Das ist aber keine Eigenschaft des Signals alleine, sondern unsere Interpretation desselben, das haben wir so entschieden. |
Okay, also kann man das ganze so betrachten, dass die Fourier-Moden ein Mittel sind, solch ein Signal zu modulieren, aber in der Realität gar nicht unendlich viele Bestandteile existieren?
Sorry für die vielen merkwürdigen Fragen, aber im Studium hieß es immer nur, die Mathematik ist unser Werkzeug zur Darstellung solcher Funktionen. Nicht mehr und nicht weniger. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 06. Feb 2026 22:34 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Ahhh, ich glaube ich komme meinem Verständnisproblem näher. Angenommen ich habe ein sinusförmiges Spannungssignal. Wären dann die unendlich möglichen Eigenschaften, dass die Amplitude des Signals theoretisch unendlich hohe Werte annehmen kann? |
Das ist die zweite Möglichkeit, Informationen zu kodieren. Die erste ist, dass es dieses Signal mit dieser Frequenz ist und kein anderes. Die zweite Möglichkeit entspricht dem AM-Standard uralter Radios. Mit ihm ändert sich tatsächlich unmittelbar die Energie abhängig von der Information, und er ist nicht so leicht auf die Quantenmechanik zu übertragen. Deswegen bleibe ich lieber bei den verschiedenen Frequenzen, der ersten Methode.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Die Quantenmechanik verwendet ebenfalls einen Vektorraum, allerdings ist dieser unendlich-dimensional (das ist eigtl. der einzige essentielle Unterschied zur Schulmathematik, und der beste Startpunkt, QM zu verstehen). |
Wie sind dann diese in unsere 4-dim. Raumzeit eingebettet? Denn darin bewegt sich doch ein Teilchen. |
Sie sind gar nicht eingebettet, es ist eine formale Entsprechung:
 = \psi_1 \, u_1(x) + \psi_2 \, u_2(x) + \psi_3 \, u_3(x) + \ldots)
Und die Quantenmechanik handelt nicht von Teilchen im Sinne des Wortes.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Mit der o.g. Information ist das ähnlich, Information ist immer bezogen auf jemanden, der diese Information teilen möchte. Für den einen ist ein elektromagnetisches Signal nur ein Signal, für den anderen ist das selbe Signal aus Fourier-Moden zusammengesetzt, wobei diese einzelne Bits kodieren. Das ist aber keine Eigenschaft des Signals alleine, sondern unsere Interpretation desselben, das haben wir so entschieden. |
Okay, also kann man das ganze so betrachten, dass die Fourier-Moden ein Mittel sind, solch ein Signal zu modulieren, aber in der Realität gar nicht unendlich viele Bestandteile existieren? |
Gegenfrage: Wenn du Sonnenlicht mittels eines Prismas zerlegst, inwiefern waren dann die jetzt nach Farben getrennten Lichtwellen vorher Bestandteile des Sonnenlichts?
Derartige Fragen und Begriffe führen in die Irre, wenn man sie zu wörtlich nimmt. Man kann sie als grobe Analogien verstehen, aber eigtl. muss man etwas abstrakter denken und sich von anschaulichen Begriffen verabschieden.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Sorry für die vielen merkwürdigen Fragen, aber im Studium hieß es immer nur, die Mathematik ist unser Werkzeug zur Darstellung solcher Funktionen. Nicht mehr und nicht weniger. |
Das ist ein bekannter Ausgangspunkt.
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 07. Feb 2026 08:02 Titel: |
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| Zitat: | | Das ist die zweite Möglichkeit, Informationen zu kodieren. Die erste ist, dass es dieses Signal mit dieser Frequenz ist und kein anderes. Die zweite Möglichkeit entspricht dem AM-Standard uralter Radios. Mit ihm ändert sich tatsächlich unmittelbar die Energie abhängig von der Information, und er ist nicht so leicht auf die Quantenmechanik zu übertragen. Deswegen bleibe ich lieber bei den verschiedenen Frequenzen, der ersten Methode. |
Okay. Dann scheine ich diesen Punkt vermutlich nun verstanden zu haben. Somit bedeuten nun die unendlichen Freiheitsgrade, dass die Variablen der Funktion nicht auf bestimmte Wertebereiche begrenzt werden, oder?
| Zitat: |
Sie sind gar nicht eingebettet, es ist eine formale Entsprechung:
Und die Quantenmechanik handelt nicht von Teilchen im Sinne des Wortes. |
Somit geht es hier rein um die mathematische Darstellung der Phänomene? Also bedeutet das nicht, dass wir in einer unendlich dimensionalen Welt leben, korrekt?
| Zitat: | Gegenfrage: Wenn du Sonnenlicht mittels eines Prismas zerlegst, inwiefern waren dann die jetzt nach Farben getrennten Lichtwellen vorher Bestandteile des Sonnenlichts?
Derartige Fragen und Begriffe führen in die Irre, wenn man sie zu wörtlich nimmt. Man kann sie als grobe Analogien verstehen, aber eigtl. muss man etwas abstrakter denken und sich von anschaulichen Begriffen verabschieden. |
Ja, natürlich sind es Bestandteile, oder? Allerdings: das Sonnenlicht besteht doch nicht aus unendlich vielen Bestandteilen?!? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 11:07 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Das ist die zweite Möglichkeit, Informationen zu kodieren. Die erste ist, dass es dieses Signal mit dieser Frequenz ist und kein anderes. Die zweite Möglichkeit entspricht dem AM-Standard uralter Radios. Mit ihm ändert sich tatsächlich unmittelbar die Energie abhängig von der Information, und er ist nicht so leicht auf die Quantenmechanik zu übertragen. Deswegen bleibe ich lieber bei den verschiedenen Frequenzen, der ersten Methode. |
Okay. Dann scheine ich diesen Punkt vermutlich nun verstanden zu haben. Somit bedeuten nun die unendlichen Freiheitsgrade, dass die Variablen der Funktion nicht auf bestimmte Wertebereiche begrenzt werden, oder? |
Die Zählung der Freiheitsgrade und die Kodierung von Information haben wenig miteinander zu tun. Letzteres haben wir anhand der Fourierreihe diskutiert, und die tritt bereits für gewöhnlich quantenmechanische Systeme mit nur einem Freiheitsgrad auf, d.h. wir können – theoretisch – in einem quantenmechanischen Systeme mit einem Freiheitsgrad dennoch unendlich viel Informationen kodieren.
Um die Zählung der Freiheitsgrade besser zu verstehen hier folgendes Analagon:
Ein quantenmechanisches System resultiert mathematisch aus einem klassischen System eines Massepunktes = eines Freiheitsgrades durch die sogenannte kanonische Quantisierung. Dazu betrachtet man Ort x und Impuls p sowie die Energie- bzw. Hamiltonfunktion
)
Quantisieren bedeutet, man übersetzt x und p in Operatoren. Eine spezielle Wahl, nämlich
führt auf die Schrödinger-Gleichung
mit
)
Betrachten wir nun zwei Massenpunkte = zwei Freiheitsgrade i=1,2 die durch eine Feder verbunden sind, so funktioniert dies analog
)
Für N identische Teilchen in drei Dimensionen d.h. für 3•N Freiheitsgrade liefert dies
)
wobei Delta_i den Laplace-Operator mit den i-ten Ortskoordinaten bezeichnet, und die Summe über alle Paare nächster Nachbarn (1,2), (2,3) … (N-1,N) läuft.
Nun kommt der Witz: setzt man speziell ein harmonisches Oszillatorpotential an, führt den Grenzübergang N gegen unendlich und gleichzeitig den Kontinuumslimes durch, und skaliert einige Größen geeignet um, so erhält man den Hamiltonoperator eines freien Skalarfeldes. D.h. eine Quantenfeldtheorie kann verstanden werden als spezieller Grenzfall eines quantenmechanischen Systems.
(Das ist etwas komplizierter, ich suche noch eine gute Darstellung) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 11:19 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Somit geht es hier rein um die mathematische Darstellung der Phänomene? Also bedeutet das nicht, dass wir in einer unendlich dimensionalen Welt leben, korrekt? |
Nicht in einer räumlich unendlich-dimensionalen Welt.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Gegenfrage: Wenn du Sonnenlicht mittels eines Prismas zerlegst, inwiefern waren dann die jetzt nach Farben getrennten Lichtwellen vorher Bestandteile des Sonnenlichts?
Derartige Fragen und Begriffe führen in die Irre, wenn man sie zu wörtlich nimmt. Man kann sie als grobe Analogien verstehen, aber eigtl. muss man etwas abstrakter denken und sich von anschaulichen Begriffen verabschieden. |
Ja, natürlich sind es Bestandteile, oder? Allerdings: das Sonnenlicht besteht doch nicht aus unendlich vielen Bestandteilen?!? |
Das Sonnenlicht ist klassisch (also nicht mit Methoden der Quantenfeldtheorie betrachtet) ein elektromagnetisches Feld, in dem die Frequenz gemäß der Planckschen Strahlungsformel beitragen. In gewisser Weise "besteht" es also aus diesen Frequenzanteilen. Man sollte sich das aber nicht irgendwie vorstellen, nicht an Kügelchen oder Legosteine denken.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 07. Feb 2026 12:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die eigtl. Information steckt in den 13.6 eV. |
Das ist zwar theoretisch der Fall, aber ich sprach oben von der Praxis. In einem Gedankenexperiment kann ich das Atom z.B. auf eine unendlich genaue Waage legen um seine Energie zu bestimmen. In der Praxis geht das natürlich nicht. Wenn wir uns bei der Anzahl der Zustände auf die Quantzenmechanik berufen, dann müssen wir das konsequenterweise auch bei der Messung der Unterschiede tun und da setzt sie uns Grenzen. Wenn ich beispielsweise die Emissionslinien beim Übergang in einen energetisch niedrigeren Zustand messe, dann werde ich mit dem Problem konfrontiert, dass die Energieunterschiede nach oben unendlich klein werden, die Linienbreite aber endlich ist (andernfalls wäre der Zustand beliebig stabil und es gäbe gar keine Emission). Innerhalb der 13.6 eV bis zur Ionisation des Wasserstoffs sind also nur endlich viele Zustände experimentell unterscheidbar. Will ich n mal so viel unterbringen, dann brauche ich dafür n·13.6 eV und für unendlich viel Information geht dann auch die Energie gegen unendlich. |
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 07. Feb 2026 13:12 Titel: |
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| Zitat: | | Die Zählung der Freiheitsgrade und die Kodierung von Information haben wenig miteinander zu tun. Letzteres haben wir anhand der Fourierreihe diskutiert, und die tritt bereits für gewöhnlich quantenmechanische Systeme mit nur einem Freiheitsgrad auf, d.h. wir können – theoretisch – in einem quantenmechanischen Systeme mit einem Freiheitsgrad dennoch unendlich viel Informationen kodieren. |
Gut. Um das ganze jetzt nochmal sauber zu trennen:
Unendlich viel Information kann ich theoretisch in einem System, wie z.B. einem Spannungssignal kodieren, weil ich die Werte für die Frequenz und Amplitude beliebig groß wählen kann (geht praktisch natürlich nicht).
Unendlich viele Freiheitsgrade erhalte ich, wenn ich den Limes eines Systems mit n endlichen Freiheitsgraden mit n gegen unendlich laufen lasse?
Hat somit die Quantenmechanik erstmal nur endliche Freiheitsgrade und erst die Quantenfeldtheorie unendliche Freiheitsgrade?
| Zitat: | | Nicht in einer räumlich unendlich-dimensionalen Welt. |
Gut, das meine ich. In der Welt, in der sich räumlich alles abspielt, haben wir doch die 4 dimensionale Raumzeit.
| Zitat: | | Das Sonnenlicht ist klassisch (also nicht mit Methoden der Quantenfeldtheorie betrachtet) ein elektromagnetisches Feld, in dem die Frequenz gemäß der Planckschen Strahlungsformel beitragen. In gewisser Weise "besteht" es also aus diesen Frequenzanteilen. Man sollte sich das aber nicht irgendwie vorstellen, nicht an Kügelchen oder Legosteine denken. |
Ja, es ist vermutlich sinnvoll, sich von dem Teilchengedanken zu lösen. Wie gesagt, ich hatte im Studium nur klassische Physik, aber dort wurde halt auch nicht zu viel über das, was da wirklich ist, nachgedacht....Mathematik als Werkzeug eben (was ja auch an sich nicht verwerflich ist).
Kann man somit sagen, dass das Sonnenlicht aus diskreten endlichen Anteilen besteht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 15:00 Titel: |
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@DrStupid – du hast recht, aber ich glaube, ich habe das auch alles mal angesprochen 😉
Zuletzt bearbeitet von TomS am 07. Feb 2026 15:04, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 15:03 Titel: |
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@Hochseeangler – ja, genau so; den Grenzübergang für gegen unendlich zeige ich noch.
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 07. Feb 2026 15:27 Titel: |
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Alles klar, danke.
Sind meine anderen Punkte soweit korrekt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 15:47 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | Alles klar, danke.
Sind meine anderen Punkte soweit korrekt? |
Ja, deswegen schrieb ich "genau so". 😉
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 07. Feb 2026 16:46 Titel: |
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Super danke! Und danke für deine Geduld mit mir!
Nocheinmal ganz kurz zu der Kodierung:
Angenommen ich habe ein Spannungssignal wie ein Rechteckimpuls.
Nun könnte ich mit dem Signal theoretisch unendlich viele Signale je nach Amplitude erstellen.
Allerdings kann ich nicht in einem Signal unendlich viele Informationen unterbringen, zumindest praktisch. Theoretisch könnte ich unendlich viele Informationen erhalten, wenn ich von der Rechteckfunktion alle Fourierkoeffizienten bestimmen würde. Praktisch gibt es keine ideale Rechteckfunktion und deshalb nur begrenzt viele Koeffizienten.
Korrekt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 07. Feb 2026 21:59 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | Super danke! Und danke für deine Geduld mit mir! |
Gerne.
Wenn du noch ein bisschen Geduld mitbringst, können wir die Quantenmechanik auf eine solide Grundlage stellen.
| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | Angenommen ich habe ein Spannungssignal wie ein Rechteckimpuls.
Nun könnte ich mit dem Signal theoretisch unendlich viele Signale je nach Amplitude erstellen.
Allerdings kann ich nicht in einem Signal unendlich viele Informationen unterbringen, zumindest praktisch. Theoretisch könnte ich unendlich viele Informationen erhalten, wenn ich von der Rechteckfunktion alle Fourierkoeffizienten bestimmen würde. Praktisch gibt es keine ideale Rechteckfunktion und deshalb nur begrenzt viele Koeffizienten. |
Praktisch können wir keine beliebig kurzen Wellenlängen und daher nur begrenzt viele Koeffizienten erzeugen; jetzt wird die Quantenfeldtheorie wichtig, derzufolge kürzere Wellenlängen höheren Energien der "Teilchen" entsprechen.
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 07. Feb 2026 23:11 Titel: |
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Die Geduld habe ich gerne.
Ist mein Beispiel zum Rechteckimpuls soweit richtig von mir erklärt worden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2026 05:08 Titel: |
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Ja, außer dass ich statt "Praktisch gibt es keine ideale Rechteckfunktion und deshalb nur begrenzt viele Koeffizienten" lieber mittels "praktisch können wir keine beliebig kurzen Wellenlängen und daher nur begrenzt viele Koeffizienten erzeugen" erkläre. Dass es keine idealen Rechteckfunktionen gibt ist ja die Konsequenz daraus, dass wir keine beliebig kurzen Wellenlängen erzeugen können.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2026 05:09 Titel: |
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Aber dann starte doch mal einen neuen Thread zur QM, wenn du Lust hast.
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 08. Feb 2026 08:44 Titel: |
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Habe ich gemacht.
Dann nochmal kurz eine Frage zu den Paradoxon, über die wir ja mal gesprochen haben.
Manchmal liest man in dem Zusammenhang, dass es (wenige) Physiker gibt, die Zeit für eine Illusion halten. Wie siehst du das? Ich würde dem widersprechen, denn wir können Zeit messen und mit der Größe arbeiten. Natürlich gibt es die bekannten Einschränkungen, die Einsteins Relativitätstheorie mitbringt, aber in meinen Augen ist Zeit keine Illusion. |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 08. Feb 2026 09:45 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | Super danke! Und danke für deine Geduld mit mir!
Nocheinmal ganz kurz zu der Kodierung:
Angenommen ich habe ein Spannungssignal wie ein Rechteckimpuls.
Nun könnte ich mit dem Signal theoretisch unendlich viele Signale je nach Amplitude erstellen.
Allerdings kann ich nicht in einem Signal unendlich viele Informationen unterbringen, zumindest praktisch. Theoretisch könnte ich unendlich viele Informationen erhalten, wenn ich von der Rechteckfunktion alle Fourierkoeffizienten bestimmen würde. Praktisch gibt es keine ideale Rechteckfunktion und deshalb nur begrenzt viele Koeffizienten.
Korrekt? |
das ist m.E. falsch, hängt aber eventuell davon ab was man unter "Information" versteht.
Kann ich mit der Zeichenfolge "Pi" unendlich viel Information übertragen, weil die Dezimaldarstellung der damit assoziierten Zahl unendlich viele unterschiedlich Ziffernfolgen enthalten sind?
Laut CoPi ist die Shannon-Entropie unter Fouriertrafo nicht erhalten, weil das Rechtecksignal und seine Fourierzerlegung in unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsräumen leben.
Das Rechtecksignal hat eine überschaubare Anzahl an Eigenschaften, durch die allerdings alle Koeffizienten seiner Zerlegung eindeutig festgelegt sind. Damit ist m.E. die übertragbare Information durch die in den Eigenschaften des Rechtecksignals codierbare Information festgelegt. |
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 08. Feb 2026 09:54 Titel: |
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CoPi? |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 08. Feb 2026 10:01 Titel: |
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| Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | CoPi? |
MS Copilot |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 08. Feb 2026 10:07 Titel: |
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| Aruna_17 hat Folgendes geschrieben: | | Hochseeangler hat Folgendes geschrieben: | | CoPi? |
MS Copilot |
von dem stammt nur die Aussage in dem entsprechenden Satz, der Rest ist von mir selbst erdacht. |
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 08. Feb 2026 10:13 Titel: |
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Ok. Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wer von uns nun falsch liegt oder nicht....vielleicht kann ja jemand anderes noch was dazu sagen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2026 11:17 Titel: |
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| Aruna_17 hat Folgendes geschrieben: | | das ist m.E. falsch, hängt aber eventuell davon ab was man unter "Information" versteht. |
Die Idee ist ja von mir, also äußere ich mich mal dazu.
Meine Idee war, die Information als Bitfolge abzuspeichern, wobei ich nicht speziell Qbits betrachte, sondern ein Feld und dessen Fourierkomponenten. Das mag ungewöhnlich sein, es hat aber so in die Diskussion gut reingepasst. Es hat zunächts nichts mit (Shannon-)Etropie o.ä. zu tun, das war auch nie die Absicht.
| Aruna_17 hat Folgendes geschrieben: | | ... ist die Shannon-Entropie unter Fouriertrafo nicht erhalten, weil das Rechtecksignal und seine Fourierzerlegung in unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsräumen leben. |
Was das jetzt mit Wahrscheinlichkeitsräumen zu tun hat, erschließt sich mir nicht.
Auf dem Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen ist die Fourier-Transformation F jedenfalls ein unitärer Operator; man kann für F orthonormierte Eigenfunktionen finden, die Hermite-Funktionen h_n(x), so dass unter Fourier-Transformation F gilt:
 = \sum_n \psi_n \, h_n(x))
 = \sum_n \psi_n \, h_n(k))
| Aruna_17 hat Folgendes geschrieben: | | Das Rechtecksignal hat eine überschaubare Anzahl an Eigenschaften, durch die allerdings alle Koeffizienten seiner Zerlegung eindeutig festgelegt sind. Damit ist m.E. die übertragbare Information durch die in den Eigenschaften des Rechtecksignals codierbare Information festgelegt. |
Zurück zu den Bits, und egal, ob man sie jetzt mittels ebener Wellen oder Hermite-Funktionen kodiert: im Rechtecksignal stecken unendlich viele davon.
Zum Vergleich zwischen meinen Bits mit allgemeiner u-Basis und der üblichen Darstellung mittels der QBit-Basis:
In beiden Fällen gilt
Für die QBits gilt speziell
^{\otimes n})
wobei die Basis durch Vektoren der Form
 \rangle )
gegeben ist, wobei die Funktion b() gerade das nu-te Bit der Zahl Zahl i liefert.
Meine Art der Informationskodierung ist also eine Verallgemeinerung derjenigen der QBits.
Sobald man sich auf eine Basis festgelegt hat, kann man bzgl. dieser Basis Infoirmation kodieren und rechnen. Der maximale Informationsgehalt ist dabei die Dimension des Hilbertraums minus Eins (da der nullte Zustand für sich betrachtet keine Information trägt). Die Wahl des konkreten Hilbertraumes ist irrelevant, da alle endlich-dimensionalen Hilberträume der selben Dimension bzw. alle unendlich-dimensionalen separablen Hilberträume untereinander unitär äquivalent sind.
Die o.g. Fourier-Transformation liefert dabei immer die selbe Information, dargestellt in einer anderen Basis.
Technisch ist es natürlich ein riesiger Unterschied, ob ich QBits oder elektromagnetische Schwingungen in einem Hohlraumresonator betrachte, und es ist ein Unterschied, ob ich sage "ich kann keine unendlich lange Kette von QBits erzeugen" oder "ich kann keine Signale beliebig kurzer Wellenlänge erzeugen" aber mathematisch ist das völlig äquivalent. |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 08. Feb 2026 13:01 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Meine Idee war, die Information als Bitfolge abzuspeichern, wobei ich nicht speziell Qbits betrachte, sondern ein Feld und dessen Fourierkomponenten. Das mag ungewöhnlich sein, es hat aber so in die Diskussion gut reingepasst. Es hat zunächts nichts mit (Shannon-)Etropie o.ä. zu tun,
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(Ich habe die vorangegangene Diskussion nicht verfolgt und bezog mich auf die von mir zitierte Aussage von Hochseeangler. Daher kann es natürlich sein, dass meine Anmerkungen und Gedanken dazu an dem Gegenstand der ursprünglichen Diskussion vorbei gehen.)
Shannon-Entropie ist ein Maß für den Informationsgehalt einer Nachricht.
Hochseeangler sprach von einem unendlichen Informationsgehalt einer mittels Rechtecksignal übertragen Signals (Nachricht), sofern man dessen Fourierzerlegung betrachtet, die ja - im Falle eines Rechtecksignals - aus unendlich vielen Komponenten besteht.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna_17 hat Folgendes geschrieben: | | ... ist die Shannon-Entropie unter Fouriertrafo nicht erhalten, weil das Rechtecksignal und seine Fourierzerlegung in unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsräumen leben. |
Was das jetzt mit Wahrscheinlichkeitsräumen zu tun hat, erschließt sich mir nicht.
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Die Shannon-Entropie wird aus den Wahrscheinlichkeiten bestimmt, mit denen Zeichen in einem verwendeten Alphabet von einer Quelle erzeugt werden.
Das zugrunde liegende Alphabet bestimmt dann den Wahrscheinlichkeitsraum.
Bei einem Rechtecksignal kommt es dann darauf an, wie man in diesem die Information kodiert:
Wenn mit gleichartigen Rechtecksignalen ein binäres Alphabet (+1;-1) definiert wird, dann ergibt sich die Shannon-Entropie eines einzelnen Rechtecksignals aus den Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Quelle diese Zeichen erzeugt.
Im Frequenzraum kann man die vielen bis zu unendlich vielen Frequenzen als mögliche Zeichen betrachten.
Laut Copi misst die Shannonentropie im Zeitbereich die Vorhersagbarkeit des Signalwertes [was sich umgekehrt zum Nachrichtenwert verhält] und im Frequenzbereich die Verteilung der Energie über die Frequenzen.
(das in "[...]" ist von mir, nicht von CoPi).
Die Absicht hinter meiner Frage, ob die S-Entropie unter FT erhalten bleibt, war, damit dafür argumentieren zu können, dass die in einer Nachricht kodierte Information von verwendeten Alphabet unabhängig ist und daher eine FT nix neues bringt.
Das wurde nun verneint, dann ist meine Argumentation, dass eine Nachricht nicht mehr Information erhält, wenn ich die von einem Alphabet (Rechtecksignale) in ein anderes übersetze (unendliche Reiche von harmonischen Funktionen) Folgende:
Wenn ich das Rechtecksignal mal definiert ist, ja die Energieverteilung über die Frequenzen (oder Deine C_i) eindeutig festgelegt sind, und die Vorhersehbarkeit (der Zerlegung) ist 1 bzw. die zusätzliche Information 0.
D.h. durch die FT wird die Informationsmenge (Speicherplatz), die ich benötige, um die Information zu übertrage nur aufgeblasen, die tatsächlich übertragene Information kann man allerdings auch kompakter darstellen.
Um auf die Zahl Pi zurückzukommen:
Ich kann die eben als "Pi" schreiben oder als  .
Mit einigen Zusatzinformationen kann ich die Dezimaldarstellung ableiten.
Die Dezimaldarstellung kann ich aber nie tatsächlich ausschreiben, sofern das Universum endlich ist....
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die o.g. Fourier-Transformation liefert dabei immer die selbe Information, dargestellt in einer anderen Basis.
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Da bei gegebenen Rechtecksignal die Koeffizienten der Zerlegung festgelegt sind, sind die nicht mehr unabhängig wählbar und liefern keine zusätzliche Information. Wenn Du die Verteilung änderst, ändert sich auch die Form des Signals.
Wenn Du die Verteilung gleich lässt. und nur alle Koeffizienten mit dem gleichen Faktor multiplizierst, dann wird das Rechtecksignal höher.
Das entspräche einer Amplitudenmodulation und wenn man die Information in der Höhe eines beliebig hohen Rechtecksignals kodiert, kann man natürlich theoretisch (ohne Beachtung physikalischer Grenzen) in einem Rechtecksignal unendlich viele Informationen speichern, sogar überabzählbar unendlich viele.
Auch ohne Fourierzerlegung... |
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Hochseeangler
Gast
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| Hochseeangler Verfasst am: 08. Feb 2026 13:08 Titel: |
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| Zitat: | und wenn man die Information in der Höhe eines beliebig hohen Rechtecksignals kodiert, kann man natürlich theoretisch (ohne Beachtung physikalischer Grenzen) in einem Rechtecksignal unendlich viele Informationen speichern, sogar überabzählbar unendlich viele.
Auch ohne Fourierzerlegung... |
Wie soll das funktionieren? Höchstens, indem die Amplitude eines fortlaufenden Signals kontinuierlich verändert wird, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2026 15:58 Titel: |
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@Aruna_17 – ich weiß nicht, was du dir unter einer Fourier-Transformation vorstellst.
Nehmen wir einen Zustand psi, und betrachten wir ihm in Orts- und Impulsdarstellung, also
 = \langle x | \psi \rangle)
 = \langle p | \psi \rangle)
Nun ist
 = \int_{\mathbb{R}} dx \, \langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle = \int_{\mathbb{R}} dx \, e^{-ipx} \psi(x) )
Das ist – wie gesagt – eine unitäre Transformation zwischen zwei verschiedenen Darstellungen (Basen) des selben Zustands psi. Bei einem elektromagnetischen Signal wäre die Physik anders, die Mathematik im Kern die selbe.
Ich verstehe jetzt auch nicht, welche Rolle die Shannon-Entropie spielen soll. |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 08. Feb 2026 17:27 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Aruna_17 – ich weiß nicht, was du dir unter einer Fourier-Transformation vorstellst.
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Was an meinem Text lässt Dich annehmen, dass ich etwas anderes darunter vorstelle, als das, was üblicherweise damit gemeint ist?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe jetzt auch nicht, welche Rolle die Shannon-Entropie spielen soll. |
Dann ist das halt so. |
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