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Nachricht |
anonym332
Gast
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 anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 07:38 Titel: Paarbildung Rückstoßpartner Schwellenergie |
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Meine Frage:
Es braucht einen Rückstoßpartner bei der Paarbildung, um E- und p-Erhaltung zu ermöglichen. Wie lautet die Schwellenenergie, sie ist größer als 2x m_e. Sei M die Masse des Partners, die Rückstoßenergie wird vernachlässigt (also Partner vor und danach in Ruhe)
Meine Ideen:
Aufstellen der Energieerhaltung und Impulserhaltung, bei der Energieerhaltung tritt kein Term bzgl. des Rückstoßpartners auf, weil die Rückstoßenergie vernachlässigt wird. Es müsste also über die Impulserhaltung gehen. Oder muss man irgendwie einsetzen. Laut Wikipedia müsste ) rauskommen. Also eine Korrektur von 2x m_ec^2. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 11. Dez 2024 11:08 Titel: |
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Ich bin hier nicht sicher. Doch ich sehe nicht, wie man von Beginn weg die kinetische Energie des "Stosspartners" vernachlässigen soll und dann doch auf die zu zeigende Schwellenenergie kommt.
Nimmt man an, dass das Elektron und das Positron nach der Paarbildung im Laborsystem ruhen und der Stosspartner, die Masse M, den ganzen Impuls des Photons aufnimmt, gilt für die Impuls- und Energieerhaltung
^2+p_\mathrm{M}'^2c^2})
Das führt auf
)
Zuletzt bearbeitet von Myon am 11. Dez 2024 14:37, insgesamt einmal bearbeitet |
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anonym332
Gast
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| anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 11:28 Titel: |
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Danke, kannst du auch erklären, wie du im letzten Schritt vorgegangen bist, hast du hier eine Näherung angewandt? Wie kommst du auf E_gamma, kannst du dies nochmal ausführlicher erklären? (also quadrieren oder?) und dann? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 11. Dez 2024 14:11 Titel: |
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Aus der Impuls- und Energieerhaltung folgt
^2+p_\gamma^2c^2})
Die Wurzel auf eine Seite nehmen und quadrieren. Dann zuerst auflösen und erst am Schluss eine Näherung machen:
Bin allerdings nicht 100% sicher, ob wirklich so gerechnet werden soll. |
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anonym332
Gast
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| anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 14:21 Titel: |
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Es steht, dass der Rückstoßpartner vor und nach dem Paarbildungsprozess in Ruhe sein soll, also keine Rückstoßenergie berücksichtigen. Also die minimale Energie für Paarproduktion möglich in Abhängigkeit von M soll gegeben werden. |
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anonym332
Gast
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| anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 14:27 Titel: |
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Du hast beim 1.Mal unter der Wurzel p_M geschrieben und beim zweiten Mal p_gamma, was ist richtig? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 11. Dez 2024 14:36 Titel: |
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Im ersten Beitrag hätte p_M' statt p_M stehen sollen, hab das noch korrigiert. Im letzten Beitrag wurde dann p_gamma=p_M' (Impulserhaltung) verwendet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Dez 2024 16:25 Titel: |
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Ich hab' ein bisschen rumgerechnet. Es gibt m.E. einen essentiellen Schritt, der z.B. auf der deutschen Wikipedia nicht erklärt wird; die Argumentation dort ist falsch, das Ergebnis jedoch richtig.
Ich betrachte
wobei N den Nukleus mit Masse M bezeichnet.
k bezeichne den 4er-Impuls des Photons, p bzw. p' den des Nukleus, q den der erzeugten Teilchen (hier: Elektron und Positron).
Ich betrachte außerdem die invariante Masse des Anfangs- und des Endzustandes. Für ein beliebiges System mit Gesamtenergie E und Gesamtimpuls P ist deren Quadrat s definiert als
Zuletzt setze ich im folgenden c = 1.
Außerdem vereinfache ist die Betrachtung dadurch, dass ich den Streuwinkel des auslaufenden Nukleus Null setze; alle drei Teilchen sind kollinear, d.h. das Problem wird auf eine Dimension reduziert.
Ich starte im Schwerpunktsystem, d.h. der Gesamtimpuls ist vor und nach der Reaktion Null.
)
)
)
^2}, -2q))
Dann gilt für die invariante Masse
)
(2q^\mu) + {p^\prime}_\mu {p^\prime}^\mu + 2 (2q_\mu){p^\prime}^\mu = 4m^2 + M^2 + 2 (2q_\mu){p^\prime}^\mu = 4m^2 + M^2 + 4 \left(\sqrt{m^2 + q^2} \sqrt{M^2 + (2q)^2} + 2q^2 \right))
Der Nukleus trägt aufgrund der Impulserhaltung den räumlichen Impuls -2q. Die beiden erzeugten Teilchen tragen identischen Impuls, daher 2q.
Die invariante Masse des Ausgangszustandes ist eine streng monotone Funktion von q². Damit ist
 = s^\prime(q^2 = 0) = 4m^2 + M^2 + 4 mM = (2m + M)^2 )
Dies entspricht einem System mit der invarianten Masse 2m+M, d.h. alle drei Teilchen haben verschwindenden Impuls und damit kinetische Energie, sie befinden sich also in Ruhe. Dies ist die Schwelle dieser Reaktion.
Man könnte nun ausgehend von diesem Zwischenergebnis die Schwellenenergie im Schwerpunksystem berechnen und mittels Lorentz-Transformation* ins Laborsystem = ins Ruhesystem des Nukleus transformieren.
Ich verwende im folgenden jedoch direkt das Laborsystem. Dabei spare ich mir eine entsprechende Kennzeichnung der Größen.
)
^2}, (k-2q)))
Der Ausdruck für s' ist etwas kompliziert.
An der Stelle behauptet die Wikipedia, man könne eine Näherung durchführen, in der der Impuls des Nukleus = k - 2q = 0 verschwindet. Diese Näherung wird aber weder gerechtfertigt, noch ist sie notwendig. Verwendet man sie, so folgt zunächst
 = 4m^2 + M^2 + 4 \sqrt{m^2 + q^2} M )
Dies ist wieder eine streng monotone Funktion von q², also setzt man q² = 0 und erhält korrekterweise
 = 4m^2 + M^2 + 4 mM = (2m + M)^2 )
Betrachtet man s' jedoch allgemein, so gilt
 = 4m^2 + M^2 + 4 \left( \sqrt{m^2 + q^2} \sqrt{M^2 + (k-2q)^2} - q(k-2q) \right) )
Diese Funktion ist nicht offensichtlich streng monoton in q; man müsste also zunächst dasjenige q bestimmen, das diesen Ausdruck minimiert.
Dies ist jedoch nicht notwendig, denn wir kennen s' bereits von oben; da nämlich s = s' eine Lorentz-invariante Größe ist, dürfen wir den oben im Schwerpunktsystem berechneten minimalen Wert auch im Laborsystem verwenden.
Für die invariante Messe des einlaufenden Zustandes erhalten wir
woraus für s = s' die Gleichung
folgt.
Die Lösung lautet
 = k(0) = 2m \left( 1 + \frac{m}{M} \right))
Diese Gleichung ist exakt, was so aus der Wikipedia nicht ersichtlich wird (ich müsste streng genommen noch zeigen, dass nicht kollineare Impulse zum selben Ergebnis führen).
Wäre nett, wenn jemand diese Argumentation überprüfen könnte.
* um vom c.o.m.- ins lab-frame von N zu transformieren, verwendet man ausgehend von
)
)
die Transformation
mit
 \, (1,1) )
) |
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anonym332
Gast
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| anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 16:37 Titel: |
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Aber Myons Rechnung ist auch möglich oder? |
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anonym332
Gast
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| anonym332 Verfasst am: 11. Dez 2024 17:28 Titel: |
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Also ich habe Myons Weg nochmal angeschaut, und er erscheint mir plausibel, bis auf die Näherung, ob diese so gemacht werden kann? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 11. Dez 2024 17:37 Titel: |
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@TomS: Vielen Dank! Ja, so stimmt es exakt. Habe zuerst auch versucht, über die invariante Masse im Schwerpunktsystem zu rechnen, aber habe dann etwas falsch überlegt.
Rein intuitiv finde ich übrigens noch etwas seltsam, dass sich bei der Schwellenenergie nach der Reaktion alle Teilchen zusammen bewegen. Überlegt man im Laborsystem, hätte ich gefühlsmässig gesagt, es wäre energetisch am günstigsten, wenn der schwere Kern den ganzen Impuls des Photons aufnimmt, denn im Laborsystem wäre die kinetische Energie dann doch am geringsten(?). Anderseits ist mir klar, dass das im Schwerpunktsystem nicht so ist. Irgendwo mache ich einen Überlegungsfehler...
@anonym332: Nein, meine obige Rechnung ging von der falschen Annahme aus, dass bei der Schwellenenergie der Kern den gesamten Impuls des Photons aufnehme. Man erhält so auch einen leicht höheren Wert für die Schwellenenergie.
PS: Der obige Überlegungsfehler liegt wahrscheinlich einfach darin, dass es klassisch gedacht war. Mit der rel. Gesamtenergie bzw. der rel. kin. Energie sieht es anders aus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Dez 2024 12:36 Titel: |
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Anbei nochmal eine Überlegung zum Quadrat der invarianten Masse eines beliebigen Zustandes mit a = 1...N auslaufenden Teilchen:
Ausgedrückt durch die Ruhemassen m, Dreierimpulse q sowie Winkel theta zwischen den auslaufenden Teilchen folgt
(m_b^2 + q_b^2)} - \sqrt{q_a^2 q_b^2} \cos\theta_{ab} \right))
s wird bei festgehaltenen q's minimiert, wenn der zweite Term maximiert wird,
d.h. kollinear auslaufenden Teilchen
(m_b^2 + q_b^2)} - \sqrt{q_a^2 q_b^2} \right))
Ein Extremum von s im q-Raum liegt vor, wenn
Dies ist der Fall, wenn alle q's verschwinden, da jeder Ableitungsterm um q = 0 linear in q ist.
(Die zweite Ableitung wäre noch zu betrachten)
Damit ist
mit
)
eine mögliche Lösung, die das Schwerpunktsystem mit darin vollständig verschwindenden Einzelimpulsen auszeichnet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Dez 2024 17:06 Titel: |
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Wichtig: eine mögliche Lösung, da
ja eine Lorentz-Invariante ist.
D.h. zu
)
liefert jedes transformierte
das selbe s jedoch größere Energie E.
Man definiert letztere bzgl. des oben eingeführten Schwerpunkts- = gemeinsamen Ruhesystem mit Vierergeschwindigkeit
)
mittels
 = u_\mu P^\mu = \sum_a m_a)
Damit gilt in anderen durch Lorentz-Boost definierten Systemen
 = \bar{u}_\mu P^\mu = u_\nu {\Lambda^\nu}_\mu P^\mu = \gamma \sum_a m_a )
mit
 > E_u(P))
 = s_u(P)) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6200
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| Myon Verfasst am: 15. Dez 2024 17:37 Titel: |
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@TomS: Nachträglich vielen Dank! Ich glaube, ich konnte die Rechnungen sogar einigermassen nachvollziehen (den letzten Beitrag muss ich mir nochmals anschauen).
Länger habe ich noch daran herumüberlegt, wie Du hier
| TomS hat Folgendes geschrieben: | * um vom c.o.m.- ins lab-frame von N zu transformieren, verwendet man ausgehend von
die Transformation
mit
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so schnell auf diese Transformation gekommen bist.
Ich meine - man weiss, dass gelten muss
und allgemein für eine Lorentztransformation
Beides ist mit der angegebenen Transformation erfüllt. Auch sehe ich jetzt, dass es zusammenpasst damit, dass man einen Boost schreiben kann als
^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}\cosh\lambda & \sinh\lambda\\ \sinh\lambda &\cosh\lambda\end{pmatrix})
mit
Trotzdem staune ich (wie an vielen anderen Orten auch), wie Du so schnell darauf kommst. Oder gibt es hier einen Trick, dass man sieht, dass die Transformationsmatrix diese Form haben muss? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 15. Dez 2024 20:38 Titel: |
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Ich hatte das mal notiert
Die Darstellung von Lorentz-Transformationen zwischen verschiedenen Systemen (lab., c.o.m., Breit ...) mittels der Impulse ist manchmal ganz nützlich; man muss nicht den Umweg über die Geschwindigkeiten gehen. Mittels der Rapidität ist das dann auch recht schnell hergeleitet.
Übrigens ist in diesem Zusammenhang noch das hier nützlich:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dalitz_plot |
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