Debye-Temperatur von kristallinem Argon

TryingToUnderstandIt · Anmeldungsdatum: 23.05.2022 Beiträge: 58

Meine Frage:
Hallo nochmal,

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht auf die richtige Antwort komme. Im Prinzip ist es simples Einsetzen, das Problem kann also eigentlich nur in den eingesetzten Werten sein. Hoffentlich könnt ihr mir helfen.

Gegeben ist ein Graph des Verlaufs der spezifischen Wärme als Funktion der dritten Potenz der Temperatur für einen Argonkristall. Die Linie im Graph entspricht einer Anpassung gemäß dem Debye-Modell. Der Graph ist im Anhang

Meine Ideen:
Also schonmal im Voraus: Ich weiß, dass die Lösung 92 K (genauer 91.95354 K) sein muss, weil die Messdaten von einem realen Versuch stammen, bei dem die benutzte Debye-Temperatur 92 K war.

Für meine Berechnung habe ich die Formel der spezifischen Wärme für tiefe Temperaturen genommen:

. Hier ist R = 8.314472 die universelle Gaskonstante, theta die Debye-Temperatur und C_V die spezifische Wärme. Setze ich die Werte ein, komme ich auf 9.195354 für die Temperatur, was bedeutet, dass mir irgendwo noch ein 10^3 fehlt... .

Als Formel für die Debye-Temperatur hab ich einfach die C_V Formel umgestellt:

und als Beispiel aus dem Graph gewählt: T^3 = 10, C_V = 25.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Mourad · Gast

Die spezifische Wärme \( C_V \) wird im Debye-Modell für niedrige Temperaturen durch die folgende Gleichung beschrieben:
\[
C_V = \frac{12}{5} \pi^4 R \left( \frac{T}{\Theta} \right)^3,
\]
wobei \(\frac{12 \pi^4 R}{\Theta^3}\) die Steigung der \(C_V\)-Kurve im Plot darstellt.

Aus dem Datenplot wurde die Steigung etwa auf \( 2{,}5 \, \text{mJ}/\text{mol·K}^4 = 2{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{J}/\text{mol·K}^4 \) geschätzt.

Durch Umformen der Gleichung ergibt sich:
\[
\Theta = \left( \frac{\frac{12}{5} \pi^4 R}{2{,}5 \cdot 10^{-3}} \right)^{1/3}.
\]

Nach Einsetzen der Werte:
\[
R = 8{,}314 \, \text{J}/\text{mol·K},
\]
berechnet sich die Debye-Temperatur zu:
\[
\Theta \approx 91{,}95 \, \text{K}.
\]