Dämpfung

Herr Zerbster · Gast

Meine Frage:
Betrachten Sie eine kleine Glaskugel mit vernachlässigbarer Ausdehnung, die zur Zeit
t = 0 in einer Höhe h über einer Stahlplatte losgelassen (Anfangsgeschwindigkeit ¨ v(0)= 0) und mehrfach an ihr reflektiert wird ? die Kugel hüpft. Bei jeder Reflexion an der ¨
Platte verliert die Kugel einen Teil ihrer kinetischen Energie gem¨aß:
E(kin)nach Reflexion = f^2*E(kin)vor Reflexion mit 0 < f < 1.
Selbstverst¨andlich kehrt sich bei einer Reflexion die Richtung der Geschwindigkeit um.
Bestimmen Sie f, wenn die Kugel nach einer Zeit T mit dem Hupfen aufgehört hat.
Was erhalten Sie für h = 50 cm und T = 30 sec?

Meine Ideen:
Also meine erste Intention war für Ekin ertsmal 0,5mv^2 einzusetzen. und dann irgendwie durch Energie Erhaltung ekin=epot zu argumentieren, dass mgh dahinter kommt um h zu bekommen. Aber irgendwie bin ich da gerade recht planlos. Könnte mir da einer helfen?.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Man muss zunächst - ausgehend von der Startgeschwindigkeit v bzw. -energie E direkt bei einer Reflexion - die Zeit

bis zur nächsten Reflexion berechnen.

Bei der n-ten Reflexion liegt die Energie

vor; damit folgt

Die Gesamtzeit T folgt dann als Summe über die Einzelzeiten

JEZONG · Anmeldungsdatum: 14.05.2023 Beiträge: 6

Ok... ich wäre dann hier E_kin(n) = (1/2) * m * (-v(n))^2 = (1/2) * m * v(n)^2 dann kann man ja für E_kin(n) =f^2 * E_kin(n-1) einsetzten und nach f^2 auflösen?

JEZONG · Anmeldungsdatum: 14.05.2023 Beiträge: 6

Da mich diese Frage jetzt auch interessiert

JEZONG · Anmeldungsdatum: 14.05.2023 Beiträge: 6

Das wäreen jetzt meine Schritte

E_kin(n) = f^2 * E_kin(n-1)

v(n) = -v(n-1)

E_kin(n) = (1/2) * m * v(n)^2

v(n-1) = -v(n)

E_kin(n) = (1/2) * m * (-v(n))^2 = (1/2) * m * v(n)^2

f^2 * E_kin(n-1) = (1/2) * m * v(n)^2

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

@JEZONG -

Wie sich Energie bzw. Geschwindigkeit von n auf n+1 ändern steht ja schon oben. Jetzt daraus zu ermitteln, wie sich die Zeit von n auf n+1 ändert.

ChristianS · Anmeldungsdatum: 11.05.2023 Beiträge: 27 Wohnort: Schwarzwald

Also ich erhalte eine Reihe abhängig von f und h, denn die Zeiten addieren sich.
Abhängig davon wie viele Summanden man mitnimmt übersteigt der Wert abhängig von f dann 60s oder auch nicht.

Ich würde nicht versuchen die Reihe nach f aufzulösen denn die Reihe ist endlich, der Grenzwert zwar bekannt aber nicht anwendbar.

Die Frage ist vielmehr die: Nach wie vielen Reflexionen übersteigt die Zeit abhängig von f 60s?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Wie sieht denn die Reihe aus? Und warum sollen nur endlich viele Terme beitragen?

Und stelle die Reihe erst mal als Funktion von E oder v dar; die Umrechnung nach ist zweitrangig.

ChristianS · Anmeldungsdatum: 11.05.2023 Beiträge: 27 Wohnort: Schwarzwald

Das wird so wie es scheint eine endliche Potenzreihe:

Das könnte man glaube ich nach f auflösen wenn man die 60s vorgibt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Der erste Term ist lästig, da er nur die halbe „Wurfparabel“ repräsentiert; alle andere eine ganze. Schau dir besser nur den Rest an.

Und wie gesagt, betrachte doch alle Terme, nicht nur endlich viele.

(Ich hab‘s übrigens noch nicht nachgerechnet)

ChristianS · Anmeldungsdatum: 11.05.2023 Beiträge: 27 Wohnort: Schwarzwald

Hab in der Aufgabenstellung übersehen, dass die Reihe tatsächlich unendlich ist - Man kann geteilter Meinung sein ob die Kugel unendlich oft hüpft aber so steht es nun mal in der Aufgabe. Damit bekomme ich:

umgsestellt

Der Wert von f wäre dann bei T = 30s und h = 50cm 0,989 also fast 99%. Schauen ob es auch stimmt...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Ich komme auf eine andere Reihe.

Zunächst betrachte ich nur die Aufwärtsbewegungen:

Aus

folgt

Für die Summe über alle Aufwärtsbewegungen gilt

Für die Summe über alle Auf- und Abwärtsbewegungen plus die nullte Aufwärtsbewegung gilt

ChristianS · Anmeldungsdatum: 11.05.2023 Beiträge: 27 Wohnort: Schwarzwald

Dann sind es wohl nur 98% und ich habe mich verrechnet. Tja grand malheur.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Deine Zusammenfassung der Reihe stimmt m.M.n. nicht: Irgendwo muss ein Faktor zwei auftauchen, da Auf- und Abwärtsbewegung jeweils die selbe Zeit beitragen. Der Grenzfall f=0 muss null-maligem Hüpfen entsprechen.