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Hilbertraum-Basis, Kets usw.
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Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 05. Mai 2023 21:06    Titel: Hilbertraum-Basis, Kets usw. Antworten mit Zitat

hallo,
erstmal 3 Fragen:
1) wenn bei der QM für Vektoren/Kets etc. von einer Ortohogonalbasis des Vektorraums die Rede ist: ist das immer automatisch eine Orthonormalbasis oder muss das dann explizit dazugesagt werden?
2) Sind die Komponenten einer Orthogonal/normalbasis eines komplexen Vektorraums immer komplexe oder u.U. auch "nur" reelle Zahlen?
3) wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, was genau sind die Ket-Komponenten, mit denen das Elektron beschrieben wird? Spin, Ort, ....?


Zuletzt bearbeitet von Benjimaus am 07. Mai 2023 10:59, insgesamt 2-mal bearbeitet
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 06. Mai 2023 19:18    Titel: Re: Hilbertraum-Basis, Kets usw. Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
hallo,
erstmal 3 Fragen:
1) wenn bei der QM für Vektoren/Kets etc. von einer Ortohogonalbasis des Vektorraums die Rede ist: ist das immer automatisch eine Orthonormalbasis oder muss das dann explizit dazugesagt werden?
2) Sind die Komponenten einer Orthogonal/normalbasis reelle oder komplexe Zahlen?
3) wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, was genau sind die Ket-Komponenten, mit denen das Elektron beschrieben wird? Spin, Ort, ....?


Hallo,

zu 1:
Nein, eine Orthogonalbasis ist nicht immer eine Orthonormalbasis. Bei einer Orthogonalbasis muss das Skalarprodukt zwischen den Basisvektoren paarweise verschwinden. Es ist nicht notwendig, dass die Vektoren die Norm 1 haben.
Bei einer Orthonormalbasis verlangt man zusätzlich, dass die Norm 1 ist. In der Quantenmechanik bevorzugt man häufig Orthonormalbasen, da darin die Bildung von Erwartungswerten etc. am einfachsten ist.
Es kann natürlich sein, dass ein Dozent aus Nachlässigkeit von Orthogonalbasen spricht, dabei aber Orthonormalbasen meint.

zu 2:
Hier musst du ein bisschen auf die Sprechweise achten.
Eine Vektorraumbasis hat keine Komponenten. Ein Vektor kann aber als Linearkombination einer Basis dargestellt werden und die Koeffizienten sind dann die Komponenten des Vektors bzgl der Basis.
Die Komponenten können reelle oder komplexe Zahlen sein. Man kann Vektorräume betrachten in denen nur reelle Zahlen erlaubt sind. Dann spricht man von reellen Vektorräumen oder kurz R-Vektorräume. Sind komplexe Zahlen erlaubt spricht man von komplexen Vektorräumen oder C-Vektorräume. Man kann das noch etwas verallgemeinern und sagen, dass Elemente eines Körpers erlaubt sind und spricht dann von einem K-Vektorraum. Die reellen und komplexen Zahlen bilden Körper.
Für die Quantenmechanik relevant sind komplexe Vektorräume und dann sind die Komponenten eines Vektors bezüglich einer Basis komplexe Zahlen.
In diesem Kontext muss man sich bei der Basis nicht auf Orthogonal- oder Orthonormalbasen einschränken. Das gilt für beliebige Basen.

zu 3:
Ketvektoren oder Kets ist eine Physikersprechweise, die du in der Mathematik eher nicht vorfinden wirst. Physiker meinen mit Kets Vektoren eines Hilbertraums, d.h. ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt, die gewissermaßen "Zustände" von Quantensystemen beschreiben.
Ein Zustand ist etwas, das sämtliche Information, die du über ein System haben kannst, enthält.
Der Ket eines Teilchens kodiert sämtliche Information, die du zu einem Zeitpunkt über das Teilchen haben kannst. Um die Information wie Ort, Impuls ... daraus ableiten zu können, brauchst du zusätzlich noch hermitesche Operatoren. Hast du davon bereits was gehört?

Noch eine Anmerkung:
Eine physikalische Theorie ist immer nur eine Annäherung an die realen Elemente der Natur. Ein Elektron ist komplizierter als das was du in der Quantenmechanik normalerweise lernst, aber für einige Beobachtungen reicht das aus. Ein Elektron wird beschrieben als Dirac-Spinor.
Außerdem sind die Kets nicht die Zustände, sondern bestimmte Endomorphismus auf dem Hilbertraum. Um dich nicht zu überfordern, schieben wir das aber erstmal beiseite. Ich wollte nur darauf hinweisen, weil sonst die falsche Implikation hervorgerufen wird, dass das was du jetzt über das Elektron lernst, sowas wie die wahre reale Natur des Elektrons sei.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 10:29    Titel: Antworten mit Zitat

vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
zu 1: hier meinte ich nur sie "Sprechweise",grundsätzlich ist mir der Unterschied OGB/ONB schon klar, aber wenn Physiker im Hilbertraum von einer OGB reden, meinen sie dann IMMER eine normierte OGB=ONB? (vermutlich nicht, klingt aber manchmal so)

zu 2:
tatsächlich war Punkt 2 missverständlich formuliert. Was ich meinte:
wenn man einen R³ hat, könnten ja diese 3 Spaltenvektoren eine ONB bilden:
Code:
1   0   0
0   1   0
0   0   1 


wenn man jetzt (vereinfacht) einen C³ hat, wären diese 3 reellen Spaltenvektoren dann auch eine Orthonormalbasis für C³?
(Leider kann ich mir nicht vorstellen, wie ein C³ im Gegensatz zum R³ aussehen muss samt Basen)
Oder sähe eine ONB für C³ eher so aus, mit immer zwingend komplexen Zahlen samt imaginären Komponenten:
Code:
1+i    0     0
 0    1+i    0
 0     0    1+i 


zu 3 komme ich später noch mal zurück, wenn das klarer ist...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Mai 2023 11:14    Titel: Antworten mit Zitat

Am besten vergisst du, dass Basisvektoren Komponenten haben - auch wenn dir das in der Literatur ab und zu so über den Weg läuft.

In einem n-dim. reellen Vektorraum gilt für die Darstellung des Vektors bzgl. einer Orthonormalbasis





Die reellen Komponenten folgen also als Projektion des Vektors auf die Basis.

In der Quantenmechanik findest du eine etwas andere Notation für nomierbare Zustände psi in einem unendlich-dimensionalen, separablen, komplexen Hilbertraum:





Die jetzt komplexen Komponenten folgen wiederum mittels Projektion.

Im Falle eines normierten Zustandes psi bilden diese Komponenten zu einer Basis selbst einen Vektor in einem Hilbertraum, denn



Das Orthonormalsystem wird dabei meist - physikalisch sinnvoll - anhand der Eigenvektoren kommutierender selbstadjungierten Operatoren festgelegt. In einer derart physikalisch ausgezeichneten Basis stellen die Komponenten selbst oft direkt physikalisch relevante Größen dar. Im Allgemeinen ist das jedoch nicht der Fall, denn der selbst Vektor psi kann mittels Basistransformation in unterschiedlichen Basen dargestellt werden.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 11:34    Titel: Antworten mit Zitat

danke, aber zum besseren Verständnis bleibe ich erstmal besser bei den Basen, weglassen kann ich sie später ja irgendwann immer noch, sobald es mir grundsätzlich klarer ist.
Zu deinen Formeln kann ich dann später aber auch noch mal zurückkommen.
Also bitte nochmal zurück zu meinen Fragen, insb. zu 2:
Zitat:

Was ich meinte:
wenn man einen R³ hat, könnten ja diese 3 Spaltenvektoren eine ONB bilden:
Code:
1   0   0
0   1   0
0   0   1 


wenn man jetzt (vereinfacht) einen C³ hat, wären diese 3 reellen Spaltenvektoren dann auch eine Orthonormalbasis für C³?
(Leider kann ich mir nicht vorstellen, wie ein C³ im Gegensatz zum R³ aussehen muss samt Basen)
Oder sähe eine ONB für C³ eher so aus, mit immer zwingend komplexen Zahlen samt imaginären Komponenten:
Code:
1+i    0     0
 0    1+i    0
 0     0    1+i 

Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 11:51    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
zu 1: hier meinte ich nur sie "Sprechweise",grundsätzlich ist mir der Unterschied OGB/ONB schon klar, aber wenn Physiker im Hilbertraum von einer OGB reden, meinen sie dann IMMER eine normierte OGB=ONB? (vermutlich nicht, klingt aber manchmal so)

Das sollte nicht passieren, aber es kann sein, dass aus Nachlässigkeit diese Begriffe durcheinandergeworfen werden. In der Quantenmechanik betrachtet man meistens Orthonormalbasen, weil sie bequem sind. Wie TomS bereits sagte, bieten sich die Eigenzustände eine vollständigen Satzes kommutierender Observablen als so eine Basis an. Wenn man sowas hat, sollte man diese eindeutig bestimmte Basis verwenden.


Zitat:
zu 2:
tatsächlich war Punkt 2 missverständlich formuliert. Was ich meinte:
wenn man einen R³ hat, könnten ja diese 3 Spaltenvektoren eine ONB bilden:
Code:
1   0   0
0   1   0
0   0   1 


wenn man jetzt (vereinfacht) einen C³ hat, wären diese 3 reellen Spaltenvektoren dann auch eine Orthonormalbasis für C³?
(Leider kann ich mir nicht vorstellen, wie ein C³ im Gegensatz zum R³ aussehen muss samt Basen)

Das kommt drauf an, welche Zahlen du in der S-Multiplikation zu lässt.
Der R^3 wird in deiner Basis beschrieben durch alle Vektoren

mit reelle Zahlen. Handelt es sich um komplexe Zahlen, beschreibst du damit den C^3.
es gilt beispielsweise
womit du einen deiner "komplexen Basisvektoren" durch die "reelle Basis" ausgedrückt hast.


Übrigens ist zu dem dreidimensionalen komplexen Vektorraum ein sechsdimensionaler reeller Vektorraum isomorph, wie du dich leicht überzeugen kannst. Als komplexer Vektorraum ist C^3 dreidimensional und als reeller Vektorraum ist er sechsdimensional.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 12:09    Titel: Antworten mit Zitat

danke!
was meinst du mit S-Multiplikation? Skalar-Multiplikation?
(Auch weiß ich nicht, was "bieten sich die Eigenzustände eine vollständigen Satzes kommutierender Observablen als so eine Basis an" bedeuten soll, stellen wir das besser mal zurück...)
ich verstehe es allerdings so, dass wenn ich meine 3 reellen Einheits-Vektoren mit reellen Skalaren multipliziere, dann spannen sie den R³ auf, und wenn ich es mit komplexen Skalaren multipliziere, dann den C³.
Insofern wären dann also
Code:
1   0   0
0   1   0
0   0   1

auch eine ONB für den C³, richtig?

Und zu anderen Fall:
Wären ebenfalls
Code:
1+i    0     0
 0    1+i    0
 0     0    1+i 

eine alternative ONB für den C³?
So ganz klar ist mir das noch nicht...
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 13:34    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
danke!
was meinst du mit S-Multiplikation? Skalar-Multiplikation?


Ja die skalare Multiplikation bezeichnet man gelegentlich auch als S-Multiplikation, um Verwechslungen mit dem Skalarprodukt zu vermeiden.

Zitat:
(Auch weiß ich nicht, was "bieten sich die Eigenzustände eine vollständigen Satzes kommutierender Observablen als so eine Basis an" bedeuten soll, stellen wir das besser mal zurück...)

Das ist etwas, das man in der Quantenmechanik gerne macht und hat mit Vektorräumen im Allgemeinen erstmal nichts zu tun. Es geht lediglich darum, dass es eine bestimmte Basis gibt, die man gerne in der Quantenmechanik auswählt, da sie eine physikalische Bedeutung hat, aber ja das können wir erstmal nach hinten stellen.

Vielleicht eine Anmerkung noch bzgl Orthogonal- und Orthonormalbasen. Nicht in jedem Vektorraum existieren diese Begriffe. Jeder Vektorraum hat eine Basis, aber allein mit den Begriffen eines Vektorraums kannst du nicht definieren, was eine Orthogonal oder Orthonormalbasis sein soll. Um von Normierung zu sprechen, brauchst zusätzlich noch mindestens eine Norm, d.h. einen normierten Vektorraum, der wenn du ihn vervollständigst, ein Banachraum ist. Dann kannst du eine normierte Basis definieren. Für eine Orthogonalbasis brauchst du zusätzlich ein inneres Produkt, wodurch der Vektorraum zu einem Prähilbertraum wird. Seine Vervollständigung nennt man dann Hilbertraum.
Darauf wollte ich nochmal hinweisen, um dafür zu sensibilisieren, dass die Begriffe Orthogonal- und Orthonormalbasis an weiteren Strukturen geknüpft sind, die über die eines nackten Vektorraums hinausgehen. Da man in der Quantenmechanik es mit Hilberträumen zu tun hat, sind die Voraussetzungen aber immer gegeben.


Zitat:
Insofern wären dann also
Code:
1   0   0
0   1   0
0   0   1

auch eine ONB für den C³, richtig?

Ja, wenn du als Komponenten komplexe Zahlen zulässt, spannen sie den C^3 auf und sind auch bzgl des kanonischen Skalarprodukts orthonormal.
Hier musst du aber noch drüber nachdenken, wie das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum definiert ist damit das ein vollständiges Bild ergibt. Denn ohne Skalarprodukt hat der Begriff orthonormal keine Bedeutung.


Zitat:
Und zu anderen Fall:
Wären ebenfalls
Code:
1+i    0     0
 0    1+i    0
 0     0    1+i 

eine alternative ONB für den C³?
So ganz klar ist mir das noch nicht...


Es wäre eine alternative Basis, aber keine Orthonormalbasis, da die Vektoren bzgl des kanonischen Skalarprodukts nicht normiert sind. Bspw gilt für das Skalarprodukt des ersten Vektors bzgl der kanonischen Basis


Beachte, dass man die Komponenten des ersten Vektors komplex konjugieren muss. So ist das kanonische Skalarprodukt im komplexen Vektorraum definiert.
Wie du siehst, kommt da nicht 1 raus. Um daraus eine Orthonormalbasis zu machen, müsste die die Vektoren mit Wurzel(2) dividieren.

Noch eine Anmerkung. Neben der Spalten und Zeilenschreibweise, die du aus der Schule wahrscheinlich kennst, solltest du dir angewöhnen Vektoren bzgl einer Basis als Summe darzustellen.

Also z.B.

Dann sind a_k die Komponenten des Vektors bzgl der Basis e_k. Diese Darstellung ist viel klarer, da du weißt in welcher Basis du arbeitest. Bei den Spaltenvektoren müsste man eigentlich immer dazu sagen bzgl welcher Basis das ist. Gut, wenn man den R^3 als Vektorraum hat, meint man implizit immer die kanonische Basis.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Mai 2023 16:50    Titel: Re: Hilbertraum-Basis, Kets usw. Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, was genau sind die Ket-Komponenten, mit denen das Elektron beschrieben wird? Spin, Ort, ....?

Vielleicht mal etwas weniger abstrakt: hast du ein konkretes Problem im Sinn? ein Teilchen im Kasten? das Wasserstoffatom? …?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 17:22    Titel: Antworten mit Zitat

ok, schon etwas klarer, ich versuche nur langsam erstmal ein grobes Gefühl für rechnen in C und in C-Vektorräumen zu entwickeln.
(@Tom: Ich habe auch noch kein spezielles Problem mit Elektronen im Sinn).

Die Länge r für die Normierung eines Vektors z wäre meine nächste Frage gewesen, hier gilt ja dann wohl
r² = |z|² = (z*)(z) = <z|z>
(oder...?)

Nun zur Schreibweise der Basis:
Bisher wurden immer die (3) einzelnen Basisvektoren verwendet, für die Summenschreibweise eben durchnummeriert.
Frage:
Betrachtet man immer ausschließlich alle Basisvektoren einzeln,
oder kann man die (Einheits-)Basis auch als Matrix betrachten, in meinem Fall als 3x3 Diagonalmatrix - oder ist das unsinnig bzw. ungebräuchlich?
Code:
   1  0  0
   0  1  0
   0  0  1


und zu
Zitat:
Ja, wenn du als Komponenten komplexe Zahlen zulässt, spannen sie den C^3 auf und sind auch bzgl des kanonischen Skalarprodukts orthonormal.
Hier musst du aber noch drüber nachdenken, wie das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum definiert ist damit das ein vollständiges Bild ergibt. Denn ohne Skalarprodukt hat der Begriff orthonormal keine Bedeutung.

Ist Skalarprodukt nicht immer automatisch (x Skalar, α Vektor)
das Produkt von x mit allen Einzelkomponenten von α, egal ob reell oder komplex...?
Code:
x⋅α  (als Spaltenvektor mit Komponenten αi)
=
x⋅α1
x⋅α2
x⋅α3
  .
  .
  .



hier allerdings bezeichnest du aber doch wohl das INNERE Produkt auch als Skalarprodukt...? Das klingt...seltsam...:
Zitat:

Bspw gilt für das Skalarprodukt des ersten Vektors bzgl der kanonischen Basis


Beachte, dass man die Komponenten des ersten Vektors komplex konjugieren muss. So ist das kanonische Skalarprodukt im komplexen Vektorraum definiert.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 19:32    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Die Länge r für die Normierung eines Vektors z wäre meine nächste Frage gewesen, hier gilt ja dann wohl
r² = |z|² = (z*)(z) = <z|z>
(oder...?)

ja das ist die richtige Idee. Etwas vornehmer spricht man statt von Länge von Norm, da es bis auf die formalen Eigenschaften im Allgemeinen nichts mehr mit dem anschaulichen Begriff einer Länge zu tun hat.
Genauso verhält es sich mit den Begriffen Abstand und Metrik.
Beides Norm und Metrik ist von der Anschauung (Länge, Abstand) motiviert. Man extrahiert formale Eigenschaften raus und nennt es dann Norm und Metrik statt Länge und Abstand.



Zitat:
Frage:
Betrachtet man immer ausschließlich alle Basisvektoren einzeln,
oder kann man die (Einheits-)Basis auch als Matrix betrachten, in meinem Fall als 3x3 Diagonalmatrix - oder ist das unsinnig bzw. ungebräuchlich?
Code:
   1  0  0
   0  1  0
   0  0  1


und zu

Nunja die Basis ist die Menge aller Basisvektoren, formal kann man die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums als ein n-Tupel betrachten. Falls man
den R^n oder C^n betrachtet, ist jeder Basisvektor für sich wiederum ein n-Tupel aus komplexen oder reellen Zahlen. Das kann man sicherlich formal als n x n Matrix auffassen. Die Frage ist wie nützlich das ist.
Ich finds sinnvoller die Basis einfach als eine Menge an Vektoren aufzufassen.
Mathematisch würde man das dann so hinschreiben


oder aber als ein geordnetes n-Tupel

Letzteres hat den Vorteil, dass du dann eine geordnete Basis hast und der Spaltennotation einen Sinn geben kannst.

Zitat:
Ist Skalarprodukt nicht immer automatisch (x Skalar, α Vektor)
das Produkt von x mit allen Einzelkomponenten von α, egal ob reell oder komplex...?

Ich glaube hier verwechselst du das Skalarprodukt mit der S-Multiplikation. Das Skalarprodukt bildet zwei Vektoren eines reellen (komplexen) Vektorraums auf eine reelle (komplexe) Zahl ab. Das ist also das mit den "spitzen Klammern".

Du musst unterscheiden zwischen inneres Produkt/Skalarprodukt sowie S-Multiplikation/skalare Multiplikation/Skalarmultiplikation.
Es gibt leider mehrere Begriffe, die dasselbe bezeichnen, das hab ich mir nicht ausgedacht, sondern sind offizielle Fachtermini, die du halt lernen musst, um die Literatur zu verstehen. Je nach Lehrbuch werden unterschiedliche Begriffe für diese Abbildungen verwendet.
Ich finde ehrlich gesagt die Begriffe Skalarmultiplikation und Skalarprodukt auch etwas unglücklich gewählt.

Zitat:
Code:
x⋅α  (als Spaltenvektor mit Komponenten αi)
=
x⋅α1
x⋅α2
x⋅α3
  .
  .
  .

Das ist die S-Multiplikation/skalare Multiplikation/Skalarmultiplikation und nicht das Skalarprodukt/inneres Produkt

Im natürlichen Alltagsdeutsch hast du schließlich auch mehrere synonyme Begriffe, die dasselbe bezeichnen. So ist es auch in der Fachsprache.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

ok, sehe ich ein.
Habe nochmal nachgelesen:
Zitat:
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

inneres Produkt oder Punktprodukt fände ich ok für 2 Vektoren miteinander;
ein Skalar ist immer eine Zahl, kein Vektor, also Skalarprodukt= Multiplikation eines Skalars MIT einem Vektor.

Das Ergebnis einer Operation "Multiplikation" in R oder Q oder Z heisst ja auch immer Produkt:
Daher wäre dann das Ergebnis einer Operation "Skalarmutliplikation" das Skalarprodukt.

anders herum:
Vektorprodukt: Produkt von 2 Vektoren miteinander, also "inneres" oder "Punktprodukt. Oder Kreuzprodukt/äußeres Produkt.

Dass es anders benannt wird, verwirrt immens IMO.
Machen wir aber damit mal vorerst Schluss mit Punkt 2.

Fortsetzung folgt....
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

Haltstopp, doch noch was zur Multiplikation:

Hat man einen Vektor |A> mit

|A> = Σ_i ( |i> <i|A> )
|i> ist ja wohl der i-te Basisvektor, und <i| sein konjugiert komplexer;

in welcher Reihenfolge wird das aber gerechnet:

von links nach rechts wie üblich?
Also erst |i> <i| : aber was ist das, wo ist das definiert?
und dann hinterher darauf |A> von rechts ran multiplizieren? und wie geht das?


Oder immer (eigentlich mathematisch unüblich) von rechts nach links:
erst <i|A> als Inneres Produkt, und dann |i> von links 'ran multiplizieren?
dann wäre <i|A> ja eine komplexe Zahl, die man von rechts an |i> heran multipliziert: ist das kommutativ, genau wie bei einer Skalarmultiplikation von links?

Gibt es da Operator-Präzedenzen?




----------------------------------


zu 3:
Zitat:
3) wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, was genau sind die Ket-Komponenten, mit denen das Elektron beschrieben wird? Spin, Ort, ....?

(Normierbare) Zustände werden in der QM ja auch als Vektoren in C^irgendwas geschrieben, wenn auch wohl überwiegend in Ketschreibweise.
Vektoren haben Komponenten, also haben auch Kets Komponenten (entsprechend den Dimensionen des zugehörigen VR) -
Wie also sehen die Komponenten für Elektronen (oder Photonen etc.) ganz allgemein aus, was immer davon zu messen oder zu erfahren ist?
Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 07. Mai 2023 21:07    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Also erst |i> <i| : aber was ist das, wo ist das definiert?


https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Notation#Tensorprodukt
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 07. Mai 2023 21:20    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:


Dass es anders benannt wird, verwirrt immens IMO.
Machen wir aber damit mal vorerst Schluss mit Punkt 2.

Fortsetzung folgt....


Ja ich verstehe, dass das verwirrend sein kann. Man muss es halt einmal gelernt haben und dann versteht man wovon man redet.


Zitat:
|i> ist ja wohl der i-te Basisvektor, und <i| sein konjugiert komplexer;

Die Sprechweise ist hier nicht richtig. Du verwendest die Diracnotation, was eine Physikernotation ist.
<i| ist der zu |i> duale Vektor.
Weißt du was der Dualraum V* eines Vektorraums ist? Dieses Konzept wäre an dieser Stelle hilfreich, um das besser zu verstehen.
Du kannst <i| als eine lineare Abbildung auffassen, die einem Vektor |w> über das innere Produkt gemäß <i|w> eine Zahl zuordnet.
Von konjugiert komplexen Vektor zu sprechen, ist meines Erachtens nach nicht richtig. Die richtige Terminologie wäre dualer Vektor.


Zitat:
in welcher Reihenfolge wird das aber gerechnet:

Was meinst du damit wie das gerechnet wird?
Deine Summe
|A> = Σ_i ( |i> <i|A> ) ist eine Darstellung wie sie in der Physikliteratur üblich ist. Sie ist aber aus mathematischer Sicht nicht ganz sauber, weil streng genommen |i> <i|A> nicht definiert ist. Du musst das immer so rum lesen <i|A>|i>
das entspricht dann einer S-Multiplikation, denn <i|A> ist eine Zahl.
Physiker vertauschen in ihren Notationen diese Dinge immer gern. Du musst das dann so rum lesen, dass es definiert ist und Sinn ergibt.

Zitat:
Also erst |i> <i|

Dieser Ausdruck stammt auch aus der Dirac-Notation und kann als eine lineare Abbildung von dem Hilbertraum in den Hilbertraum interpretiert werden.
Man ordnet damit dem Vektor |w> den Vektor |i> <i|w> = <i|w>|i>
Man stellt sich das so war, dass |i> <i| von links aus den Vektor wirkt. Das letzte Gleichheitszeichen übersetzt das dann wieder so, dass es in der richtigen Form für die S-Multiplikation gebracht wird.

An die Dirac Notation muss man sich etwas gewöhnen.

Wenn du das besser verstehen willst, musst du dich mit Dualräumen, linearen Funktionalen und linearen Operatoren beschäftigen.
<i| ist ein lineares Funktional und damit Teil des Dualraums.
|i> <i| ist ein linearer Operator.


Zitat:
(Normierbare) Zustände werden in der QM ja auch als Vektoren in C^irgendwas geschrieben, wenn auch wohl überwiegend in Ketschreibweise.


Es handelt sich um abstrakte Vektoren eines Hilbertraums. D.h. alles was du mit diesen Vektoren machen darfst, steht in den Axiomen des Hilbertraums. Endlichdimensionale komplexe Hilberträume sind isomorph zu C^irgendwas.
Für unendlichdimensionale Hilberträume (und meistens hat man in der QM unendlichdimensionale Hilberträume) gilt das aber nicht mehr. Ich würde mich nicht zu sehr auf die Darstellung der Vektoren als irgendwelche reelle oder komplexe Zahlentupel versteifen. Es sind einfach abstrakte Dinge, die du addieren darfst, du kannst zahlen dran multiplizieren und im Hilbertraum, kannst du zwei von ihnen auch noch Zahlen zuordnen. Mehr brauchst du nicht über diese Vektoren zu wissen.

"Nicht normierbare Vektoren" sind per definitionem nicht im Hilbertraum, da für die das Skalarprodukt (innere Produkt) nicht definiert ist und das ist eine Voraussetzung dafür damit es in einem Hilbertraum sein kann.
In der Physik hat man die Situation, dass man bei konkreten Anwendungen Differentialgleichungen lösen muss und deren Lösungen sollen in einem Hilbertraum liegen. Es liegt dann nur ein Teil dieser Lösungen im Hilbertraum und die sucht man. "Nicht normierbare Zustände" gibt es eigentlich nicht, da es keine Vektoren im Hilbertraum gibt, die diese repräsentieren.

Zitat:
Wie also sehen die Komponenten für Elektronen (oder Photonen etc.) ganz allgemein aus, was immer davon zu messen oder zu erfahren ist?


Die Quantenmechanik reicht nicht aus um Elektronen vollständig zu beschreiben und Photonen werden gar nicht von der Quantenmechanik beschrieben. Diese kann man erst in der Quantenelektrodynamik beschreiben.

Aber mal angenommen du hast ein Teilchen, das du mit der Quantenmechanik beschreiben möchtest. Dann befindet sich dieses Teilchen zu einer Zeit t im Zustand


Allgemein kannst du nicht sagen wie die Komponenten aussehen. Denn erstens musst du dafür zusätzlich eine Basis angeben und zweitens befindet es sich zu einem späteren Zeitpunkt in einem anderen Zustand und dann sind auch bei gegebener Basis die Komponenten wieder andere.
Die Komponenten würden nur bei einer gegebenen Basis zu einer Zeit t den momentanen Zustand beschreiben.

Es ist ein Ziel der Quantenmechanik eine geeignete Basis zu wählen mit der man den Zustand darstellt. Das ist dann das Thema mit den kommutierenden Observablen wozu wir vielleicht noch kommen werden.

Die Vektoren des Hilbertraumes alleine reichen nicht aus um Quantenmechanik zu machen. Sie sind nur ein Teil der ganzen Theorie, weshalb man an dieser Stelle deine Frage noch nicht ganz beantworten kann.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 07. Mai 2023 22:19    Titel: Antworten mit Zitat

Moment mal...
war wschl falsch ausgedrückt...
wenn
a1
a2
a3
ein Spalten-Vektor ist mit seinen Komponenten, dann ist der Zeilenvektor
(a1*, a2*, a3*)
mit den konjugiert komplexen Komponenten
sein ...was?

komplex konjugierter oder transponierter Zeilenvektor?
oder wie heißt das?

Mit |A> und <A| wäre es jedenfalls dann analog...

Dualraum?
Nie gehört...

Zeilenvektor a mal Spaltenvektor b ist nach Innerem Produkt die Summe der Komponentenprodukte
a1b1+....+anbn,
also die Summe von komplexen Zahlen, also eine komplexe Zahl, kein Vektorraum ("Dualraum").
Spaltenvektor mal Zeilenvektor kenne ich nicht, habe ich auch noch nie irgendwo definiert gesehen:
Könnte damit eine Matrizenmultiplikation gemeint sein von einer 1-Spaltenmatrize mit einer 1-Zeilen-Matrize? Dann bekäme man eine n x n Matrize, da ja beide von Vektoren aus einem gleichen n- dimensionalen Vektorraum stammen. Wäre das dann das dyadische Produkt? Warum steht das nirgendwo? (x im Kringel, also , muss man dann auch so hinschreiben!):
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749c55ce9ff28dab517be85fe09a063d0f04d93c

Langsam verliere ich komplett den Überblick bei den tausend Worthülsen und stillschweigenden Konventionen...
Und dass dann auch noch undefinierte Operationen mit vertauschten hintereinander geschriebenen Elementen ausgeführt werden, ohne auf Definitionen, Axiome und Reihenfolgen zu achten, setzt ja nun noch dem Fass die Krone auf:
Zitat:
|i> <i|w> = <i|w>|i> // nein! nicht kommutativ!
|i> <i| ist ein linearer Operator // nein, eine Matrix per dyadischem Produkt!

Wenn irgendwo Kommutativität oder Assoziativität herrscht, dann muss man es in die Axiome aufnehmen, und dann darf man so rechnen, oder man darf so eben nicht rechnen!

Klar DU kannst da nichts dafür, aber betreiben wir hier Mathematik oder spielen wir Ponyhof?

Mal gucken, ob ich morgen auch den Rest noch verstehe, erst mal vielen lieben Dank!
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 08. Mai 2023 00:41    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Moment mal...
war wschl falsch ausgedrückt...
wenn
a1
a2
a3
ein Spalten-Vektor ist mit seinen Komponenten, dann ist der Zeilenvektor
(a1*, a2*, a3*)
mit den konjugiert komplexen Komponenten
sein ...was?

komplex konjugierter oder transponierter Zeilenvektor?
oder wie heißt das?

Das ist der duale Vektor oder Kovektor. Hier hat man auch wieder zwei Begriffe für dasselbe. In der Matrizensprache könnte man es als einen transponiert konjugiert komplexen Vektor bezeichnen, aber das ist hier nicht das entscheidende. Das Entscheidende ist, dass es ein Kovektor ist und dazu musst du verstehen, was ein Dualraum ist.

Zitat:
Dualraum?
Nie gehört...

Wenn du einen Vektorraum V hast, dann kannst du lineare Abbildungen
(K ist entweder die Menge der reellen oder komplexen Zahlen) definieren. Die Menge dieser linearen Abbildungen bilden den Dualraum. Dieser bildet selber wieder einen Vektorraum mit der punktweisen Addition und punktweisen skalaren Multiplikation.
In einem Hilbertraum kannst du <w| als lineare Abbildung auffassen, die einem Vektor v aus dem Hilbertraum den Wert <w|v> zuweist.
Der Dualraum ist ein sehr wichtiges Konzept aus der linearen Algebra, das zum Verständnis der Quantenmechanik massiv beiträgt.

Zitat:
Zeilenvektor a mal Spaltenvektor b ist nach Innerem Produkt die Summe der Komponentenprodukte
a1b1+....+anbn,

Nur wenn die Spalten und Zeilenvektor bzgl einer Orthonormalbasis zu verstehen sind.
Für beliebige endlich dimensionale Hilberträume gilt:
Seien v und w Elemente eines n-dimensionalen Hilbertraums und e_k eine Basis. Dann ist das skalarprodukt mit der Basis ausgedrückt


Handelt es sich um eine Orthonormalbasis gilt


und die Doppelsumme reduziert sich zu


Zitat:
also die Summe von komplexen Zahlen, also eine komplexe Zahl, kein Vektorraum

Der Dualraum ist nicht das Ergebnis eines einzigen lineares Funktionals (Abbildung von Vektor zu Zahl), sondern die Menge ALLER linearen Funktionale.

Zitat:
Spaltenvektor mal Zeilenvektor kenne ich nicht, habe ich auch noch nie irgendwo definiert gesehen:
Könnte damit eine Matrizenmultiplikation gemeint sein von einer 1-Spaltenmatrize mit einer 1-Zeilen-Matrize?

Ja das musst du so interpretieren, wie du es von Matrizen kennst.
und ja das wäre das dyadische Produkt. Das dyadische Produkt und das x mit dem Kringel würde ich erstmal beiseite schieben, weil das an der Stelle noch nicht soviel bringt und für den Anfang verwirrt.

Zitat:
|i> <i| ist ein linearer Operator // nein, eine Matrix per dyadischem Produkt!

Beides ist richtig. Das dyadische Produkt ist eine Matrix und eine Matrix wirkt über das Matrizenprodukt auf Vektoren, kann also als linearer Operator aufgefasst werden. Zum Verständnis der Quantenmechanik ist es aber hilfreicher von linearen Operatoren als von dyadischen Produkten zu sprechen.
Ich wollte dich ein wenig davon wegbekommen in Komponenten und Matrizen zu denken.

Zitat:
|i> <i|w> = <i|w>|i> // nein! nicht kommutativ!

Das ist einfach eine unausgesprochene Physikerkonvention. Aus Mathematikerperspektive gibt es den Ausdruck auf der linken Seite nicht.
Die Dirac-Notation ist eine an die Quantenmechanik angepasste Sprache und macht, wenn man damit wirklich arbeitet, einiges einfacher als wenn du ständig versuchst mathematisch formal korrekt zu bleiben.
Später, wenn du dich mit Ortszuständen beschäftigst, wirds noch schlimmer. Zu deren mathematisch korrekten Beschreibung muss man einen immensen Aufwand betreiben, was zum gelfandschen Raumtrippel führt und sowas wollen viele Physiker gerne vermeiden, weshalb man sich da ein paar weiterer Tricks bedient.
Versteh einfach |i> <i| als einen linearen Operator, der auf w wirkt und man dann erhält |i> <i|w>, was aber <i|w>|i> bedeutet.
Der Sinn von |i> <i|w> ist, dass man sich das dann bildlich so vorstellen kann, dass das Objekt auf den Vektor wirkt.

Zitat:
Wenn irgendwo Kommutativität oder Assoziativität herrscht, dann muss man es in die Axiome aufnehmen, und dann darf man so rechnen, oder man darf so eben nicht rechnen!

Ich versteh die Dirac-Notation als eine bildhafte Sprache und im Hinterkopf weiß ich halt, was das mathematisch bedeutet. Man muss ein bisschen damit arbeiten, um zu verstehen, warum man das macht.


Zitat:
Klar DU kannst da nichts dafür, aber betreiben wir hier Mathematik oder spielen wir Ponyhof?

Da es um Quantenmechanik geht, betreiben wir keine Mathematik, sondern Physik. In der Physik ist es üblich zuweilen eine bildhafte symbolische Sprache zu verwenden, die nicht mathematisch präzise sind. Wenn man weiß, was man da tut, ist das in Ordnung.

Du kannst natürlich auch Quantenmechanik ohne Dirac-Notation und mathematisch rigoros machen, aber ich glaube nicht, dass du das sofort verstehst, weil dann brauchst halt noch Dinge wie den Spektralsatz, Riemann-Stieltjes-Integral, Spektralmaß, Gelfandsches Raumtrippel, Satz von Frechet Riesz ... . Diese Themen behandelt man auch in den typischen Vorlesungen des Bachelorstudiums Physik nicht, sondern das macht man im Nachgang, wenn man es ganz genau wissen will. Man begnügt sich zunächst mit einer weniger rigorosen Behandlung und kommt damit schneller zu Ergebnissen, wie zum Beispiel die Spektrallinien des Wasserstoffatoms.

Die Quantenmechanik kannst du mit 6 Postulaten formulieren. Eines davon besagt, dass die Zustände eines Quantensystems durch Elemente eines Hilbertraums beschrieben werden. Auch das ist mathematisch nicht rigoros, da es sich eigentlich bei den Zuständen, um Endomorphismen über den Hilbertraum handelt.
Das ist jedenfalls der Teil der Quantenmechanik über den wir die ganze Zeit gesprochen haben, nämlich Hilberträume und Zustände und dann gibts wie gesagt noch 5 weitere Postulate, wodurch es schließlich zu einer vollständigen Theorie wird.

Wir können aber auch mal ein Beispiel wie das Wasserstoffatom betrachten. Dann ist das weniger abstrakt und dir wird klarer worum es geht.
Dazu eine Frage. Weißt du was der Raum der quadratintegrablen Funktion ist?
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 08. Mai 2023 08:43    Titel: Antworten mit Zitat

sorry, aber das wird mir doch jetzt zu unübersichtlich und zu unverständlich, insb. wenn ich noch nicht mal durchgängig mit Spalten- und Zeilenvektoren samt Orthogonalbasen (z.b. der kanonischen) und den darauf bezogenen Vektor-Komponenten rechnen kann.
Das Dualraumkonzept und "quadratintegrablen Funktion" sind mir auch deutlich zu unverständlich und zu "symbolisch": ich brauche erstmal feste Regeln der Algebra und Analysis mit eindeutigen Operatoren und Axiomen. Physik ist für mich Mathematik für spezielle Anwendungsprobleme, also: ebenfalls Mathematik, und Physik hat für mich keine eigenen Matherechenregeln, auch keine "symbolischen".
Gegen Dirac hätte ich auch ansonsten nichts, vorausgesetzt, ich kann damit rechnen wie mit Spalten-und Zeilenvektoren und sie jederzeit gegenseitig in einander umwandeln (quasi "bijektiv").
Also: ist nichts für mich, ich lass' die Finger davon....


Zuletzt bearbeitet von Benjimaus am 08. Mai 2023 08:54, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Mai 2023 08:50    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
sorry, aber das wird mir doch jetzt zu unübersichtlich und zu unverständlich, insb. wenn ich noch nicht mal durchgängig mit Spalten- und Zeilenvektoren samt Orthogonalbasen (z.b. der kanonischen) und den darauf bezogenen Vektor-Komponenten rechnen kann.
Das Dualraumkonzept und "quadratintegrablen Funktion" sind mir auch deutlich zu unverständlich und zu "symbolisch": ich brauche erstmal feste Regeln der Algebra und Analysis mit eindeutigen Operatoren und Axiomen. Physik ist für mich Mathematik für spezielle Anwendungsprobleme, also: ebenfalls Mathematik, und Physik hat für mich keine eigenen Matherechenregeln, auch keine "symbolischen".
Also: ist nichts für mich, ich lass' die Finger davon....

Was hältst du von einem Neustart, ausgehend von linearer Algebra?

Was genau ist dein mathematischer Background? Und was genau möchtest du in der Physik verstehen?

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 08. Mai 2023 09:03    Titel: Antworten mit Zitat

ich kann ein bisschen Vektorrechnung und ein bisschen Matrizenrechnung, habe mal von Determinanten, Eigenvektoren und Eigenwerten gehört - verstehe aber nicht wirklich ihre Bedeutung samt Sinn und Zweck.
Ich verstehe auch, was ein "Ring" in der Algebra ist, z.B. für Z, aber wenn es dann um Polynomringe geht, bin ich raus.
Differenzialgleichungen kann ich ebenfalls nicht lösen, nur die Grundlagen für differenzieren und integrieren.
Das wird wohl definitiv zu wenig sein, um darauf aufzubauen.
Ich glaube auch nicht, dass ich das bei allem guten Willen aller Mitwirkenden hier per Forumposts lernen könnte - wenn überhaupt, wäre ein verständliches Lehrbuch auf Schulmathematikbasis sinnvoll, und wenn es ein gutes Lehrbuch ist und ich das grundsätzlich vom Niveau her verstehe, dann könnte ich ja vlt hier und da ein paar Fragen zu einzelnen Passagen hier im Forum stellen.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 08. Mai 2023 10:44    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Das Dualraumkonzept und "quadratintegrablen Funktion" sind mir auch deutlich zu unverständlich und zu "symbolisch": ich brauche erstmal feste Regeln der Algebra und Analysis mit eindeutigen Operatoren und Axiomen.

Der Dualraum und der Raum quadratintegrabler Funktionen sind nicht symbolisch, sondern mathematische Konzepte, die du streng mathematisch definieren kannst. Es sind zwei sehr wichtige mathematische Konzepte für die Quantenmechanik. Der Raum der quadratintegrablen Funktionen ist ein wichtiger Hilbertraum für viele Anwendungen der Quantenmechanik wie dem Potentialtopf, dem Tunneleffekt, dem Wasserstoffatom ...

Zitat:
Physik ist für mich Mathematik für spezielle Anwendungsprobleme, also: ebenfalls Mathematik, und Physik hat für mich keine eigenen Matherechenregeln, auch keine "symbolischen".

Du darfst Physik nicht mit Mathematik verwechseln. Mathematik ist die geeignete Sprache, um Naturgesetze zu formulieren. Es ist aber in den Naturwissenschaften üblich auch symbolische Sprachen zu verwenden. Kennst du die Lewis-Schreibweise für Moleküle aus der Chemie? Das macht man ja auch in der Schule. Dabei handelt es sich ebenso um eine Symbolsprache. Moleküle sehen nach der Quantenmechanik aber nicht wirklich so aus, aber es ist trotzdem hilfreich und nützlich.
Als so eine symbolische Sprache würde ich die Diracnotation verstehen. Auch symbolische Sprachen haben ihre Regeln, aber sie sind nicht so streng wie eine rigorose mathematische Sprache.

Zitat:
Gegen Dirac hätte ich auch ansonsten nichts, vorausgesetzt, ich kann damit rechnen wie mit Spalten-und Zeilenvektoren und sie jederzeit gegenseitig in einander umwandeln (quasi "bijektiv").

Du musst dich davon lösen Vektoren als Zahlensammlungen von Spalten oder Zeilen zu verstehen. Darauf wird man in der Schule geeicht, aber das ist nicht das moderne Verständnis von Vektoren. Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren sind immer nur bzgl einer Basis zu verstehen. In der Schule unterschlägt man dies, da es dort nur eine Basis gibt, nämlich die kanonische Basis des R^3, sprich (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0 ,1) und das ist in der Schule immer implizit gemeint.
Verstehen solltest du Vektoren axiomatisch über die Axiome eines Vektorraums.
Beim Raum der quadratintegrablen Funktionen betrachtest du wie der Name impliziert eine bestimmte Klasse an Funktionen. Diese bilden einen Vektorraum, d.h. Funktionen können auch als Vektoren aufgefasst werden. Ist dir klar, dass die Sinusfunktion f(x)=sin(x) je nach Kontext ein Vektor sein kann? Das verstehst du aber nur, wenn du verinnerlichst, dass Vektoren Elemente eines Vektorraums sind und der Vektorraum sich eben durch zwei Verknüpfungen (Addition und S-Multiplikation) auszeichnet und es dabei klare Rechenregeln gibt.
Für die Addition gilt Kommutativität, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und jedes Element hat bzgl der Addition ein inverses Element.
Für die S-Multiplikation gilt Assoziativität, zwei Distributivgesetze und die Existenz des neutralen 1 Elements.
Das ist alles was du über Vektoren wissen musst. Der Rest leitet sich daraus ab.
Da war jetzt nicht von Spalten oder Zeilen die Rede.

In der Quantenmechanik hast du jetzt einen Hilbertraum. Das ist ein Vektorraum mit einem inneren Produkt.
D.h. du bildest zwei Elemente des Hilbertraums auf eine reelle (komplexe) Zahl ab und diese Abbildung soll darüber hinaus bilinear (sesquilinear), positiv semidefinit und symmetrisch (hermitesch) sein.

Zunächst mal ist die Quantenmechanik eine Theorie, die lineare Algebra braucht.
Die wichtigsten mathematischen Konzepte, die du für den Anfang verinnerlichen solltest sind:
1. Vektorraum
2. Dualraum
3. Hilbertraum (Raum quadratintegrabler Funktionen als wichtiges Beispiel)
4. lineare Operatoren zwischen Hilberträumen
5. adjungierte und hermitesche Operatoren
6. Kommutatoralgebra
7. Eigenwertspektrum
8. Erwartungswerte

Damit kommst du schonmal weit.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 08. Mai 2023 10:52    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Ich verstehe auch, was ein "Ring" in der Algebra ist, z.B. für Z, aber wenn es dann um Polynomringe geht, bin ich raus.

Ringe brauchst du erstmal nicht.

Zitat:
Differenzialgleichungen kann ich ebenfalls nicht lösen, nur die Grundlagen für differenzieren und integrieren.

Weil der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator ist, sieht man, dass man in der Quantenmechanik oft Differentialgleichungen löst, aber das ist nur Bestandteil bestimmter Anwendungen, wie z.B. dem Potentialtopf und für das Fundament der Quantenmechanik sind Differentialgleichungen nicht wichtig, wohl aber für diverse Anwendungen.

Zitat:
Das wird wohl definitiv zu wenig sein, um darauf aufzubauen.
Ich glaube auch nicht, dass ich das bei allem guten Willen aller Mitwirkenden hier per Forumposts lernen könnte - wenn überhaupt, wäre ein verständliches Lehrbuch auf Schulmathematikbasis sinnvoll, und wenn es ein gutes Lehrbuch ist und ich das grundsätzlich vom Niveau her verstehe, dann könnte ich ja vlt hier und da ein paar Fragen zu einzelnen Passagen hier im Forum stellen.

Anfangen solltest du mit dem axiomatischen Aufbau der linearen Algebra.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 08. Mai 2023 10:53    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
ich kann ein bisschen Vektorrechnung und ein bisschen Matrizenrechnung, habe mal von Determinanten, Eigenvektoren und Eigenwerten gehört -

Für einen Einstieg und einfache Probleme in der Quantenmechanik reicht das aus.

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
verstehe aber nicht wirklich ihre Bedeutung samt Sinn und Zweck.

Den erhalten die mathematischen Methoden eh erst (z.B.) in der Physik.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 09. Mai 2023 06:56    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
, setzt ja nun noch dem Fass die Krone auf:
Zitat:
|i> <i|w> = <i|w>|i> // nein! nicht kommutativ!
|i> <i| ist ein linearer Operator // nein, eine Matrix per dyadischem Produkt!

Wenn irgendwo Kommutativität oder Assoziativität herrscht, dann muss man es in die Axiome aufnehmen, und dann darf man so rechnen, oder man darf so eben nicht rechnen!


von wem stammt in den Zitaten das hinter den "//"?
Von Dir?
Offenbar kann man in obiger Darstellung die Position von Vektor |i> mit der des Skalars <i|w> vertauschen. Gilt das nicht allgemein?
Und offenbar gilt das Assoziativgesetz.
D.h. Du kannst |i> <i|w> als Einheitsoperator |i> <i| auffassen, der auf den Vektor |w> wirkt oder Du kannst das lesen als Vektor |i> der mit dem Skalar <i|w> multipliziert wird.
Gilt das nicht allgemein?
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 10:52    Titel: Antworten mit Zitat

ja, die Kommentare waren von mir.

Nach meinem Kenntnisstand:

(für a,b aus C^n)
<a| ⋅ |b> = <a|b> ∈ C, (Punktprodukt oder Inneres Produkt),
man kann den Punkt dazwischen beim Punktprodukt also weglassen,
anscheinend gilt auch
<a|b>=<a||b> (?)

<a|b> = <b|a>* ≠ <b|a>,
das Vertauschen von Bra und Ket entspricht hier der komplex konjugierten Zahl,
also nicht kommutativ.

AFAIK,
|a> ⋅ <b| ist nicht definiert.
|a>|b> auch nicht.
|a> <b| ist aber etwas anderes, das ergibt keine Zahl, sondern eine n x n Matrize.
-edit- :
scheint tatsächlich gemeint zu sein, gerade gelesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Notation#Tensorprodukt
was allerdings eine n x n Matrize mal Ket ergeben soll, erschließt sich mir nicht.

Eine - nachträgliche - Idee:
Bei |i> <i|w> bzw. <i|w>|i>
sind ja keine Klammern gesetzt. Würde man das aber folgendermaßen umschreiben:
|i> ⋅ (<i|w>) = (<i|w>) ⋅ |i>,
dann dürfte man das umstellen, denn das wäre eine kommutative Skalarmultiplikation.


(CMIIW)
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 13:18    Titel: Antworten mit Zitat

Aruna hat Folgendes geschrieben:

Offenbar kann man in obiger Darstellung die Position von Vektor |i> mit der des Skalars <i|w> vertauschen. Gilt das nicht allgemein?
Und offenbar gilt das Assoziativgesetz.

Das ist eine Physikerdenkweise.
Aus Mathematikersicht ist |i><i|w> nicht definiert, denn es gibt im Hilbertraum nur die Addition von Vektoren, die skalare Multiplikation (die immer ein Skalar von links an den Vektor multipliziert) und es gibt das Skalarprodukt
In keiner der Abbildungen gibt es ein Axiom, die sowas erlaubt
|i><i|w> = <i|w>|i>
Der linke Ausdruck ist im Hilbertraum nicht definiert. Man kann damit aber leben, wenn man Physik nicht als Mathematik betrachtet und die Dirac-Notation als eine Art Bildsprache versteht.

Zitat:
(für a,b aus C^n)
<a| ⋅ |b> = <a|b> ∈ C, (Punktprodukt oder Inneres Produkt),
man kann den Punkt dazwischen beim Punktprodukt also weglassen,
anscheinend gilt auch
<a|b>=<a||b> (?)

Ja kann man so sehen. Im Hilbertraum gibt es halt definitiv das innere Produkt <a,b>. beachte bitte, dass ich ein Komma statt eines senkrechten Striches verwendet habe. Jetzt kann man es sich so vorstellen, dass man ein Objekt <a| hat, das auf |b> wirkt. Also wie du schreibst <a||b> und als Kurznotation verschmilzt man den Doppelstrich zu einem Strich <a|b>
Wenn du das hinschreiben willst, wie Mathematiker, dann benutzt du statt des senkrechten Strichs ein Komma und kannst dann das Objekt nicht "auseinanderreißen". Das ist mehr so wie Physiker damit umgehen.

Zitat:
<a|b> = <b|a>* ≠ <b|a>,
das Vertauschen von Bra und Ket entspricht hier der komplex konjugierten Zahl,
also nicht kommutativ.

Ja


Zitat:
AFAIK,
|a> ⋅ <b| ist nicht definiert.
|a>|b> auch nicht.
|a> <b| ist aber etwas anderes, das ergibt keine Zahl, sondern eine n x n Matrize.

|a> ⋅ <b| ist definiert als linearer Operator, der einem Vektor |w> den Vektor
<b|w>|a> zuordnet.
was nicht aus mathematischer Sicht definiert ist, ist |a><b|w>, was eher als Krücke zu sehen ist und gemeint ist damit <b|w>|a>

|a>|b> das ist oft ne Kurzschreibweise für das Tensorprodukt, was wichtig wird, wenn man Systeme mit mehr als einem Teilchen beschreibt, aber das sollten wir auf später verschieben.

der letzte Ausdruck ist im Prinzip dasselbe wie der erste Ausdruck.


Zitat:
Eine - nachträgliche - Idee:
Bei |i> <i|w> bzw. <i|w>|i>
sind ja keine Klammern gesetzt. Würde man das aber folgendermaßen umschreiben:
|i> ⋅ (<i|w>) = (<i|w>) ⋅ |i>,
dann dürfte man das umstellen, denn das wäre eine kommutative Skalarmultiplikation.

Diese Umformung ist im Hilbertraum nicht definiert. Es gibt kein Axiom, welches das erlaubt. Als Physiker schreibt man den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen hin, um damit eine Wirkung auf ein w auszudrücken und interpretiert das dann als den rechten Ausdruck.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 13:47    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Im Hilbertraum gibt es halt definitiv das innere Produkt <a,b>.
...
Wenn du das hinschreiben willst, wie Mathematiker, dann benutzt du statt des senkrechten Strichs ein Komma und kannst dann das Objekt nicht "auseinanderreißen". Das ist mehr so wie Physiker damit umgehen.
...
Das ist eine Physikerdenkweise.
Aus Mathematikersicht ist |i><i|w> nicht definiert, denn es gibt im Hilbertraum nur die Addition von Vektoren, die skalare Multiplikation (die immer ein Skalar von links an den Vektor multipliziert) und es gibt das Skalarprodukt
In keiner der Abbildungen gibt es ein Axiom, die sowas erlaubt
|i><i|w> = <i|w>|i>
...
|i> ⋅ (<i|w>) = (<i|w>) ⋅ |i>
Diese Umformung ist im Hilbertraum nicht definiert. Es gibt kein Axiom, welches das erlaubt.


Ich verstehe, auch wieder falsche Interpretationen der suggestiven und mathematisch inkorrekten Physiker-Schreib- und Rechenweise wie in
|i> <i|w>
Zitat:
...wenn man Physik nicht als Mathematik betrachtet und die Dirac-Notation als eine Art Bildsprache versteht.

Da muss ich wieder an den Ponyhof denken...
Ich geb's auf Augenzwinkern
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Mai 2023 15:35    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe, auch wieder falsche Interpretationen der suggestiven und mathematisch inkorrekten Physiker-Schreib- und Rechenweise ...

Nur weil sich die Notation von der der Mathematiker unterscheidet, ist sie nicht falsch.

Die Dirac-Notation folgt klaren Regeln, und die Ausdrücke, die in physikalischen Berechnungen vorkommen können, haben eine klare Bedeutung.

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Ich geb's auf ;)

Ich erlebe hier immer wieder, dass folgende Probleme auftreten:

Wie und warum formuliert man gewisse Ausdrücke basis-unabhängig, und wann bzw. in welcher Form kommen Basen insbs. aufgrund physikalischer Überlegung ins Spiel, und was bedeuten die resultierenden Ausdrücke?
Wie gelangt man von der linearen Algebra und deren Schreibweise zum unendlich-dimensionalen Hilbertraum?
Welche Schreibweise verwendet man für letzteres?

Die Antwort auf die letzte Frage ist klar: nicht die Schreibweise aus der linearen Algebra, und konsequent entweder die der Mathematiker (Funktionalanalysis) oder die Dirac-Notation - nicht beides.

Wenn ich Deutsch kann und Italienisch lernen möchte, ist es wahrscheinlich nicht geschickt, immer wieder Latein reinzumischen.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

[quote="TomS"]
Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Die Dirac-Notation folgt klaren Regeln, und die Ausdrücke, die in physikalischen Berechnungen vorkommen können, haben eine klare Bedeutung.


Dies hier ist doch Dirac:
|i><i|w> = <i|w>|i>
Dirac rechnet im Hilbertraum, hier gelten dann also die mathematischen Axiome des Hilbertraums.
Zitat:
Aus Mathematikersicht ist |i><i|w> nicht definiert, denn es gibt im Hilbertraum nur
die Addition von Vektoren,
die skalare Multiplikation (die immer ein Skalar von links an den Vektor multipliziert)
und es gibt das Skalarprodukt
In keiner der Abbildungen gibt es ein Axiom, die sowas erlaubt
|i><i|w> = <i|w>|i>

Dann darf ich nicht damit wie auch immer rechnen oder wie auch immer umformen.
Wenn Physiker die Mathematik benutzen, müssen sie allen dortigen Regeln folgen - tun sie es nicht, kann ich dem nicht folgen.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:

Ich verstehe, auch wieder falsche Interpretationen der suggestiven und mathematisch inkorrekten Physiker-Schreib- und Rechenweise wie in
|i> <i|w>


Wie TomS richtig gesagt hat, ist die Physikerschreibweise nicht falsch. Sie ist nur nicht mathematisch.
Du musst dir bewusst sein, dass Mathematiker und Physiker dieselben Dinge unterschiedlich hinschreiben.

Die mathematische Sichtweise ist halt präziser, aber dafür auch deutlich mühsamer.

Das ist aber immer so, wenn eine Wissenschaft eine andere Wissenschaft als Hilfswissenschaft verwendet.
Chemiker müssen zu einem gewissen Grad Physik verwenden und dabei denken sie sich ihre eigenen Schreibweisen aus, um Dinge zu vereinfachen. z.B. sowas wie Oxidationszahlen, partial ladungen, Lewis Schreibweise, mesomere Grenzstrukturen ... . Einige der Begriffe hast du bestimmt schonmal in der Schule gehört. Das sind Chemikerschreibweisen, aber zur präzisen Beschreibung von dem was Chemiker damit ausdrücken wollen, brauchst du die Quantenmechanik.

So verhält es sich auch mit Mathematik und Physik.
Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist mir aber zu schwammig und zu beliebig, dann schon lieber exakt und mühsam.
Und die von dir genannten Chemikerschreibweisen verletzen ja auch keine mathematischen Axiome, also sind sie nicht mathematisch falsch.
Wenn die Physikerschreibweise aber mathematisch falsch ist, ist sie falsch.
Wie gesagt, wenn Physiker die Mathematik benutzen, müssen sie (streng!) allen dortigen Regeln folgen - tun sie es nicht, kann ich dem nicht folgen.
Und wenn ich auch noch rumraten muss, wie mit den aneinandergeklatschten Buchstaben und Symbolen zu rechnen ist und was man wie und warum umstellen darf oder auch nicht, und man dann noch nicht einmal erkennbare Operatoren und Klammern benutzt, dann lasse ich es lieber ganz.


Zuletzt bearbeitet von Benjimaus am 09. Mai 2023 16:33, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Mai 2023 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Wenn Physiker die Mathematik benutzen, müssen sie allen dortigen Regeln folgen - tun sie es nicht, kann ich dem nicht folgen.

Ich würde das nicht so hoch hängen sondern eher auf der Ebene von Regeln wie "Punkt vor Strich" sehen.



bezeichnet z.B. die Multiplikation eines Zustandes mit einem selbstadjungierten Operator A, für den ich die Spektraldarstellung nutze.

Die Projektoren schreiben Physiker gerne als



Damit erhält man den neuen Vektor mit Komponenten bzgl. der Basis |a>, d.h.





Dabei lässt man bewusst die Klammer weg, da man eben dieses Skalarprodukt "haben will".

Man kann das m.E. eins-zu-eins übersetzen. Es ist praktisch, das so zu schreiben, und ja, in diesem Fall tritt die Multiplikation "Hilbertraumvektor * komplexe Zahl" auf. Es gibt aber m.E. überhaupt keinen Grund, nicht die Regel



zuzulassen. Die Axiome der Mathematiker sind "möglichst sparsam", weswegen es diese Regel nicht braucht, wenn man sie aufgrund der Notation vermeiden kann. Es gibt aber kein Problem mit dieser zusätzlichen Regel, man könnte sie auch in der reinen Mathematik einführen.

Ich weiß nicht, welche Notation vor Dirac und z.B. von Hilbert selbst verwendet wurde. Aber Dirac hatte einen guten Grund, das einzuführen, es erlaubt eine sehr kompakte Notation.

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Wenn die Physikerschreibweise mathematisch falsch ist, ist sie falsch.

Eine andere Notation oder Konvention ist nicht falsch.

Wie steht's mit



Beides geht, oder?

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Wie gesagt, wenn Physiker die Mathematik benutzen, müssen sie (streng!) allen dortigen Regeln folgen - tun sie es nicht, kann ich dem nicht folgen.

Sie tun es aber eben nicht, und gelangen trotzdem zu korrekten Ergebnissen. Also kann's ja so falsch nicht sein ;-)

Ich verstehe schon dein Problem, es ist sicher mühsam, umzudenken. Aber diese Notation ist eben sehr weit verbreitet, die mathematische Notation im Rahmen der Physik weitaus weniger.

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
... dann lasse ich es lieber ganz.

Warum? Ein bisschen Notation wird dich doch nicht aus der Bahn werfen ...

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Mai 2023 16:47, insgesamt 2-mal bearbeitet
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 16:34    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Das ist mir aber zu schwammig und zu beliebig, dann schon lieber exakt und mühsam.


Ich kann nicht empfehlen als Anfänger sich mit einer mathematisch rigorosen Darstellung der Quantenmechanik zu befassen. Da wirst du nicht viel verstehen.
Der sinnvollere Weg ist es, erst so zu lernen, wie man es typischerweise in einem Bachelor der Physik lernt und anschließend, wenn man interessiert ist, die schmutzigen Ecken mit mehr Mathematik füllt.

Das Wesentliche der Quantenmechanik bekommst du aber auch mit weniger mathematischer Strenge mit

Zitat:
Und die von dir genannten Chemikerschreibweisen verletzen keine mathematischen Axiome.

In dem Sinne "verletzen" sie aber physikalische insbesondere quantenemechanische Regeln.
Mal ein Beispiel. In der allgemeinen Chemie beschäftigt man sich mit der sogenannten Molekülorbitaltheorie. Man stellt sich dabei vor, dass die kovalenten Bindungen durch Überlappungen von Atomorbitalen (MOleküleorbitalen) entstehen und die Bindungselektronen diese Molekülorbitale befüllen. Sowas lernt man ja in vereinfachter Form bereits in der Schule. Gehst du nach der Quantenmechanik, ist diese Vorstellung falsch. In der Quantenmechanik sind einzelne Moleküle im Allgemeinen nichtmal lokalisiert und die Elektronen befinden sich auch nicht zwingend in einem der Molekülorbitalzustände. Trotzdem hat sich diese Art der Vorstellung in der Praxis bis zu einem bestimmten Grad als nützlich erwiesen.

Zitat:
Wie gesagt, wenn Physiker die Mathematik benutzen, müssen sie (streng!) allen dortigen Regeln folgen - tun sie es nicht, kann ich dem nicht folgen.
Und wenn ich auch noch rumraten muss, wie mit den aneinandergeklatschten Buchstaben und Symbolen zu rechnen ist und was man wie und warum umstellen darf oder auch nicht, und weil man keine Operatoren und keine Klammern benutzt, dann lasse ich es lieber ganz.

Ne warum? Die Dirac-Notation ist keine Mathematikerschreibweise, aber sie hat trotzdem klare Regeln. Die Dirac-Notation ist ja nicht beliebig
Benjimaus



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Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

wenn ich in der Mathematik Axiome habe, gelten zunächst nur die Axiome, die dann aber immer.
Ich kann aber über Beweisführung weitere Regeln einführen,
zum Beispiel:
bei den Axiom, dass es in einem Körper K(M,+,⋅) für eine Verknüpfung mit einem Element (mindestens) ein neutrales Element gibt,
dann kann ich beweisen, dass es für diese Verknüpfung NUR EIN bzw. GENAU EIN neutrales Element gibt, und linksneutrales und rechtsneutrales Element identisch sind:
Ist es aus den Axiomen bewiesen, kann man es als Satz formulieren, und dann gilt es.

Wenn du also Zusatzregeln einführst, dann musst du aus den Axiomen per Beweis ableiten können, dass sie zutreffen, ansonsten darfst du sie nicht verwenden.

Verwendest du Dirac und die Regeln des Hilbertraums, musst du beweisen, dass alle Dirac-Rechenweisen den Hilbertraumaxiomen gehorchen. Kannst du es nicht, sind die Rchnungen ungültig.

Wir könnten uns jetzt nach und nach jede einzelne Ungenauigkeit oder Suggestivität vornehmen, aber das sprengt jetzt dieses Topic, denke ich.
Aber "schmutzige Ecken", von Anfang an - sorry, nein.

Zitat:
Ich kann nicht empfehlen als Anfänger sich mit einer mathematisch rigorosen Darstellung der Quantenmechanik zu befassen. Da wirst du nicht viel verstehen.

ja, dann lasse ich es eben auch ;-)


Zuletzt bearbeitet von Benjimaus am 09. Mai 2023 16:55, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Mai 2023 16:55    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Wenn du also Zusatzregeln einführst, dann musst du aus den Axiomen per Beweis ableiten können, dass sie zutreffen, ansonsten darfst du sie nicht verwenden.

Falsch.

Ich darf beliebige weitere Regeln einführen, wenn diese nicht im Widerspruch zu den bekannten Axiomen stehen. Im vorliegenden Fall sind die Notationen also die Regeln sogar äquivalent.

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
Wir könnten uns jetzt nach und nach jede einzelne Ungenauigkeit oder Suggestivität vornehmen, aber das sprengt jetzt dieses Topic, denke ich.

Manchmal frage ich mich, ob und warum man eigenes fehlendes Verständnis immer bei den anderen suchen muss.

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Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 16:59    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Zitat:
Wenn die Physikerschreibweise mathematisch falsch ist, ist sie falsch.

Eine andere Notation oder Konvention ist nicht falsch.

ich bezog mich auf
|i><i|w> = <i|w>|i>

Zitat:
Ich darf beliebige weitere Regeln einführen, wenn diese nicht im Widerspruch zu den bekannten Axiomen stehen.

du musst dann beweisen, dass sie widerspruchsfrei sind, basierend auf den Axiomen, und das ist genau das, was ich geschrieben habe.
Zitat:

Manchmal frage ich mich, ob und warum man eigenes fehlendes Verständnis immer bei den anderen suchen muss.

das darfst du dich gerne fragen, und ich verbiete dir ja auch nicht, so zu rechnen wie du es tust.
Ich schrieb nur:
Ich geb's auf.
Also kein Grund, hier persönlich zu werden.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 09. Mai 2023 17:15    Titel: Antworten mit Zitat

Natürlich ist das widerspruchsfrei.

Und ein paar persönliche Statements kamen eher von deiner Seite ;-)

Wenn du konkrete Fragen hast, können wir die hier gerne in einer anderen Notation erklären. Nur bei der Literatur wirst du eben Probleme haben.

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Benjimaus



Anmeldungsdatum: 03.05.2023
Beiträge: 21

Beitrag Benjimaus Verfasst am: 09. Mai 2023 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

wenn es widerspruchsfrei und gültig ist, kannst du es sicher beweisen.
wo ist "Hilbertraumvektor ⋅ komplexe Zahl" definiert,
und warum ist
Hilbertraumvektor ⋅ komplexe Zahl = komplexe Zahl ⋅ Hilbertraumvektor,
d.h. warum besteht hier Kommutativität?
Ich behaupte auch nicht, dass es nicht so sein kann wie du behauptest, aber den Beweis muss der führen, der etwas behauptet.

Und ICH bin bestimmt nicht persönlich geworden, und ich habe dir ja auch keine Defizite vorgeworfen, offenbar verwechselst du hier was.

Interesse, zu diesem Topic weitere konkrete Fragen mit dir zu diskutieren, habe ich allerdings nicht.
Aruna



Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 787

Beitrag Aruna Verfasst am: 09. Mai 2023 18:44    Titel: Antworten mit Zitat

Quantumdot hat Folgendes geschrieben:
Aruna hat Folgendes geschrieben:

Offenbar kann man in obiger Darstellung die Position von Vektor |i> mit der des Skalars <i|w> vertauschen. Gilt das nicht allgemein?
Und offenbar gilt das Assoziativgesetz.

Das ist eine Physikerdenkweise.


Erinnert mich an eine Vorlesung in Analysis III, als der Dozent ein pendelndes Fadenpendel hochhielt, und fragte, ob es für die Differentialgleichung, die die Bewegung beschreibt, nicht nur die übliche Näherungslösung für kleine Auslenkungen gebe, sondern auch eine exakte Lösung.
Da dachte ich mir: "Was ist denn das für eine Frage, das pendelt doch"
Kaum fertiggedacht fuhr der Dozent fort: "Ein Physiker würde jetzt sagen:
klar, das pendelt doch...".

Quantumdot hat Folgendes geschrieben:

Der linke Ausdruck ist im Hilbertraum nicht definiert. Man kann damit aber leben, wenn man Physik nicht als Mathematik betrachtet und die Dirac-Notation als eine Art Bildsprache versteht.


Ich würde mal sagen, man kann damit leben, wenn man damit korrekte Ergebnisse erzielt.
Quantumdot
Gast





Beitrag Quantumdot Verfasst am: 09. Mai 2023 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Benjimaus hat Folgendes geschrieben:
wenn es widerspruchsfrei und gültig ist, kannst du es sicher beweisen.
wo ist "Hilbertraumvektor ⋅ komplexe Zahl" definiert,
und warum ist
Hilbertraumvektor ⋅ komplexe Zahl = komplexe Zahl ⋅ Hilbertraumvektor,
d.h. warum besteht hier Kommutativität?
Ich behaupte auch nicht, dass es nicht so sein kann wie du behauptest, aber den Beweis muss der führen, der etwas behauptet.

Was muss man denn bei einer Konvention beweisen? Man vereinbart einfach, dass Hilbertraumvektor ⋅ komplexe Zahl als komplexe Zahl ⋅ Hilbertraumvektor interpretiert wird. Das einzige was eine Konvention erfüllen sollte, ist Nützlichkeit und Widerspruchsfreiheit zu dem vorher Gesagtem.
Du kannst es auch als Definition ansehen. Beweist man in der Mathematik Definitionen?
Nehmen wir mal als Beispiel die komplexen Zahlen. Es gilt:

Kannst du das beweisen oder ist das einfach nur eine definierende Eigenschaft der komplexen Zahlen?




Aruna hat Folgendes geschrieben:
Erinnert mich an eine Vorlesung in Analysis III, als der Dozent ein pendelndes Fadenpendel hochhielt, und fragte, ob es für die Differentialgleichung, die die Bewegung beschreibt, nicht nur die übliche Näherungslösung für kleine Auslenkungen gebe, sondern auch eine exakte Lösung.
Da dachte ich mir: "Was ist denn das für eine Frage, das pendelt doch"
Kaum fertiggedacht fuhr der Dozent fort: "Ein Physiker würde jetzt sagen:
klar, das pendelt doch...".

Wollte der Dozent auf den Satz von Picard-Lindelöf hinaus?
Aber ja das trifft es ganz gut und ich finde beide Denkweisen haben ihre Daseinsberechtigung.
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