Hyperbolische Flugbahn

Voessli · Anmeldungsdatum: 14.06.2006 Beiträge: 33

Hallo,

wie berechnet man die "Wurfparabel" bzw. das Vorbeischwungmanöver eines Satelliten um einen schweren (punktförmigen) Planeten ?
Da sich mit dem Abstand auch die gravitative Feldstärke ändert, müßte die Umlaufbahn hyperbolisch sein und mit einer Differentialgleichung beschrieben werden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Die Kepler-Orbits folgen aus der Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung für das Zweikörper-Problem im Potential

(üblicherweise ist k < 0, das Potential also anziehend)

Kepler selbst kannte natürlich nur gebundene Orbits, d.h. Ellipsenbahnen.

Die Strategie zur Lösung der Bewegungsgleichung lautet wie folgt:

man fixiert eine Ebene und reduziert das Problem auf zwei Dimensionen
man rechnet im Schwerpunktsystem der beiden Massen
man nutzt die Erhaltungssätze für die Gesamtenergie E sowie den Gesamtdrehimpuls L
man eliminiert die Zeit t aus den Gleichungen und betrachte nur die Abhängigkeit des Radius r vom Winkel theta

Damit erhält man den Kepler-Orbit als Kegelschnitt

Neben den entarteten Fällen Kreis und Parabel findet man

1) gebundene Orbits = Ellipsen (nur für k < 0) mit

2) ungebundene Orbits = Hyperbeln (für k< 0 sowie für k > 0)mit

Dabei ist

Die detaillierte Lösung findet man in Skripten zur klassischen Mechanik unter dem Stichwort Zweikörperproblem.