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Nachricht |
Cinzio22
Gast
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 Cinzio22 Verfasst am: 23. März 2023 13:17 Titel: Energie |
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Hallo zusammen
Wie berechne ich die benötigte Energie, um ein 1kg schweres Stück auf eine Höhe von 6.37 * 10^6 m zu bringen?
Ich dachte immer, es sei W = m * g * h. Aber laut Musterlösung soll das Ergebnis 3.14 * 10^7 J sein... Warum? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. März 2023 13:34 Titel: |
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Die Erdbeschleinigung ist ortsabhängig:
g = f(h)
Gravitstionsgesetz
F = gamma * m_1 * m_2/r^2
Du musst integrieren: dW = m*g(h)*dh |
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Cinzio22
Gast
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| Cinzio22 Verfasst am: 23. März 2023 16:26 Titel: |
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Vielen Dank für die Antwort.
Aber was heisst das nun konkret für meine Aufgabe?
Und was ist gamama? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. März 2023 16:35 Titel: |
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| Cinzio22 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für die Antwort.
Aber was heisst das nun konkret für meine Aufgabe?
Und was ist gamama? |
Konkret bedeutet das, dass du das folgende Integral ausrechnen musst:
mit
 : Gravitationskonstante
 : Masse der Erde
 : Testmasse
 : Erdradius
 : Hubhöhe
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. März 2023 17:00 Titel: |
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Man kann das vereinfachen:
^{2} })
^{2}} )
^{2} } )
W = m * g_R * Integral (0 - H) g_R+h * dh
Integral durch Substitution (1+ h/R) = x lösen.
R kannst Du aus dem Erdumfang berechnen.
R =U/2*pi. = 6.369 km |
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opa_hoppenstedt
Gast
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| opa_hoppenstedt Verfasst am: 23. März 2023 21:39 Titel: |
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Ja! So ist es wirklich viel einfacher geworden. |
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Cinzio22
Gast
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| Cinzio22 Verfasst am: 23. März 2023 21:48 Titel: |
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Danke für eure Ausführungen.
Ich bin mir nicht sicher, ob wir das (physikalisch) so genau berechnen müssen. Ich gebe euch hier die vollständige Aufgabenstellung:
files.fm/u/hm38mg6yg
Aufgabe a) ist klar.
Meine Fragen beziehen sich auf Aufgabe b).
Ziel am Schluss ist es, bei d) und e) ein Integral zu haben mit Integralgrenzen gegen unendlich. Das heisst: Es ist eine Aufgabe zur Herleitung des uneigentlichen Integrals.
Aber eben...zurück zur Aufgabe: ist b) auch "simpler" lösbar? Die Masse der Erde bspw. haben wir gar nicht gegeben...
Danke für alle Inputs!  |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 23. März 2023 21:59 Titel: |
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Die Datei kann ich nicht öffnen.
In meinem Ansatz musst Du die Masse der Erde nicht kennen. Die einzige Größe die Du kennen musst ist der Erdradius, der leicht aus dem eigentlich bekannten Umfang herzuleiten ist. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. März 2023 22:16 Titel: |
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| Cinzio22 hat Folgendes geschrieben: | Aber eben...zurück zur Aufgabe: ist b) auch "simpler" lösbar?
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Nein, du wirst das Integral
schon lösen müssen, da führt kein Weg dran vorbei. Btw. kennst du zufällig die Ableitung von f(x) = 1/x?
| Cinzio22 hat Folgendes geschrieben: | Die Masse der Erde bspw. haben wir gar nicht gegeben...
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In der Aufgabenstellung wurde netterweise das Produkt
bereits ausgerechnet (allerdings ist da ein Tippfehler in der Einheit: m³/s² wäre richtig).
| opa_hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Ja! So ist es wirklich viel einfacher geworden |
Hierzu stelle ich fest: du bist gar nicht mein Opa!
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Cinzio22
Gast
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| Cinzio22 Verfasst am: 23. März 2023 23:05 Titel: |
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Vielen Dank für eure Antworten. Nun wird das Ganze doch einiges klarer!
@Nils Hoppenstedt: Was bedeutet bei dir das kleine r? Und woher kommt das 1/r^2, das integriert werden muss? |
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hoppenstedt
Gast
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| hoppenstedt Verfasst am: 23. März 2023 23:07 Titel: |
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Das bedeutet das bei Nils das kleine r integriert wurde als Puller. |
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Cinzio22
Gast
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| Cinzio22 Verfasst am: 23. März 2023 23:22 Titel: |
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Dass 1/r^2 integriert wird, ist mir klar. Und auch, dass es korrekt ist. Mittlerweile konnte ich nämlich alles berechnen.
Aber: Warum 1/r^2, und nicht was ganz anderes?
Also woher kommt dieses 1/r^2? Lässt sich das irgendwie begründen? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 23. März 2023 23:36 Titel: |
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Die Variable r ist der Abstand zwischen Massenschwerpunkt und Erdmittelpunkt und das Integral leitet sich - wie von Mathefix schon erläutert - aus dem Newtonschen Abstandsgesetz her:
Die notwendige Arbeit um die Masse von R auf R+h zu heben, ist dann nämlich:
 \, \dd r =\gamma Mm \int_R^{R+h} \! \frac{1}{r²} \, \dd r)
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7244
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| Steffen Bühler Verfasst am: 24. März 2023 08:52 Titel: |
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Es ist übrigens gut so, dass es r² ist. Mit keinem anderen Exponent wäre das Sonnensystem stabil. Es würden dann nämlich keine Ellipsen als Lösung entstehen, sondern Spiralen: die Erde wäre schon längst in die Sonne gestürzt oder weggeflogen. Da hat sich jemand was bei gedacht.
Viele Grüße
Steffen |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 24. März 2023 22:02 Titel: |
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| Cinzio22 hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für eure Antworten. Nun wird das Ganze doch einiges klarer!
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Wenn du den Nullpunkt der potentiellen Energie (zur Newtonschen Gravitationskraft) auf die Erdoberfläche legst, kannst du dir die potentielle Energie mit einem Korrekturfaktor k(h) leicht merken [g=g(R_E)]:
=k(h) \cdot m \; g \; h \,, \, \text{mit} \, \, k(h) = \frac{R_E}{R_E+h})
Die Arbeit in Aufgabe b) ist dann:
 - E_{pot}(0)=\frac{1}{2} \; m \; g \; R_E ) |
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