Atomvibrationen in einem Metall

Nik-nak · Anmeldungsdatum: 26.01.2022 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe bei der ich leider keinen richtigen Ansatz finde:

Betrachte Ionen als Punktmassen mit der Masse M und der Ladung +e eingebettet in einem gleichförmigen See von Leitungselektronen. Die Ionen befinden sich im Gleichgewichtszustand in regelmäßigen Abständen zueinander. Wird ein Ion mit Masse M um eine kleine
Länge r von seiner Gleichgewichtsposition ausgelenkt, wirkt eine Ruckstellkraft, die vorwiegend von der elektrischen Ladung innerhalb einer Kugel mit Radius r, die sich in der Gleichgewichtsposition befindet, herbeigefuhrt wird. Nimm an, dass die Elektronendichte

beträgt.

a) Zeige dass die Vibrationsfrequenz eines einzelnen Ions

beträgt

b)Bestimme die Frequenz \nu für Natrium. (Was ist der Zusammenhang zwischen r und a)

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher wie und wo ich beginnen soll. Auf den ersten Blick wirkt es für mich ähnlich wie eine Gitterschwingung zu der man die Dispersionsrelation berechnet. Nur sind hier ja einige Dinge anders:

1. Die Ladung des Ions ist +e und die der Elektronen -e. Sind sie dann nicht in einem labilen Gleichgewicht welches kollabiert sobald das Ion ausgelenkt wird?

2. Ich bin mir nicht sicher ob ich denn "See von Leitungselektronen" als Gitter annehmen darf. Dabei verwirrt mich auch etwas das die Elektronendichte pro Kugelvolumen ausgedrückt wird.

3.Wie weit darf ich ich hier vereinfachen/simplifizieren? Beispielsweise wird in der Herleitung für die Dispersionsrelation bei Gitterschwingungen wird oft für die Kräfte zwischen den Teilchen das Hooksche Gesetz genutzt. Dabei wirkt doch zwischen den Teilchen die Coulombkraft welche nicht proportional sondern quadratisch agiert. Welche Annahmen darf ich also treffen?

Kann ich trotzdem einfach die Bewegungsgleichung als Ansatz wählen? Dann mit Coulombkraft über alle benachbarten Teilchen summieren?

Willkommen im Physikerboard!
Ich habe Deine zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen