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Kovolumen, Ideale Gasgleichung
 
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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 31. Okt 2021 22:00    Titel: Kovolumen, Ideale Gasgleichung Antworten mit Zitat

Hallo alle miteinander!

Beim Üben bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die ich nicht vollständig lösen kann. Es handelt sich um folgende Aufgabenstellung: Betrachten Sie 10,0 mol des realen Gases Ammoniak. Es befindet sich in einem Zylinder mit Kolben. Bei sehr hoher Temperatur (T>>Tkrit=405 K) verringert man allmählich das Volumen, und stellt fest, dass der Druck beim Volumen Vmin(NH3)=0.24 dm3 asymptotisch gegen Unendlich geht.
Bei T=400 K und einem Volumen von 3 l hingegen wurde der Druck p1(NH3)=100.8 bar gemessen.
a) Welcher Druck würde im idealen Fall auf die Behälterwand wirken?
b) Bestimme das molare Kovolumen und den Molekülradius.
c) Berechne den Binnendruck.
d) Berechne die van-der-Waals-Konstanten
e) Um welchen Faktor steigt der Druck, wenn man das Gas auf 1/3 des
Volumens komprimiert? Berechne den Kompressionsfaktor. Wie lang ist die van-der-Waals-Gleichung bei derart hohen Drücken gültig?

Ich hab da nur den Druck vollständig berechnen können, bei den restlichen Aufgaben bin ich gescheitert, vor allem beim Bestimmen des Kovolumens. Wie muss ich da vorgehen? Ich kenne zwar die Formel davon, aber die hilft mir nicht weiter. Ich brauch das Kovolumen, um überhaupt die restlichen Aufgaben lösen zu können. Ich will die Aufgabe wirklich verstehen, daher bitte ich um eure Unterstützung.



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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 01. Nov 2021 11:29    Titel: Antworten mit Zitat

Das Ergebnis zu a) ist richtig.

Zu b): Das molare Kovolumen kannst Du direkt ablesen aus dem Aufgabentext. Wenn beim angegebenen Volumen Vmin der Druck asymptotisch gegen unendlich geht, bedeutet das, dass dieses Volumen faktisch nicht zur Verfügung steht für die freie Bewegung der Moleküle. Das Eigenvolumen der Moleküle wäre dann ein Viertel von Vmin.
Etwas seltsam ist allerdings, dass Vmin (respektive Vmin/10) nicht mit dem Tabellenwert des Kovolumens von Ammoniak übereinstimmt (vgl. hier).

Zu c): Den Binnendruck kannst Du über die Gleichung, die Du notiert hast, berechnen.
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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Beitrag frage1 Verfasst am: 01. Nov 2021 14:08    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal Danke für deine Erklärung Myon!
Warum ist das Eigenvolumen der Moleküle 1/4 von Vmin? Das versteh‘ ich noch nicht, also ich kann mir da bildlich nichts vorstellen
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 01. Nov 2021 14:58    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Warum ist das Eigenvolumen der Moleküle 1/4 von Vmin? Das versteh‘ ich noch nicht, also ich kann mir da bildlich nichts vorstellen


Geht man modellhaft von kugelförmigen Molekülen mir Radius r aus, dann können sich die Mittelpunkte zweier Moleküle nur auf maximal 2r einander annähern. Das unzugängliche Volumen pro Teilchenpaar beträgt also



wobei Va das Eigenvolumen eines Moleküls ist. Das ist das unzugängliche Volumen pro Molekülpaar. Jedes Molekül trägt im Mittel also mit



zum unzugänglichen Volumen bei. Bei N Molekülen insgesamt ergibt sich also ein unzugängliches Gesamtvolumen (auch Kovolumen genannt) von:



Viele Grüße,
Nils

P.S.: in diesem Modell werden Stöße von drei oder mehr Moleküle vernachlässigt, da sie im Vergleich zu 2er-Wechselwirkungen sehr unwahrscheinlich sind.

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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt!
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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Beitrag frage1 Verfasst am: 01. Nov 2021 15:43    Titel: Antworten mit Zitat

Diese Modellvorstellung hab ich verstanden, aber ich versteh‘ immer noch nicht was man unter Kovolumen bzw. molare Kovolumen versteht. Ich hab schon recherchiert was diese Modellvorstellung aussagen soll, aber die physikalischen Hintergründe habe ich irgendwie nicht ganz verstanden. Was versteht man unter Kovolumen, molares Kovolumen, unzugängliches Volumen versteht. Könntest du mir das mit einfachen Worten erklären? Die Erklärungen im Internet haben mir das Verständnis auch nicht erleichtert. Nichtsdestotrotz glaube ich, dass man unter Kovolumen die begrenze Beweglichkeit der Teilchen im Raum versteht. Also da die Teilchen nun ein Eigenvolumen besitzen, können sie sich nicht mehr beliebig im Raum bewegen. Und das Kovolumen beschreibt eben, wie nah sich die Teilchen kommen können, oder? Und heißt das jetzt, dass eigentlich die beiden Radien der Teilchen das Kovolumen beschreiben? Also hängt das davon ab, wie groß die Radien der Teilchen sind. Die Teilchen können sich also nur so nah kommen, wie es die Radien erlauben? Ich weiß nicht, ob ich da viel zu kompliziert denke. Ich hoffe, dass dadurch meine Frage verständlicher wird…

Und danke für deine Antwort!
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 01. Nov 2021 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich kann's ja mal versuchen (auch wenn ich nicht weiß, was ich groß anders schreiben soll als beispielsweise Wikipedia).

Also, in der idealen Gasgleichung

pV = nRT

gibt V ja das Volumen an, in dem sich ein einzelnes Teilchen bewegen kann. Ist das Teilchen punktförmig, ist das einfach das Volumen des Behälters, in dem das Gas eingeschlossen ist.

Ist jedoch das Teilchen nicht punkt-, sondern kugelförmig, steht eben nicht mehr das volle Behältervolumen zur Verfügung. Es gibt ein gewisses "unzugängliches Volumen" und dieses wird als Kovolumen b bezeichnet. Das Kovolumen muss dann in der Gasgleichung vom Behältervolumen abgezogen werden:

V_real = V_behälter - b

Stell dir einfach einen Billardtisch vor, auf dem 8 Billardkugeln verteilt sind. Kann jede Kugel jede Stelle des Tisches erreichen? Nein, es gibt Bereiche, die durch das Vorhandensein der anderen Kugeln "gesperrt" sind.

Wie man das Kovolumen konkret berechnet, habe ich ja oben bereits vorgerechnet.

Das "molare Kovolumen" ist einfach das Kovolumen für 1 Mol eines Gases.

Viele Grüße,
Nils

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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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Beitrag frage1 Verfasst am: 02. Nov 2021 08:28    Titel: Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt, ich hab‘s endlich verstanden. Genau so eine Erklärung habe ich gebraucht. Ich danke dir vielmals!

Ich löse die Aufgaben und melde mich bei Unklarheiten wieder.
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 02. Nov 2021 11:27    Titel: Antworten mit Zitat

Keine Ursache.
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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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Beitrag frage1 Verfasst am: 10. Nov 2021 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt, im Nachhinein sind einige Unklarheiten aufgetreten.
Ich dachte, dass ich die Aufgabe verstanden habe, aber anscheinend fehlt noch einiges an Verständnis. Ich habe zwar im allgemeinen verstanden was das Kovolumen ist, aber hier in der obigen Aufgabe kann ich die Theorie nicht ganz nachvollziehen.
Ich fasse kurz meine Gedanken zusammen:
Wir haben 10 mol eines realen Gases in einem Zylinder mit einem Kolben. Wenn wir jetzt sehr hohe Drücke haben und sehr hohe Temperaturen, dann liegen die Moleküle nah zusammen. Das heißt dann, dass die Moleküle wechselwirken können. Wenn aber die Moleküle sehr nah zusammen liegen, dann stoßen sie sich geegenseitig ab. Deswegen brauchen wir sehr hohe Drücke, um diese Abstoßung zwischen den Molekülen zu verhindern. Und das Kovolumen bedeutet hier in diesem Fall: Egal wie hoch man den Druck wählt, die Teilchen kommen nie auf ein Volumen von 0,24 dm3, da 0,24 genau jenes Volumen ist, welches von den Teilchen nicht eingenommen werden darf, da dieses Volumen quasi von anderen schon besetzt ist?
So stelle ich mir das ganze vor.


Also was ich grundsätzlich nicht verstehe ist, was das Kovolumen hier in diesem Fall ausssagt. Also ich versteh‘ den Zusammenhang zwischen Kovolumen und der obigen Aufgabe nicht. Zwar hab ich dank Nils Hoppenstedt verstanden was das Kovolumen ist, aber im Zusammenhang auf den obigen Text konnte ich’s nicht ganz nachvollziehen.

Nils Hoppenstedt, kannst du mir das ganze mit einfachen Worten erklären?
Ich hab wirklich viel recherchiert, aber die Erklärungen im Internet und in den Lehrbüchern sind für mich kompliziert. Ich brauch wirklich eine sehr einfache und genaue Erklärung.

Ich hab auch ein p, V Diagramm gezeichnet, um mir das Verständnis zu erleichtern.

Ich wäre wirklich sehr sehr froh, wenn einer mir das noch einmal mit einfachen Worten erklären könnte, da ich endlich die Theorie dahinter verstehen will.


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 11. Nov 2021 19:55, insgesamt einmal bearbeitet
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 10. Nov 2021 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Wir haben 10 mol eines realen Gases in einem Zylinder mit einem Kolben. Wenn wir jetzt sehr hohe Drücke haben und sehr hohe Temperaturen, dann liegen die Moleküle nah zusammen. Das heißt dann, dass die Moleküle wechselwirken können. Wenn aber die Moleküle sehr nah zusammen liegen, dann stoßen sie sich geegenseitig ab. Deswegen brauchen wir sehr hohe Drücke, um diese Abstoßung zwischen den Molekülen zu verhindern.


Nicht ganz. Wenn sich die Teilchen sehr nahe kommen, dann stoßen sie sich nicht ab, sondern ziehen einander an (Van-der-Waals-Anziehung). Dass die Teilchen trotzdem auseinander streben und einen Druck auf die Gefäßwand ausüben liegt an ihrer kinetischen Energie. Sie "prasseln" sozusagen ständig an die Wand und erzeugen so einen Druck. Je kleiner das Volumen ist, desto häufiger erfolgen diese Stöße und desto höher ist auch der Druck.

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Und das Kovolumen bedeutet hier in diesem Fall: Egal wie hoch man den Druck wählt, die Teilchen kommen nie auf ein Volumen von 0,24 dm3, da 0,24 genau jenes Volumen ist, welches von den Teilchen nicht eingenommen werden darf, da dieses Volumen quasi von anderen schon besetzt ist?


Ja, das ist richtig, wobei diese Besetzung dynamisch zu verstehen ist, d.h. der unzugängliche Raum entsteht durch die Wechselwirkung aller möglichen 2er-Stoßpartner. Dieser Wert ist 4 mal größer als die "normale" statische Besetzung, wenn die Teilchen alle in Ruhe wären.

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Also was ich grundsätzlich nicht verstehe ist, was das Kovolumen hier in diesem Fall ausssagt. Also ich versteh‘ den Zusammenhang zwischen Kovolumen und der obigen Aufgabe nicht. Zwar hab ich dank Nils Hoppenstedt verstanden was das Kovolumen ist, aber im Zusammenhang auf den obigen Text konnte ich’s nicht ganz nachvollziehen.


Dann schauen wir uns doch einfach noch mal die Van-der-Waals-Gleichung an:



Dies ergibt umgestellt:



Wenn nun der Druck immer weiter steigt, wird V kleiner, so dass der Nenner im Grenzfall p gegen unendlich insgesamt ebenfalls gegen unendlich geht. Daher folgt:



Das Volumen geht also bei steigendem Druck asymptotisch gegen nb. Wir vergleichen das mit der Aufgabenstellung:

Zitat:
Bei sehr hoher Temperatur (T>>Tkrit=405 K) verringert man allmählich das Volumen, und stellt fest, dass der Druck beim Volumen Vmin(NH3)=0.24 dm3 asymptotisch gegen Unendlich geht.


und identifizieren:



Ich hoffe, das macht die Sache etwas klarer.

Viele Grüße,
Nils

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frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Nov 2021 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal vielen vielen Dank für deine Erklärungen!
Ich fasse kurz zusammen:
Also die Teilchen haben keine abstoßende WW, sondern eine anziehende WW? Egal wie nah sie sich kommen, sie werden sich immer anziehen? Der Grund warum die Teilchen trotzdem auseinander streben, liegt an ihrer Bewegungsenergie. Die Teilchen bewegen sich ständig und stoßen dementsprechend auf die Behälterwand. Dadurch wird Druck auf die Wand ausgeübt.
Generell denke ich immer an das Lennord- Jones Potential, denn da stoßen sich die Teilchen gegenseitig ab, wenn sie zu nah kommen.
Soweit hab ich’s verstanden.

Aber wie sieht das Ganze grafisch aus? Was sagt das Vmin aus? Wie muss ich Vmin graphisch zeichnen?

Du hast auch erwähnt, dass das Volumen bei steigendem Druck asymptotisch gegen nb geht. Also verläuft der Graph von rechts nach links, also von unten rechts bis oben links?
So würde ich das dann zeichnen? Stimmt die Überlegung so?



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Nils Hoppenstedt



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Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 11. Nov 2021 20:49    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Also die Teilchen haben keine abstoßende WW, sondern eine anziehende WW? Egal wie nah sie sich kommen, sie werden sich immer anziehen?


Ja klar, wenn sie sich immer näher kommen, werden sie sich natürlich irgendwann wieder abstoßen.

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Generell denke ich immer an das Lennord- Jones Potential, denn da stoßen sich die Teilchen gegenseitig ab, wenn sie zu nah kommen.


Eben. : )

frage1 hat Folgendes geschrieben:

Du hast auch erwähnt, dass das Volumen bei steigendem Druck asymptotisch gegen nb geht. Also verläuft der Graph von rechts nach links, also von unten rechts bis oben links?
So würde ich das dann zeichnen? Stimmt die Überlegung so?


Jo, genau so ist es. Thumbs up!

Viele Grüße,
Nils

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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 11. Nov 2021 20:58    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Du hast auch erwähnt, dass das Volumen bei steigendem Druck asymptotisch gegen nb geht. Also verläuft der Graph von rechts nach links, also von unten rechts bis oben links?
So würde ich das dann zeichnen?

Nur die Beschriftung stimmt dann nicht mit dem oben Geschriebenen überein;) Bei einem Gas, wie es die Van-der-Waals-Gleichung beschreibt, geht das Volumen bei steigendem Druck asymptotisch gegen n*b. Bei einem idealen Gas ginge es gegen 0, denn hier wird ja von punktförmigen Gasteilchen ausgegangen, oder jedenfalls dass keine Wechselwirkungen zwischen den Gasteilchen stattfinden.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Nov 2021 21:41    Titel: Antworten mit Zitat

Also dann so?
Und was ist das Vmin? Was sagt dieses V min aus? Wo genau im Diagramm muss ich Vmin zeichnen?



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Nils Hoppenstedt



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Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 11. Nov 2021 23:06    Titel: Antworten mit Zitat

Das Bild war schon richtig, nur die Beschriftung war falsch. Statt "Volumen asymptotisch gegen 0" muss es heißen "Volumen asymptotisch gegen nb". Das neue Bild stimmt aber auch (sofern du an die x-Achse noch ein p schreibst).

Zitat:
Und was ist das Vmin? Was sagt dieses V min aus?


Ich dachte, das wäre inzwischen klar grübelnd : Vmin ist der Grenzwert des Volumens falls p gegen unendlich geht und entspricht dem Kovolumen.

Viele Grüße,
Nils

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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 13. Nov 2021 17:08    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß schon, dass das Vmin das Kovolumen ist, aber wie muss ich Vmin graphisch deuten? Soll das einfach die gesamte gestrichelte Lienien sein oder ist das ein Punkt bzw. eine Stelle irgendwo im Graphen?

Wie ich weiß ist das Kovolumen die gestrichelte Linie. Ich hab das Vmin gelb markiert.

Stimmt das so?



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Nils Hoppenstedt



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Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 13. Nov 2021 17:50    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist nur die gestrichelte Linie.
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