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Unter welcher Voraussetzung entsteht eine Elektronenwelle?
 
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Dyson



Anmeldungsdatum: 25.04.2021
Beiträge: 3

Beitrag Dyson Verfasst am: 23. Mai 2021 17:04    Titel: Unter welcher Voraussetzung entsteht eine Elektronenwelle? Antworten mit Zitat

Hey,

auf einer Seite habe ich diese Erklärung gelesen:

Zitat:

Passt gerade ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge in den Kreisumfang, dann bilden sich stabile, stehende Wellen aus.

https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.251/Didactics/quantenchemie/html/Schroedi.html

Auf dem Blatt Papier ist es ja einigermaßen nachvollziehbar. Wenn die Länge der Elektronenwelle nicht genau ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, bzw. nicht genau auf die Bohr'sche Kreisbahn passt, dann "verbindet sie sich nicht", "ist zu kurz" (kann man das so sagen?).. oder "zu lang" --> Es kommt zur destruktiven Interferenz

Aber wie kann ich mir das bei dreidimensionalen Elektronenwellen bzw. Orbitalen vorstellen? Wie kann man da ermitteln, ob dessen Länge auf die Kreisbahn passt oder nicht? Kann man da überhaupt von Länge/Kreisbahn sprechen oder wäre nicht eher Fläche/Kreisfläche angebracht? Ihr merkt,mein Vorstellungsvermögen stößt da an seine Grenzen...Und ist das der Grund, warum Orbitale bzw. Elektronenwellen nur in definierten Bereichen zu finden sind, die durch die ganzzahlige Hauptquantenzahl n definiert sind und nicht dazwischen irgendwo?

Danke schonmal für die Antworten und schöne Pfingsten
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 23. Mai 2021 22:08    Titel: Antworten mit Zitat

Ich versuche mal was über das Thema zu sagen - ob es mir gelingt weiß ich nicht ganz (zumal es hier bessere gibt als mich):

Im Dreidimensionalen entwickelt man die Wellenfunktion jedenfalls oft nach einem Separationsansatz, indem man schreibt



und diesen in die Schrödinger Gleichung einsetzt. Für ein Zentralpotenzial zeigt sich dann, dass die Lösung für den azimutalen Anteil



sein muss, woraus sofort folgt, dass m ganzzahlig sein muss, denn für muss sich das selbe ergeben wie für .

Ähnliche, allerdings etwas aufwändigere Überlegungen gelten für , und das lässt sich zusammenfassen in den sog. Kugelflächenfunktionen mit ganzzahligen Werten für m (magn. Quantenzahl) und l (Drehimpulsquantenzahl):





Die Kugelflächenfunktionen sind somit (etwas flapsig formuliert) die Eigenfunktionen des Drehimpulses L und stellen die möglichen Orbitalformen auf einer Kugeloberfläche dar. Der Radialanteil muss dann noch separat behandelt werden; dieser liefert die Hauptquantenzahl n und fühert beim 1/r Potenzial auf Laguerresche Polynome.

Die Mathematik dahinter ist leider im Detail recht "kompliziert" (da kann man locker 50 Seiten darüber schreiben bis es einem die Kette raushaut oder man zu sich sagt "ab jetzt glaub ich es einfach"... wenn man alles in diesem Zusammenhang herleitet, füllt dies ein gutes halbes Semester an Vorlesungen), aber die Tatsache, dass nur bestimmte Werte für m und l möglich sind, ergibt sich aus Eindeutigkeits- und Abbruchbedingungen für Reihen, so ähnlich wie in deinem einfachen eindimensionalen Fall oder dem Fall des quaderförmigen Kastenpotenzials (siehe auch zweiter Link unten), welches viel einfacher zu lösen ist und daher in Vorlesungen zuerst behandelt wird: hier kann man nämlich schon gut erkennen, weshalb nur bestimmte Lösungen in Frage kommen ohne dass die Mathematik die Physik verdeckt.

Vielleicht beantwortet das deine Frage ein wenig. Im Detail kann man dies alles in einführenden Lehrbüchern der Quantenmechanik nachlesen. Erwarte aber nicht, dass es in 10 Minuten abzuhandeln wäre...

Hier ist es z.B. im Detail für das H-Atom durchgerechnet:
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/ap-2012/ap-2012se25.html
https://www.chem.uzh.ch/dam/jcr:00000000-1f33-ef05-ffff-ffffcc330a80/v2.pdf

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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
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