Wechselwirkungen zw. Punkthaufen in einer Computersimulation

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

ich habe mal eine Frage: wenn in einer Computersimulation mehere Körper als Punkthaufen gegeben sind und diese dann sich unter Einfluss von Kräften bewegen, dann kommen sie u. U. einander ins Gehege. Da sie aber nicht deformierbar sein sollen, werden deren Bewegungen eingeschränkt. Sie können dann z. B. von dem anderen Körper abspringen oder an ihm entlang gleiten/rollen.
D. h. gesucht ist die Bewegung bei einer Kraft und Zwangsbedingung - da ich annehme, dass eine analytische Lösung deutlich komplizierter aussieht, als eine numerische, würde ich gern wissen, wie man den Ort oder eben Beschleunigungsvektor nach einer Zeiteinheit dt bei bekanntem Ort der wechselwirkender Körper und Kraftvektoren bestimmt... Aber wenn jemand eine einfache analytische Lösung parat hat, freuts mich auch - hauptsache ich muss sie verstehen.

Schon mal danke an alle

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

So eine Computersimulation arbeitet ja mit Zeitschritten. Aus der Geschwindigkeit und der Position der Teilchen (Kugeln) zum Zeitpunkt t berechnet man Geschwindigkeit und Position der Kugeln zum Zeitpunkt

.

Wirkt keine Kraft auf eine Kugel, dann bleibt die Geschwindigkeit in dem Zeitschritt gleich, und die Position verändert sich.

Wirkt eine gleichmäßig beschleunigende Kraft (wie zum Beispiel die Schwerkraft), dann ändern sich bei dem Zeitschritt Geschwindigkeit und Position.

Elastische Stöße zwischen den Kugeln kann man einfach dadurch berücksichtigen, dass man prüft, ob sich nach einem Zeitschritt zwei Teilchen zu nahe gekommen sind, also ob der Abstand der beiden Teilchen kleiner geworden ist als die Summe ihrer Radien (Das führt die Zwangsbedingung also durch eine zusätzliche if-Abfrage ein). Wenn das der Fall ist, dann berechnet man die Geschwindigkeit und Position dieser Teilchen nicht wie oben, sondern man ersetzt die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln nach dem Zeitschritt durch die Geschwindigkeiten nach einem kompletten elastischen Stoß. Da braucht man also gar nicht mit Beschleunigungen zu rechnen, sondern kann aus Auftreffgeschwindigkeit und Auftreffwinkel der beiden Kugeln aufeinander den Betrag und die Richtung ihrer Geschwindigkeit nach dem Stoß ausrechnen.

Das ganze kann man natürlich mit entsprechender Rechenleistung und höherem Programmieraufwand auch genauer und komplizierter gestalten, indem man z.B. Rotationen der Kugeln, Energieverluste bei nicht perfekt elastischen Stößen oder vielleicht sogar das Elastizitätsverhalten der Kugeln während einem Stoß mitberücksichtigt und im Detail modelliert.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

also ich arbeite folgendermaßen (oder vielmehr mein programm): F wird irgendwie berechnet (z.B. f = G * m * M / r^3 * r) und dann werden auch noch immer die beiden letzten positionen eines punktes gespeichert. dann lautet die gleichung für die nächste position x2 = 2*x1 - x0 + a dt^2. Deswegen arbeite ich immer mit beschleunigungen, aber geschwindigkeit lässt sich daraus ja einfach bestimmen. Big Laugh

das nur so.

wenn ich das jetzt aber abgefragt habe, weiß ich ja nicht unbedingt, ob der körrper reflektiert wird oder nicht. er könnte ja auch an einer oberfläche abrollen. d. h. ich bräuchte entweder ein allgemeineres verfahren, welches auch das abrollen berücksichtigt, oder ich müsste nach einer erneuten Abfrage (übrigens was soll ich denn da abfragen?) auch noch das Abrollen irgendwie "mit rein bringen".

ich weiß wohl, dass lagrangemechanik für analytische lösungen da ne hilfe ist, aber ich weiß nicht unbedingt, ob ich wirklich damit auch in einem Programm Erfolg haben kann, vor allem weil mein programm recht allgemein ghalten ist, so dass ich nicht a priori weiß, was da für Kräfte/Zwangsbedingungen in form von körperoberflächen auftreten können. Vor allem glaube ich nicht, dass ich die ganze körperoberfläche nur für den nächsten Schritt brauche.

Andere Frage: kann man da nicht irgendwas mit dem Gradienten machen; also die Karft sozusagen wegen der zwangsbedingung "umlenken"?

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eine rollende Kugel erkennt man daran, dass die Rollbedingung

erfüllt ist, und dass die Geschwindigkeitskomponente der Kugel senkrecht zu der Oberfläche, auf der sie rollt, Null ist.

Wenn du auch rollende Kugeln simulieren möchtest, dann must du dich also auch um die Rotation der Kugeln kümmern.

Und weil du dann wahrscheinlich gerne auch simulieren können möchtest, wie eine Kugel vom Umherfliegen und Reflektiertwerden ins Rollen übergehen kann, benötigst du Dämpfung und Reibung, also Stöße mit Energieverlust und eine Annahme für die Reibungskoeffizienten der Oberflächen.

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Die Gravitationskraft zwischen den Kugeln, die du oben hinschreibst, würde ich aber erst zu allerletzt mit berücksichtigen, denn die ist sicher der kleinste Effekt bei dem ganzen.

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Was du dir da vorgenommen hast, scheint mir ein bisschen komplexer zu sein, da lohnt es sich bestimmt, sich die ganzen Formeln und Fallunterscheidungen mal in aller Ruhe sorgfältig zusammenzuschreiben; einmal mit normalen Physik- Formelzeichen und dann so wie du es konkret implementieren möchtest.

Was soll dein Programm denn am Ende können?

Wenn du irgendwo den Programmtext für ein Flipperprogramm findest und daraus schlau wirst, dürfte das eine gute Möglichkeit sein, zu sehen, wie Leute so etwas schonmal gelöst haben. Vielleicht hilft dir zum Beispiel ein Link wie dieser dabei ?
http://www.cs.brown.edu/courses/cs032/asgn/pinball_lite/pinball_lite.pdf#search=%22pinball%20program%20code%22

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

ginge es denn nicht mit einer abfrage der position und dann ner umlenkung der kraft mithilfe des gradienten? so in richtung "hügelige landschaft"?
und braucht man fürs rollen immer eine reibung? ich hätte mir jetzt spontan vorstelllen können, auch ohne reibung durch richtig angreifende kraft eine rotation zu erzwingen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Was du hier vorhast ist u.A. die Basis zur Simulation vom Flüssigkeiten und größeren Molekülen (Molekulardynamik). Die Berechnungen laufen genau wie oben besprochen wurde, nur dass man parallel computing verwenden kann, um die Rechenzeiten zu reduzieren. Derartige Simulationen können durchaus mehrere Wochen Rechenzeit beanspruchen. Damit kann man z.B das Verhalten von Wasermolekülen an einer Grenzschicht simulieren...

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo schnudl,

was meinst du mit computing?

wasilij

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn deine Körper keine Kugeln sein sollen, sondern eckig, dann wird die Modellierung der Stöße viel komplizierter, als ich es oben angedeutet habe.
(Was ich oben gesagt hatte, war alles für kugelrunde Körper gemeint.)

Dann, vermute ich, wirst du wohl leider in den sauren Apfel beißen müssen und die Stöße selbst ziemlich detailliert modellieren müssen, inclusive der Kräfte und Drehmomente, die während dieser Stöße wirken, in Abhängigkeit davon, mit welcher Ecke der eine Körper nun auf welche Stelle des anderen Körpers trifft.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

ne idee, wie ich das mache?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich denke mal, am liebsten schrittweise.

Vielleicht magst du ja anfangen, dir zu überlegen, wann bei einem Aufeinandertreffen solcher Körper welche Kräfte und welche Drehmomente wirken?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

mir ist noch was aufgefallen: bist du sicher, dass die Art und weise funktioniert, wenn man den folgenden Fall hat: zwei-Punkte-Körper, an jedem der Körper eine Kraft nach unten von gleichem Betrag und Richtung. Der Körper müsste sich unrotiert nach unten bewegen, aber tut er das, wenn wi das so machen, wie oben beschrieben?

Gruß,

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Körper wird sich nur dann unrotiert nach unten bewegen, wenn seine Rotationsgeschwindigkeit vorher Null war, und wenn seine Geschwindigkeit vorher nicht gerade aufwärts gerichtet war. Zusätzlich müssen dafür die Massen der beiden Punkte deines Körpers gleich groß sein.

Meintest du vielleicht etwas anderes? Zum Beispiel:

Wenn an einem aus zwei Teilen zusammengesetzten Körper in den zwei Schwerpunkten dieser Teilkörper zwei Kräfte angreifen, deren Verhältnis dem Verhältnis der Masse der Teilkörper entspricht, und deren Richtung gleich ist, dann beschleunigen diese Kräfte den Körper in Richtung der Kräfte, ohne dabei seine Rotationsgeschwindigkeit zu verändern.

Während dem freien Flug eines Körpers wird so etwas auftreten, da hier nur die Schwerkraft wirkt. Während eines Stoßes zwischen verschiedenen Körpern dürfte so ein Fall eher die Ausnahme sein.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

hallo,

tut mir leid, ich wollte eigentlich die antwort in eine andere diskussion reinschreiben, was mir erst jetzt aufgefallen ist: egal...

hier das entsprechende zitat aus http://www.physikerboard.de/htopic,6383,.html:

Man teilt die angreifenden Kräfte so auf, dass man zum einen die Summe der im Schwerpunkt des Körpers angreifenden Kräfte (daraus bekommt man die Beschleunigung des Körpers) und zum anderen die Summe der auf den Körper wirkenden Drehmomente bezüglich einer Achse um diesen Schwerpunkt (daraus berechnet man die Winkelbeschleunigung des Körpers, also wie schnell er seine Rotationsgeschwindigkeit ändert) berechnen kann.

Genau das Beispiel, das Du zum Schluß so ausführlich dargelegt hast Big Laugh

, wird doch bei solch einer Vorgehensweise nicht klappen, oder??

Gruß,

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das klappt schon, das ist in diesem Fall sogar besonders einfach, denn das Drehmoment ist in diesem Fall

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

das ist schon klar, aber wird es sich auch in der Simulation so bewegen? (translatorische Bewegung nach wohin auch immer die Kräfte zeigen)

Wenn wir also nicht das betrachten, was die beiden Massen in Wirklichkeit tun / tun würden, sondern was sie in einer nach dem o. g. Prinzip aufgebauten Simulation tun würden. Denn da werden alle zur Verbindungslinie Punkt-Schwerpunkt senkrechten Kräfte in Drehmomente umgewandelt, während die entlang dieser Linie wirkenden später zur transl. Bewegung beitragen. Hier stellt der Computer erstmal keine soche Kräfte fest, sondern nur Drehmomente, welche sich anschließend ausgleichen. Die Folge ist Stillstand. Oder mache ich da einen Denkfehler??

Somit wäre ja eine transl. Bewegung in unserem Beispiel nur nach rechts-links möglich, wenn die Punkte symmetrisch um den Schwerpunkt angeordnet wären (klar, andersrum: wenn der Schwerpuhnkt exakt zwischen den beiden Massenpunkten sich befände). Aber es muss doch eine konvektion (oben-unten) ebenso möglich sein, was aber, vorwausgesetzt ich habe keinen Denkfehler, von der Simulation nicht geleistet wird?

Gruß,

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich verstehe nicht ganz, was du da meinst. Hilft dir vielleicht folgendes:

Wenn eine Kraft wirkt (die nicht im Schwerpunkt angreift), dann dreht dich der Körper um seinen Schwerpunkt. Wenn zwei Kräfte (die nicht im Schwerpunkt angreifen) gleichzeitig wirken, dann dreht sich der Körper nicht um seinen Schwerpunkt, sondern um einen anderen Punkt, und kann zusätzlich eine Kraft auf seinen Schwerpunkt erfahren.

Dies müsstest du also in deiner Simulation (und den zugehörigen Betrachtungen der wirkenden Kräfte und Momente) berücksichtigen, wenn du solche Fälle, dass mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen deiner Körper wirken, simulieren willst. Brauchst du solche Fälle, um das zu simulieren, was du simulieren möchtest?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

hallo,

" Wenn zwei Kräfte (die nicht im Schwerpunkt angreifen) gleichzeitig wirken, dann dreht sich der Körper nicht um seinen Schwerpunkt "

Um was dreht sich der Körper denn dann???
Im Prinzip müsste ich nun auch Systeme mit mehreren Kräften simulieren: wie rechne ich die Kräfte und Drehmomente denn dann aus???

Gruß

Wasilij

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was meinst du denn zum Beispiel konkret für Kräfte? In was für einem konkreten Fall kommt es in deiner Simulation vor, dass zwei Kräfte gleichzeitig auf einen Körper wirken, die beide nicht im Schwerpunkt angreifen?

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

bitte, bitte:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich meinte die Anwendung so eines Falles. Was verursacht in deiner Simulation zwei Kräfte, die beiden gleichzeitig an einem Körper angreifen und nicht in seinem Schwerpunkt angreifen? (Die Gravitation zählt dabei nicht als Beispiel, denn diesen Fall kannst du ja einfacher rechnen, nämlich als eine einzige Kraft, die im Schwerpunkt des Körpers angreift.)

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

die simulation ist sehr benutzeroffen - der benutzer muss die möglickeit haben, alles zu tun, was er will. Er kann also sagen, ich ziehe an beiden enden des körpers mit gleicher kraft.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788