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Nachricht |
Dominikus
Gast
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 Dominikus Verfasst am: 24. Apr 2021 20:26 Titel: Gewicht der Kisten |
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Hallo, ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
Man füllt zwei gleich große Kisten (Würfel) mit Stahlkugeln. In die eine Kiste kommen kleine Kugeln und in die andere Kiste Kugeln mit einem größeren Durchmesser. Die Kugeln sind jeweils gleich groß. Die Frage. Wiegen beide Kisten gleich viel?
Die Kugeln liegen locker gepackt, d.h. jede Kugel berührt 6 andere. |
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Dr_Herbert
Gast
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| Dr_Herbert Verfasst am: 25. Apr 2021 08:48 Titel: |
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Das Gewicht der Kisten ist unterschiedlich! Die kleinen Kugeln liegen viel dichter gepackt, bilden also ein größeres Volumen. Da die Masse bei konstanter Dichte proportional zum Volumen ist, zeigt die Waage unterschiedliche Gewichte an. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 25. Apr 2021 09:16 Titel: |
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Die Ausnutzung des Volumens und damit die Masse der enthaltenen Kugeln hängt nur von der Anordnung der Kugeln, nicht vom Radius ab - sieht man von Effekten an den Rändern ab. Vgl. z.B. „Dichteste Kugelpackung“ als obere Grenze der Raumausnutzung. |
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Dominikus
Gast
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| Dominikus Verfasst am: 25. Apr 2021 09:45 Titel: |
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Ich habe gedanklich eine Kiste mit 8 Kugeln gefüllt und die andere mit 27. Nur als Beispiel. Dann habe ich jeweils die Differenz berechnet: Würfelvolumen - Kugelvolumen. Ich komme auf unterschiedliche Werte! |
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A.T.
Anmeldungsdatum: 06.02.2010
Beiträge: 343
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| A.T. Verfasst am: 25. Apr 2021 10:27 Titel: |
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| Dominikus hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe gedanklich eine Kiste mit 8 Kugeln gefüllt und die andere mit 27. Nur als Beispiel. Dann habe ich jeweils die Differenz berechnet: Würfelvolumen - Kugelvolumen. Ich komme auf unterschiedliche Werte! |
Meinst Du kubische Kugelpackung, mit einen 2/3 Radius-Verhältnis zwischen den beiden Kugeltypen? Dann hast du falsch gerechnet.
Aber bei anderen Kugelpackungen mit beliebigen Radius-Verhältnissen, die nicht perfekt zu Kiste passen (Rand-Effekte), kann schon was anderes rauskommen. Statistisch gesehen sollten kleinere Kugeln besser packbar sein. Je kleiner die Kugeln, desto kleiner der relative Anteil der suboptimal gepackten oder fehlenden Rand-Kugeln. |
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Theodor
Gast
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| Theodor Verfasst am: 25. Apr 2021 12:27 Titel: |
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Nimm mal ein großes Gefäß, fülle es mit großen und kleinen Kugeln. Die Kugeln liegen anfangs gemischt zusammen. Wenn man die Kiste nun lange genug schüttelt, werden sich die größeren Kugeln nach einer Weile oben sammeln. Die kleineren Kugeln befinden sich im unteren Teil, denn sie sind dort enger und füllen den Raum effektiver aus. So ist es auch mit den zwei Kisten der Fragestellung. Die Kiste mit den kleinen Kugeln wiegt demnach mehr. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 25. Apr 2021 12:40 Titel: |
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@Theodor: Das hat nichts mit der Aufgabe zu tun. Haben die Kugeln unterschiedliche Radien, so können kleinere Kugeln auch Zwischenräume ausfüllen.
Zum erwähnten Phänomen, dass sich z.B. in einem Pulver die grösseren Teilchen oben ansammeln, siehe hier.
Bei Kugeln gleicher Grösse hängt die Raumausnutzung nicht von der Kugelgrösse ab, sondern nur von der Art der Anordung - wie schon gesagt, abgesehen von Effekten an den Rändern. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5785
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Apr 2021 13:35 Titel: |
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| Theodor hat Folgendes geschrieben: | | Nimm mal ein großes Gefäß, fülle es mit großen und kleinen Kugeln. Die Kugeln liegen anfangs gemischt zusammen. Wenn man die Kiste nun lange genug schüttelt, werden sich die größeren Kugeln nach einer Weile oben sammeln. Die kleineren Kugeln befinden sich im unteren Teil, denn sie sind dort enger und füllen den Raum effektiver aus. So ist es auch mit den zwei Kisten der Fragestellung. Die Kiste mit den kleinen Kugeln wiegt demnach mehr. |
Ich bin mir wirklich nicht sicher, ob das so stimmt. Ich kenne den Effekt an sich zwar auch zb bei Müsli, allerdings sind im Müsli erstens keine Kugeln, zweitens ist die Dichte nicht komplett identisch und drittens sind die ja zusammen in einem Behälter, also erst auch ineinander gemischt, die Entmischung könnte auch aufgrund des Anfangszustands eventuell so sein, dass die kleineren Bestandteile eher nach unten wandern. Tatsache ist, bei dichtesten Kugelpackung mit untereinander gleich großen Kugeln kommt man immer auf denselben Prozentsatz der Raumausfüllung, Randeffekte ausgenommen (wie schon mehrfach geschrieben). Ich würde also auch eher erwarten, dass es zumindest keinen großen Unterschied geben sollte, wenn die Kugeln immer relativ klein im Vergleich zum Kastenvolumen sind.
Gruß
Marco |
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willyengland
Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 676
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Apr 2021 19:19 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Die Ausnutzung des Volumens und damit die Masse der enthaltenen Kugeln hängt nur von der Anordnung der Kugeln, nicht vom Radius ab - sieht man von Effekten an den Rändern ab. Vgl. z.B. „Dichteste Kugelpackung“ als obere Grenze der Raumausnutzung. |
a = Kantenlänge der Kiste
n = Anzahl Kugeln
Jede Kugel wird von 4 benachbarten Kugeln auf der gleichen Ebene und je einer Kugel aus der darüber und darunter liegenden Ebene berührt.
Raumausnutzung R
 = \frac{V_k} {a^{3} } \cdot 100 % = \frac{\pi }{6} \cdot 100 % =52,3 %)
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 27. Apr 2021 14:25, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Dominikus
Gast
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| Dominikus Verfasst am: 25. Apr 2021 20:02 Titel: |
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Oh, danke! Jetzt ist das Rätsel wohl gelöst. Hätte ich nicht gedacht. |
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