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Nachricht |
Schüler123456
Gast
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 Schüler123456 Verfasst am: 07. Aug 2020 10:16 Titel: Weg-Zeit-Funktion eines Frisbees (Fahrgeschäft) |
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Meine Frage:
Hallo Leute,
Wie würdet ihr die Weg-Zeit-Funktion eines sogenannten Frisbees aufstellen? Für alle, die nicht wissen, was ein Frisbee ist, es ist eine Art modifizierte Schiffsschaukel, die Pendelbewegung liegt zwar weiterhin vor, gleichzeitig aber rotiert die Schaukel um ihre eigene Achse, vollführt also eine Kreisbewegung, die als gleichförmig angenommen werden soll. Wie würdet ihr das ganze Modellieren?
Meine Ideen:
Ich hätte erst mal mit der Pendelbewegung in der x-z-Ebene begonnen und diese mit Polarkoordinaten modelliert. Stellt man geeignete Einheitsvektoren auf, dann erhält man die Position des Mitfahrenden, vorausgesetzt er sitzt genau in der Mitte, durch:
 .
Wie würdet ihr jetzt noch die Kreisbewegung reinbringen, die ja ständig ihre Ebene verändert? Reicht es, einfach an obige Gleichung die Darstellung einer Kreisbwegung in x-y-Ebene zu addieren? Das würde das ständige "Wechseln" in Ebenen nicht berücksichtigen, oder? Sondern davon ausgehen, dass die Kreisscheibe konstant parallel zur x-y-Eben ist? Leider bin ich noch Schüler, deshalb weiß ich wirklich nicht, wie ich hier vorgehen soll. Vielen Dank für eure Hilfe! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 07. Aug 2020 13:47 Titel: Re: Weg-Zeit-Funktion eines Frisbees (Fahrgeschäft) |
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| Schüler123456 hat Folgendes geschrieben: | | Leider bin ich noch Schüler, deshalb weiß ich wirklich nicht, wie ich hier vorgehen soll. |
Weißt Du, wie man mit Matrizen rechnet - insbesondere, wie man Matrizen und Vektoren multipliziert? Damit wäre das Problem vergleichsweise einfach zu lösen. |
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Schüler123456
Gast
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| Schüler123456 Verfasst am: 07. Aug 2020 16:12 Titel: |
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Vielen Dank für deine Nachricht. Ich habe Abi, also weiß ein wenig was über Vektoren. Von Matrizen habe ich schon was gehört und ein paar Videos gesehen, habe aber alles leider wieder vergessen. Ich nehme an, man braucht gute Kenntnisse in linearer Algebra, leider nehme ich mein Studium erst diesen Winter auf. Könnte ich, ein mathematisch gut aufgestellter Abiturient, das nötige Wissen innerhalb weniger Tagen "Vollzeit-Studium" mir aneignen? Auf jeden Fall wäre ich sehr dankbar für einen Ansatz, auch wenn ich ihn vielleicht nicht ganz verstehen sollte. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5886
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| Myon Verfasst am: 07. Aug 2020 17:22 Titel: |
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Zuerst einmal: Kugelkoordinaten sind hier wahrscheinlich nicht geeignet, denn die Bewegung eines Sitzes auf dem Frisbee bewegt sich zwar auf einer Kugeloberfläche, aber in kartesischen Koordinaten lässt sie sich die Bewegung einfacher parametrisieren.
Mit einer Matrizenmultiplikation müsste man sich viel weniger überlegen. Du kannst dann einfach eine Kreisbewegung in einer zur xy-Ebene parallelen Ebene parametrisieren und darauf eine Rotationsmatrix anwenden, welche den Kreis um den Auslenkungswinkel des Arms dreht. Das Ausrechnen einer Matrizenmultiplikation (hier: Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor) selber ist nicht schwierig, man muss nur jeweils die richtigen Elemente miteinander multiplizieren und addieren.
Eine Parametrisierung ohne Matrizenmultiplikation ist sicher auch möglich. Dann ist eine Skizze sehr wichtig. Als erstes den Ort ) des Mittelpunkts des drehenden Rades in kartesischen Koordinaten beschreiben. Dazu eine Kreisbewegung addieren, nur dass diese nicht in der xy-Ebene stattfindet, sondern in einer um den Auslenkungswinkel gedrehten Ebene. Das gibt dann einige sin-/cos-Funktionen, wie sie sich bei der Anwendung der Rotationsmatrix ohne viel Überlegen auch ergeben. |
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Schüler123456
Anmeldungsdatum: 07.08.2020
Beiträge: 2
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| Schüler123456 Verfasst am: 07. Aug 2020 17:46 Titel: |
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Auch dir vielen Dank für deine Hilfe! Deine Erklärung war sehr gut zu durchdringen, ich verstehe die Idee dahinter. Leider weiß ich weder, wie man eine Kreisbewegung mit einer Rotationsmatrix ist und wie man diese anwendet, um in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel eine Kreisbewegung in verschiedenen Ebenen zu beschreiben. Ich will nicht als faul rüberkommen, aber könntest du vielleicht erste Ansätze skizzieren? Das wäre äußerst freundlich, ich gebe mein bestes und durchforste in der Zwischenzeit das Internet nach Matrizenmultiplikation 
Vielen Dank nochmal! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 07. Aug 2020 17:52 Titel: |
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| Schüler123456 hat Folgendes geschrieben: | | Ich nehme an, man braucht gute Kenntnisse in linearer Algebra |
Für die Matrizenmultiplikation brauchst Du nur die Grundrechenarten (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation ). Wenn Du damit Gleichungen formulierst, dann musst Du aber beachten, dass hier das Kommutativgesetz nicht gilt. Das heißt, dass das Ergebnis von der Reihenfolge der Faktoren abhängt.
Außerdem ist es nützlich zu wissen, dass Vektoren nebenberuflich auch Matrizen sind. Einen dreidimensionaler Spaltenvektor ist beispielsweise eine 3×1-Matrix. Damit braucht man keine beonderen Rechenregeln für Matrizen und Vektoren. Die werden einfach alle als Matritzen behandelt.
In der Matrix-Schreibweise sieht die Weg-Zeit-Funktion so aus:
 = R_y \left( {\alpha _y \left( t \right)} \right) \cdot R_z \left( {\alpha _z \left( t \right)} \right) \cdot r
<br />
)
 und  die Rotationsmatrizen für die Drehung um die Y- bzw Z-Achse. Sie hängen von den jeweiligen Drehwinkeln  und  ab (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix ).
Die Winkel sind wiederum zeitabhängig. Bei der Drehung um die Z-Achse ist es einfach
 = \omega _z \cdot t)
Bei der Drehung um die Y-Achse wird es komplizierter. Wenn es sich bei der Schaukelbewegung um eine harmonische Schwindgung handelt, dann wäre es z.B.
 = \alpha _{y,\max } \cdot \sin \left( {\omega _y \cdot t} \right)
<br />
)
(wenn das Pendel bei t=0 gerade durch die Ruhelage schwingt).
Die Kreisfrequenz  der Schwingung hängt dabei im Wesentlichen von der Länge des Pendels ab (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel ). Tatsächlich gilt das aber nur näherungsweise bei kleinen Auslenkungen. Wenn Du das Pendel auch bei großen Auslenkungen physikalisch korrekt beschreiben willst, dann wird es schwierig - insbesondere bei der erzwungenen Schwingung, um die es sich in der Praxis handelt. Das kann man meines Wissens nur numerisch lösen. Darüber müssten wir nochmal gesondert reden.
Den Startvektor ro resultiert aus der Dimension des Frisbees (also Länge L der Schaukel und Radius R des Rotors) und wird so gelegt, dass die Rotationen um den Koordinatenursprung erfolgen. Das heißt
^T )
Das hochgestellte T bedeutet, dass der Vektor transponiert wird. Dabei wird aus dem Zeilenvektor ein Spaltenvektor bzw. aus der 1×3-Matrix eine 3×1-Matrix.
Wenn Du mit obiger Gleichung die einzelnen Komponenten des Weg-Zeit-gesetzes ausrechnen willst, dann musst Du von rechts nach links das Schema für die Matrizenmultiplikationen abarbeiten. Aber das ist im Grunde nur Fleißarbeit. |
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Schüler123456
Anmeldungsdatum: 07.08.2020
Beiträge: 2
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| Schüler123456 Verfasst am: 07. Aug 2020 18:10 Titel: |
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Danke, ich lese mir gleich alle Themen durch, leider werden mir deine Matrixschreibweise der Weg-Zeit-Funktion und die Gleichung für die harmonische Schwimgung nicht angezeigt, wobei ich glaube, dass letztere auch in dem verlinkten Wiki-Artikel zu finden ist.
Zwei Fragen noch:
- Am Ende kriegen wie dann doch eine Gleichung in Abhängigkeit von der Zeit t, richtig?
- Sollte man rein theoretisch die 2. Ableitung dieser Funktion, also den Ausdruck für die Beschleunigung, in der Realität mit Messungen abprüfen und sollte sich die Vorüberlegung als relativ gute Annäherung für die Realität erweisen, heißt das dann, dass auch unsere Weg-Zeit-Funktion als eine gute Annäherung gilt?
- Welche Beschleunigungen (bzw. Kräfte) wirken neben der Zentripetalbeschleunigung und Gravitativen Beschleunigung?
Nochmals vielen Dank und entschuldigt meine Unwissenheit! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 07. Aug 2020 20:04 Titel: |
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| Schüler123456 hat Folgendes geschrieben: |
- Am Ende kriegen wie dann doch eine Gleichung in Abhängigkeit von der Zeit t, richtig?
- Sollte man rein theoretisch die 2. Ableitung dieser Funktion, also den Ausdruck für die Beschleunigung, in der Realität mit Messungen abprüfen und sollte sich die Vorüberlegung als relativ gute Annäherung für die Realität erweisen, heißt das dann, dass auch unsere Weg-Zeit-Funktion als eine gute Annäherung gilt?
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Ja und ja.
| Schüler123456 hat Folgendes geschrieben: |
- Welche Beschleunigungen (bzw. Kräfte) wirken neben der Zentripetalbeschleunigung und Gravitativen Beschleunigung?
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Da sich nicht nur die Richtung, sondern auch der Betrag der Geschwindigkeit ändert, wirkt auch noch eine Tangentialbeschleunigung. |
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