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Winkel in einer Schale von drei Kugeln gesucht
 
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mathematik1
Gast





Beitrag mathematik1 Verfasst am: 09. Jul 2020 17:01    Titel: Winkel in einer Schale von drei Kugeln gesucht Antworten mit Zitat

Meine Frage:
In einem nach oben geöffnetem Dreieck befinden sich drei Kugeln mit gleicher Gewichtskraft und gleichem Durchmesser. Verbindet man die Mittelpunkte so ergibt sich ein Dreieck mit 3x60°.
Wie groß darf der Winkel des Dreiecks werden, damit sich die Kugeln soeben noch halten, nicht auseinander rollen.
Leider kann ich keine Skizze anhängen, ansonsten könnten ich das Problem viel besser darstellen.

Meine Ideen:
Kräfte freischneiden, und nur eine Seite betrachten.
Die Normalkraft der oberen Kugel, auf die rechte untere übertragen, obere Kugel hat nur die Hälfte der Gewichtskraft und noch die Kraft der rechten unteren Kugel auf die schräge Fläche.
Dann die Summe in Fx und Fy bestimmen, und beide Gleichungen quadrieren , und addieren usw. ??
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 09. Jul 2020 20:13    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, wie die Anordnung aussieht. Bitte exakt beschreiben oder besser noch eine Skizze anfügen - das ist problemlos möglich, nachdem Du Dich im Forum angemeldet hast und nicht als Gast einen Beitrag schreibst.
mathematik1



Anmeldungsdatum: 09.07.2020
Beiträge: 6

Beitrag mathematik1 Verfasst am: 09. Jul 2020 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

Im Anhang nun eine Skizze


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Im Anhang nun eine Skizze

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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Jul 2020 00:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ah gut... ich hatte an eine 3-dim. Anordnung gedacht.

Ich würde die Richtung der Summe der Kräfte auf eine der unteren Kugeln bestimmen (ohne Berücksichtigung der Kraft der Ebene auf die Kugel und ohne die Kräfte zwischen den unteren Kugeln untereinander). Diese Richtung ist unabhängig vom Winkel alpha.

Im Grenzfall, also bei maximalem Winkel alpha, steht diese Kraftsumme senkrecht auf der Ebene, und zwischen den beiden unteren Kugeln wirken keine Berührungskräfte. Bei grösserem Winkel alpha wirkt eine resultierende Kraft auf die unteren Kugeln entlang der Ebene nach oben, sodass diese Kugeln wegrutschen. Bei dieser Betrachtung wurde angenommen, dass keine Reibungskräfte wirken.

Auch wenn es vielleicht offensichtlich erscheint, würde ich zuerst in einer Skizze die auf eine untere Kugel wirkenden Kräfte einzeichnen.
mathematik1



Anmeldungsdatum: 09.07.2020
Beiträge: 6

Beitrag mathematik1 Verfasst am: 10. Jul 2020 21:09    Titel: Rückfrage Antworten mit Zitat

Es wäre gut wenn mir jemand die Kräfte freischneiden könnten und ferner noch die Rechnung aufzeigt.

Danke soweit schon einmal
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Jul 2020 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Auf eine untere Kugel wirken doch

1. die Gewichtskraft auf die Kugel selbst
2. Berührungskraft der oberen Kugel
3. Berührungskraft der zweiten unteren Kugel
4. Berührungskraft (Normalkraft) der Ebene

Die Berührungskräfte wirken jeweils senkrecht zur Tangentialfläche durch die Berührungspunkte. Beim gesuchten maximalen Winkel wird die 3. Kraft gleich null. Folglich muss die Summe aus 1. und 2. Kraft der 4. Kraft entgegengerichtet sein, also senkrecht auf der Ebene stehen. Diese Summe hat die Komponenten (m=Masse einer Kugel)




Der Winkel zur Horizontalen ergibt sich aus dem Arcustangens von Fy/Fx.

OK, das war vielleicht nicht sehr systematisch. Man kann auch einfach Gleichgewichtsbedingungen für die obigen 4 Kräfte aufstellen (die unteren Kugeln sollen ja in Ruhe sein), jeweils für die horizontalen und vertikalen Komponenten. Auch hier erhält man den gesuchten Winkel, wenn man die 3. Kraft gleich null setzt.
mathematik1



Anmeldungsdatum: 09.07.2020
Beiträge: 6

Beitrag mathematik1 Verfasst am: 11. Jul 2020 23:11    Titel: Antworten mit Zitat

Danke soweit für die Hilfe...
Im Anhang zwei Bilder mit meiner Rechnung auf Blatt 2.
Ich habe den Kosinussatz angewandt, um nach dem gesuchten Winkel β aufzulösen.
Doch die Normalkraft ist immer noch ein Novum im Ergebnis, denn ich kenne lt. Aufgabenstellung nur meine Gewichtskraft der Kugeln die alle gleich sind.

Ja und es ist richtig alles reibungsunabhängig.

Tja, ich weiß noch nicht einmal ob mein Ergebnis überhaupt stimmt.

Der Winkel zur Horizontalen ergibt sich aus dem Arcustangens von Fy/Fx. Den brauche ich lt. meiner Rechnung nicht.

Also irgendwas stimmt bei mir immer noch nicht.

Wenn mir da nochmals einer das richtig vorrechnen könnte ?

Vielen Dank für Euro Hilfen



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mathematik1



Anmeldungsdatum: 09.07.2020
Beiträge: 6

Beitrag mathematik1 Verfasst am: 11. Jul 2020 23:13    Titel: Antworten mit Zitat

Bild 001


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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 12. Jul 2020 00:45    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry wenn ich nicht auf Deine Rechnungen eingehe. Es ist schon recht spät, weshalb ich es nicht zu lang machen möchte.

Im Folgenden sei

F_G: Gewichtskraft einer Kugel
F_A: Berührungskraft der oberen Kugel auf eine untere Kugel
F_B: Berührungskraft einer unteren Kugel auf die andere
F_N: Kraft der Ebene auf eine untere Kugel (steht senkrecht zur Ebene)

Damit für eine untere Kugel Kräftegleichgewicht herrscht, muss in vertikaler bzw. horizontaler Richtung gelten





Weiter gilt



Für F_Ax: das Verhältnis der Komponenten F_Ax/F_Ay ergibt sich, wenn man ein gleichseitiges Dreieck mit F_A als Dreieckseite betrachtet (siehe beigefügte Skizze).
F_B wird null beim gesuchten maximalen Winkel alpha (alpha so gewählt wie in Deiner ersten Skizze).



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mathematik1



Anmeldungsdatum: 09.07.2020
Beiträge: 6

Beitrag mathematik1 Verfasst am: 12. Jul 2020 14:16    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe mir nochmals Gedanken dazu gemacht und es auf folgende Weise errechnet.

Bilder siehe im Anhang.

Das Ergebnis ist bei mir von G abhängig.

Ich habe nicht vektoriell gelöst sondern einfach mittels Einsetzverfahren das N aus den Gleichgewichtsbedingungen aus der einen Gleichung eliminiert.

Stimmt mein Ergebnis soweit ?



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Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Jul 2020 15:43    Titel: Antworten mit Zitat

Irgendwie denkst Du viel zu weit... Alle Kräfte sind proportional zu FG, das Resultat kann nicht von den Kugelmassen abhängen. Auch sollte das Argument im Arcustangens dimensionslos sein.

Du brauchst doch nur die beiden obenstehenden Gleichungen durcheinander zu dividieren:

Zitat:




Links ergibt sich tan(alpha), und rechts das Verhältnis der Kräfte.
Anschaulich sollte klar sein, dass der gesuchte Winkel zwischen 60° und 90° liegen muss. Bei 60° wären die Kugeln auch dann im Gleichgewicht, wenn die unteren Kugeln masselos wären.
xb2
Gast





Beitrag xb2 Verfasst am: 12. Jul 2020 16:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde das Koordinatensystem so legen,dass die x-Achse parallel zur schiefen Ebene liegt.
Es gibt zwar 2 schiefe Ebenen,aber man kann aus Symmetriegründen eine nehmen.

Wenn alpha der Neigungswinkel der schiefen Ebene ist hat man im Gleichgewicht

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Jul 2020 17:19    Titel: Antworten mit Zitat

xb2 hat Folgendes geschrieben:
Ich würde das Koordinatensystem so legen,dass die x-Achse parallel zur schiefen Ebene liegt.

Kann man sicher auch (wobei dann im Arg. des Cosinus vermutlich eher (60°-alpha) stehen müsste). Zum Auflösen wird dann noch ein Additionstheorem aus der Trigonometrie benötigt. Insgesamt glaube ich nicht, dass es die Sache einfacher macht.
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