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Rotationskörper
 
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Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 09. März 2020 20:46    Titel: Rotationskörper Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo! Hat jemand eine Idee, wie man folgende Aufgabe lösen könnte?
Ein homogener Rotationskörper m = 26,5kg wird durch die Funktion: y = f(x) = im Intervall 0 < x < h gebildet, wobei h= 0,25m beträgt und die Höhe des Körpers bezeichnet. Die Konstante a^2 hat dabei den Wert von 1 und die Einheit Meter (a^2 = 1m). Berechnen Sie für diesen Rotationskörper, dessen Volumen sich aus der Gleichung ergibt,

(a) Die Dichte und die Koordinaten seines Massenschwerpunktes r_s sowie
(b) das auf seine Symmetrieachse bezogene Massenträgheitsmoment J = J(m,h)


Meine Ideen:
Für A)
Die Dichte konnte ich berechnen.


Für den Schwerpunkt, ich weiß, dass:


Für B)
Ich denke, dass man in dieser Aufgabe wegen des Schwerpunkts mit dieser Formel arbeiten sollte:

wobei

und:


Also:



Wie kann ich weiter machen? das mit dem Schwerpunkt fällt mir sehr schwer.
Danke!
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 09. März 2020 22:19    Titel: Antworten mit Zitat

Beim Massenschwerpunkt musst Du von der allgemeineren Formel für den Schwerpunkt eines Körpers mit kontinuierlicher Massenverteilung ausgehen.

Ich helfe beim Massenschwerpunkt, dafür solltest Du dann das Massenträgheitsmoment selber berechnen können, denn das geht analog.

Aus Symmetriegründen ist klar, dass der Massenschwerpunkt des Rotationskörpers auf seiner Symmetrieachse liegt. Liegt die Achse des Rotationskörpers auf der x-Achse des Koordinatensystems, genügt es also, die x-Koordinate des Schwerpunkts zu bestimmen. Aus der allgemeinen Formel folgt



Wie gesagt, beim Trägheitsmoment kann analog gerechnet werden. Das r^2 in der Formel entspricht natürlich dem y^2 des Rotationskörpers.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 10. März 2020 15:39    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

Ich helfe beim Massenschwerpunkt, dafür solltest Du dann das Massenträgheitsmoment selber berechnen können, denn das geht analog.


Ja, die Integralrechnung sollte mir keine Probleme bereiten.

Myon hat Folgendes geschrieben:

Liegt die Achse des Rotationskörpers auf der x-Achse des Koordinatensystems, genügt es also, die x-Koordinate des Schwerpunkts zu bestimmen. Aus der allgemeinen Formel folgt


Ok, das kann ich verstehen!

Was ich nicht verstehe ist wie du aus
Myon hat Folgendes geschrieben:




auf

Myon hat Folgendes geschrieben:




kommst.

Ich weiß, dass die erste Formel die allgemeine Formel für den Massenmittelpunkt ist aber die zweite Formel sieht in Theorie so aus (allgemein):



Wobei p(r) die Dichte ist. Deswegen würde meine Formel erstmal so aussehen.




Vergleich:

Vergleich

Ich verstehe nicht, woher dieses "x" kommt, dieses pi und woher die Funktion zum Quadrat kommt im vergleich zu deiner Formel. Ich weiß nicht, ob du verstehen kannst, was ich meine Hilfe

Wie hast du alle Informationen aus der Aufgabe in die allgemeine Formel eingesetzt, damit es so aussieht?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 10. März 2020 21:27    Titel: Antworten mit Zitat

Wolvetooth hat Folgendes geschrieben:
Deswegen würde meine Formel erstmal so aussehen.


Das ist von der Notation her nicht gut: wenn über das Volumen integriert wird, können die Integrationsgrenzen nicht 0 und h sein. Der Körper ist notabene homogen, weshalb die Dichte unabhängig vom Ort ist.

Wie gesagt, es kann hier einfach die x-Koordinate des Schwerpunkts bestimmt werden, denn dass der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse des Körpers liegt, ist klar. Im Integrand steht dann nicht der Ortsvektor , sondern x.

Für die Gleichung



betrachte ein scheibenförmiges Volumenelement dV auf der Höhe x senkrecht zur Symmetrieachse. Dann gilt

.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 11. März 2020 09:55    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:


Für die Gleichung



betrachte ein scheibenförmiges Volumenelement dV auf der Höhe x senkrecht zur Symmetrieachse. Dann gilt

.


Ok, das hier ist, was ich verstanden habe:

Vermutete Herleitung:





wobei: und in diesem Fall ist



Daraus folgt:

(dx ist in diesem Fall dh, also dx = dh).

und folgt:



Ist es richtig so oder irre ich mich?

In so einer Aufgabe, in der man eine Funktion bekommt, muss man immer ein scheibenförmiges Volumenelement dV betrachten und diese Formel für die Berechnung des Volumens benutzen?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 11. März 2020 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das ist richtig. Zur 2. Frage: Wahrscheinlich ist jede Aufgabe wieder ein bisschen anders, aber allgemein hilft es sicher, wenn man die Symmetrie eines Körpers ausnützt. Wenn bei einem Rotationskörper über das Volumen integriert werden muss, bietet sich eine Rechnung wie oben an.
Wolvetooth



Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260

Beitrag Wolvetooth Verfasst am: 11. März 2020 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Ja, das ist richtig. Zur 2. Frage: Wahrscheinlich ist jede Aufgabe wieder ein bisschen anders, aber allgemein hilft es sicher, wenn man die Symmetrie eines Körpers ausnützt. Wenn bei einem Rotationskörper über das Volumen integriert werden muss, bietet sich eine Rechnung wie oben an.


Dann herzlichen Dank für die ausführliche Hilfe Tanzen
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