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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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 Nils Hoppenstedt Verfasst am: 25. Jan 2020 17:24 Titel: |
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Vielleicht gibt es noch eine alternative Betrachtung. Die Arbeit zum Heben der Kugel ist ja die Summe der Arbeit die man hätte, wenn man die Kugel einfach in Luft anheben würde (=mgr) minus der - nennen wir sie mal - "Auftriebsarbeit":
 )
Die Auftriebsarbeit entspricht der Energie, die frei wird, wenn das Wasser in das frei werdende Volumen wieder zurückläuft. In unserem Beispiel also die Energie, die frei wird, wenn Wasser vom oberen Rand aus in ein halbkugelförmiges Loch mit Radius r läuft. Dies kann sich modellhaft so vorstellen, dass wir zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt der Halbkugel bringen, und dann innerhalb der Halbkugel verteilen. Macht man das für alle Wassermolüle, dann ergibt der erste Anteil den Gesamtbeitrag m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunktes). Der zweite Anteil ergibt jedoch exakt die Nettoarbeit Null, da ja vom Schwerpunkt aus gestartet wurde und sich negative und positive Arbeitsaufwände somit exakt kompensieren.
Insgesamt kommt dann auch wieder auf:
Rechnerisch ergibt sich natürlich wieder kein Vorteil, da wir ja immer noch die Lage des Schwerpunktes bestimmen müssen. Aber vielleicht ist diese Betrachtung sogar noch einfacher.
Viele Grüße,
Nils |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 25. Jan 2020 19:28 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Man müsste rechnerisch die Auftriebsarbeit auf die Definition des Schwerpunkts zurückführen, dann wäre der Zusammenhang gezeigt. |
Auftriebsarbeit
A(y) Querschnittsfläche der eingetauchten Volumens
h = Eintauchtiefe des Körpers
m_w = Masse des verdrängten Wasservolumens
rho_w = Dichte Wasser
m = Masse des Körpers
1. Schwerpunktansatz
Schwerpunkt der verdrängten Wassermassse
\cdot y \, \cdot\dd y}{m_w \cdot g } )
\cdot y \, \cdot\dd y}{m_w\cdot g } )
Schwimmbedingung
Auftriebsarbeit
\cdot y \, \cdot\dd y )
2. Integration
Auftriebsarbeit
\cdot y \, \cdot\dd y )
qed
Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 26. Jan 2020 11:15, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 25. Jan 2020 20:33 Titel: |
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| Zitat: | | Dies kann sich modellhaft so vorstellen, dass wir zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt der Halbkugel bringen, und dann innerhalb der Halbkugel verteilen. Macht man das für alle Wassermolüle, dann ergibt der erste Anteil den Gesamtbeitrag m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunktes). |
Das ist imho der richtige Ansatz.
Wh=rhok*Vk*g*deltah
Wa=rhow*Vu*g*zs
Wges=Wh-Wa
Wh=Hubarbeit für den Körper ohne Berücksichtigung des Auftriebs
Wa=Auftriebsarbeit
deltah=Hubweg des gesamten Körpers
rhok=Dichte des Körpers
rhow=Dichte Wasser
zs=Abstand Schwerpunkt des untergetauchten Teils des Körpers zur Wasseroberfläche
Vk=Volumen des gesamten Körpers
Vu=Volumen des eingetauchten Teils des Körpers
Diese Formel funktioniert für teilweise oder völlig untergetauchte Körper beliebiger Form und Dichte.
Wichtig ist, dass bei nur teilweise eingetauchten Körpern bei Vu auch nur der untergetauchte Teil eingesetzt wird und sz der Abstand der Wasseroberfläche zum Schwerpunkt des untergetauchten Teiles des Gesamtkörpers (und nicht zum Schwerpunkt des Gesamtkörpers) ist.
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 26. Jan 2020 11:11 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist. |
Vorteilhaft oder nicht, ich denke, man wird um die direkte oder indirekte Bestimmung des Schwerpunktes nicht herum kommen.
Oder hast Du noch andere Ansätze?
Bei der Integration der (veränderlichen) Auftriebskraft über den Eintauchweg ist die Bestimmung der Schwerpunktes ja ebenfalls implizit enthalten, auch wenn es nicht gleich so offensichtlich ist. Man spart also letztlich nichts.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2020 11:27 Titel: |
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@Mathefix: Ich sehe nicht, was Du nun gezeigt oder bewiesen hast, denn Du bist ja von der Gleichung ausgegangen, die gezeigt werden soll. Wahrscheinlich entgeht mir etwas.
Die von der Auftriebskraft geleistete Arbeit ist ja
\,\dd z'\,\dd z)
und man müsste zeigen, dass dies gleich
\,\dd z)
ist. Ich muss irgendwo einen totalen Knopf in der Leitung haben... Es müsste ja
\,\dd z'=A(z)z)
sein, was nur bei konstanter Funktion A(z) der Fall ist??
Edit: Fehlender Apostroph in letzter Gleichung eingefügt.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 26. Jan 2020 13:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2020 11:48 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Der Schwerpunktansatz ist nur dann vorteilhaft, wenn die Position des Schwerpunkts bekannt bzw. einfach zu bestimmen ist. |
Vorteilhaft oder nicht, ich denke, man wird um die direkte oder indirekte Bestimmung des Schwerpunktes nicht herum kommen.
Oder hast Du noch andere Ansätze?
Bei der Integration der (veränderlichen) Auftriebskraft über den Eintauchweg ist die Bestimmung der Schwerpunktes ja ebenfalls implizit enthalten, auch wenn es nicht gleich so offensichtlich ist. Man spart also letztlich nichts.
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Nicht ganz. Der Schwerpunkt des untergetauchten Volumens liegt bei einem Quader bei h/2, bei einer Pyramide oder Kegel bei h/4. Das weiss man vielleicht noch aus der Schulzeit.
Ansonsten stimmen wir überein: Kein Vorteil. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2020 12:03 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | @Mathefix: Ich sehe nicht, was Du nun gezeigt oder bewiesen hast, denn Du bist ja von der Gleichung ausgegangen, die gezeigt werden soll. Wahrscheinlich entgeht mir etwas. |
Ich habe gezeigt, dass allgemein der Schwerpunktansatz zu dem gleichen Ergebnis führt wie die Integration. Nichts anderes hat Nils auf anderem Weg gezeigt.
Zitat Nils:
Schritt 4:
Jetzt müssen wir nur noch die ursprüngliche Kugel wieder zusammenbauen. Um dies zu erreichen, drehen wir die untere Kugelhälfte ohne Arbeit verrichten zu müssen um 180° um ihren Schwerpunkt S (siehe Zeichnung) und heben sie anschließend solange nach oben bis sie die obere Hälfte berührt. Bezeichnen wir mit zs den Abstand des Schwerpunktes der Kugelhälfte zum Mittelpunkt der Kugel, so ist der dabei zurück gelegte Weg gleich r-2*zs.
Ich bin von der einfachen Überlegung ausgegangen, dass die aus den infinitesimalen Auftriebskräften resultierende gesamte Auftriebskraft im Schwerpunkt angreift. Und um die untere Kugelhälfte auf den Wasserspiegel zu heben, die Arbeit W = -m x g x z_s verrichtet wird.
Ich will das Thema aber nicht überdehnen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2020 12:31 Titel: |
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@Mathefix: Sorry, ich sehe nach wie vor nicht, was Du nun bewiesen hast. Dass die in Schritt 2 („Integration“) genannte Gleichung für die beim Hebevorgang von der Auftriebskraft geleistete Arbeit (die übrigens posititv ist) gilt, soll doch genau gezeigt werden. Vielleicht kann ja sonst noch jemand Klarheit schaffen, denn mich würde eine Herleitung interessieren.
PS: Das Zitat von Nils für einen speziellen Vorgang in seinem anschaulichen Beweis hat doch nichts mit der Herleitung hier zu tun, jedenfalls sehe ich den Zusammenhang nicht. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 26. Jan 2020 13:06 Titel: |
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| Zitat: | | Das Zitat von Nils für einen speziellen Vorgang in seinem anschaulichen Beweis hat doch nichts mit der Herleitung hier zu tun, jedenfalls sehe ich den Zusammenhang nicht. |
Die reine Hubarbeit ist trivial und soll vorerst nicht weiter betrachtet werden.
Die Auftriebsarbeit für einen masselosen geradeso untergetauchten Quader (Oberkante Quader berührt Wasseroberfläche) lässt sich als Integral der linear steigenden Auftriebskraft über den Eintauchweg h von 0 bis h1 darstellen.
h1=Quaderhöhe
h=Eintauchtiefe
Nach Integration und Einsetzen der Grenzen erhält man:
Wa=rhow*g*A*h1²/2
Wa=Auftriebsarbeit
rhow=Dichte Wasser
A=Grundfläche Quader
der Term A*h1²/2 lässt sich darstellen als V*h1/2
V=Quadervolumen
und h1/2 ist die Abstand des Schwerpunktes zur Wasseroberfläche.
Nun könnte man jeden beliebigen (Hohl-)Körper in winzige Quader zerlegen und über alle Quader integrieren. Dabei ergibt sich letztlich, das die Auftriebsarbeit vom Volumen des untergetauchten Gesamtkörpers und der Position des Gesamtschwerpunktes des untergetauchten Körpers abhängig ist.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2020 13:14 Titel: |
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Dass die Gleichung mit dem Schwerpunkt für einen quaderförmigen (oder jeden Körper mit konstant verlaufendem Querschnitt) gilt, ist klar und folgt auch mathematisch sofort, siehe meinen obigen Beitrag. Jetzt sehe ich auch, dass daraus die Behauptung für beliebige Körper mit Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt, da man jeden solchen Körper aus Quadern zusammensetzen kann (allenfalls bestehen die Quader aus zwei nicht verbundenen Hälften im oberen und unteren Teil des Körpers). Mathematisch muss man also für diese Körper einfach über diese infinitesimalen Quader integrieren. Soweit demzufolge alles i.O.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 26. Jan 2020 13:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 982
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| Frankx Verfasst am: 26. Jan 2020 13:27 Titel: |
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| Zitat: | | Die Verallgemeinerung auf Körper mit varierendem Querschnitt und Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt aber m.E. nicht ohne weiteres. |
Wieso nicht.
Wenn der Quader erst mal komplett im Wasser ist, dann ist die Auftriebskraft für alle größeren Tiefen konstant.
Für die Auftriebsarbeit ergibt sich dann nur ein zusätzlicher Summand:
rhow*g*V*z
z=zusätzlicher Verschiebeweg des Schwerpunktes
Also bleibt es dabei, dass die Auftriebsarbeit für den Quader linear mit der zusätzlichen Tiefe steigt.
Jeder beliebige Körper lässt sich in Quader mit inkremental kleiner Grundfläche und einer dem Körper an dieser Position entsprechender Höhe zerlegen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 26. Jan 2020 13:31 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Die Verallgemeinerung auf Körper mit varierendem Querschnitt und Spiegelsymmetrie bezüglich einer mittleren Ebene folgt aber m.E. nicht ohne weiteres. |
... Jeder beliebige Körper lässt sich in Quader mit inkremental kleiner Grundfläche und einer dem Körper an dieser Position entsprechender Höhe zerlegen.
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So sehe ich das auch.
Macht man in jeder entsprechenden Statikaufgabe. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 26. Jan 2020 13:38 Titel: |
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OK, hatte ich eben auch gerade gesehen und war am Editieren meines Beitrags. Etwas rätselhaft ist für mich immer noch, dass eigentlich für einen beliebigen Körper die obige 3. Gleichung in meinem Betrag gelten müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 26. Jan 2020 14:04 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | @Mathefix: Sorry, ich sehe nach wie vor nicht, was Du nun bewiesen hast. Dass die in Schritt 2 („Integration“) genannte Gleichung für die beim Hebevorgang von der Auftriebskraft geleistete Arbeit (die übrigens posititv ist) gilt, soll doch genau gezeigt werden. Vielleicht kann ja sonst noch jemand Klarheit schaffen, denn mich würde eine Herleitung interessieren.
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Ich kann die Begründung von Mathefix leider auch nicht ganz nachvollziehen (insbesondere ist in meinem Schritt 4 die Halbkugel ja bereits aus dem Wasser - hier gibt es also gar keinen Auftrieb mehr). Aber ich denke die folgende Überlegung ist ganz hilfreich:
Sei V das Volumen unter der Wasserlinie eines beliebigen Körpers, r die Eintauchtiefe, A(z) die horizontale Querschnittsfläche an der Stelle z (gemessen vom tiefsten Punkt des Körpers) und V(z) das Teilvolumen bis z. Beim Heben des Körpers wird dann die folgende Auftriebsarbeit frei
 = \int_0^r \! \dd z \int_0^z \! \dd \widetilde{z} \, \rho g A(\widetilde{z}))
Wir vertauschen die Reihenfolge der Integration und erhalten:
 = \int_0^r \! \dd \widetilde{z} \, \rho g A(\widetilde{z})(r-\widetilde{z}))
Schauen wir uns das letzte Integral an. (r-\widetilde{z})) ist die Arbeit, die benötigt wird um die horizontale Flüssigkeitslamelle d \widetilde{z} ) von der Stelle  an die Oberfläche zu bringen. Die Integration über alle Lamellen ergibt also die Arbeit, die nötig ist, um ein Volumen V, das mit Wasser gefüllt ist, nach oben "leerzupumpen".
Um diese Arbeit zu berechnen, kann man sich auch umgekehrt vorstellen, dass man ein Loch mit Volumen V von oberen Rand aus mit Wasser befüllt. Wie bereits weiter oben geschrieben, kann man sich dafür modellhaft vorstellen, dass man zuerst jedes Wassermolekül zum Schwerpunkt bringt und dann in dem Volumen verteilt. Macht man das für alle Moleküle, ergibt der erste Anteil die Arbeit m*g*sz (sz sei die Tiefe des Schwerpunkts, m die Gesamtmasse des Wassers). Der zweite Anteil ergibt exakt die Nettoarbeit Null, da man ja vom Schwerpunkt aus startet und sich daher positive und negative Arbeitsaufwände exakt kompensieren. Folglich ist die Auftriebsarbeit:
Hier ist m die Gesamtmasse der verdrängten Flüssigkeit. Wie Frankx bereits bemerkt hat, ist dies die allgemeine Formel, die für beliebe homogene Körper und beliebige Eintauchtiefen gilt.
Ist echt schön wie sich alles am Ende in Wohlgefallen auflöst...
Viele Grüße,
Nils
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EDIT:
Oh Mann, manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht. Das obige Integral
(r-\widetilde{z}))
ist ja bereist der Schwerpunkt (mal m*g).  Das heißt, hier ist man bereits fertig. |
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