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Determinante eines Dirac-Operators
 
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YoungsterPhysician



Anmeldungsdatum: 02.01.2017
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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 13. Jan 2019 18:29    Titel: Determinante eines Dirac-Operators Antworten mit Zitat

Hallo,

in meiner Bachelorarbeit habe ich mit folgendem Diracoperator gearbeitet:

Hierbei läuft von 0 bis 2, wir sind in einer dreidimensionalen Raumzeit mit euklidischer Metrik.Die Gamma Matrizen entsprechen für meine Rechnungen den Pauli Matrizen. ist das chemische Potential.
Für spätere Simulationen musste ich zeigen, dass die Determinante dieses Operators reel ist. Dies ist einfach für über eine Entwicklung in Eigenfunktionen zu zeigen. Mein Problem ist, dies für beliebiges $\sigma(x,y)$ zu zeigen.

Mein Ansatz:
Ich konnte das Problem z.Z vereinfachen auf z.Z . Numerische Simulationen mit naiver, symmetrischer Ableitung ergeben sowohl eine reele Determinante, als auch die Symmetrie in der Funktion . Meine Bachelorarbeit ist bereits abgegeben, dennoch würde ich es gern schaffen, dies zu zeigen. Vielleicht hat hier jemand etwas ähnliches bereits bearbeitet. Ich freue mich über jede Anregung, gerne auch für verschwindendes chemisches Potential o. Ä..[/latex]
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 14. Jan 2019 06:24    Titel: Re: Determinante eines Dirac Operators Antworten mit Zitat

Die Determinante von



ist reell, wenn die Eigenwerte von Q reell sind:





oder wenn die Eigenwerte von Q zwar nicht reell sind, jedoch paarweise komplex konjugiert.

Reelle Eigenwerte liegen sicher vor, wenn Q auf seinem Definitionsbereich selbstadjungiert ist, d.h. wenn die Definitionsbereiche übereinstimmen



und wenn



auf dem Definitionsbereich.

Beweise für die Selbstadjungiertheit des Dirac-Operators findest du im Internet.

Aber: was sind x,y? die beiden Raumkoordinaten? dann ist alles gut; oder zwei verschiedene 3er-Vektoren, also zwei verschiedene Punkte in der Raumzeit? dann ist Q kein Dirac-Operator.

Insgs. sieht dein Operator sowieso etwas anders aus. Ich kenne



Das „i“ ist essentiell für die Selbstadjungiertheit, A ist das reelle 4er-Potential des el.-mag. Feldes. Du solltest deinen Operator auf diese Form bringen bzw. den Zusammenhang mit dieser Form herstellen.

Für den allgemeinen Beweis solltest du „Determinant Dirac Operator“ googeln ...

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
YoungsterPhysician



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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 14. Jan 2019 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo TomS,

danke für die ausführliche Antwort. Vielleicht zum Hintergrund: Dieser Diracoperator stammt aus der QFT des Gross-Neveu Modells in 1+2 Dimensionen, welches ich in der BA zum Studieren des Phasendiagramms von stark wechselwirkender Materie betrachtet habe, daher resultieren die Unterschiede.
Deine Ausführung zu den Eigenwerten sind mir bekannt, ich habe für konstantes bereits die Eigenwerte ausgerechnet und gesehen, dass sie aus komplex konjugierten Paaren bestehen, dies funktioniert für beliebiges leider nicht mehr.

Ja ich hätte wohl eher schreiben sollen, wobei x hier den dreidimensionalen Raumzeitvektor bezeichnet.
Zitat:
Das „i“ ist essentiell für die Selbstadjungiertheit,

Genau dieses i fehlt mir hier, der Operator wurde aus der Hubbard-Stratonovich Transformation hergeleitet, welche zur "Bosonisierung" der 4-Punkt Fermionentheorie dient. Ich weiß, dass mein Problem ziemlich speziell ist. Falls Interesse besteht und ihr über mein miserables Englisch hinweg sehen könnten, würde ich meine BA heute Abend mal verlinken, dann verstehst du eventuell mein Problem bzw. die Herkunft des Diracoperators besser. Ich sitze jetzt schon seit mehreren Wochen immer mal wieder an dem Beweis, daher wäre ein neuer Denkanstoß sicher super. Ich google dennoch nochmal den Beweis für den "Standard" Dirac Operator.[/quote]
YoungsterPhysician



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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 14. Jan 2019 16:15    Titel: Antworten mit Zitat

Da ich gerade noch kurz herumsitze, hier mal ein schnell kopierter Auszug aus dem "Beweisversuch" meiner Bachelorarbeit, auch auf die Gefahr hin, dass keiner Interesse hat. Kurz zu meinem Englisch: Ich arbeite daran und gelobe Besserung...

Meine Eigenwertgleichung ist so formuliert:

Thus, we look again at the complex conjugated eigenvalue equation for Q in representation of the Pauli matrices, where only one of the Dirac matrices is complex valued.


Multiply with from the left and applying the properties of the Pauli matrices leads to



From this equation we can conclude the relation

is eigenvalue to is eigenvalue to
With this equivalence and the assumption that has an even dimension we get



Basically we have broken the condition for realness down to the demand of being an even function in .

For a full analytical proof we still have to show
which we have not been able to proof yet. As a numerical test we have computed and for constant and spatially dependent condensate, which has been generated via a random number algorithm, and different lattice sizes using a LU-decomposition for calculation and received the same results within the precision of double variables
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 14. Jan 2019 18:15    Titel: Antworten mit Zitat

Obwohl ich das nicht im Einzelnen nachvollzogen habe, denke ich, dass es ausreicht zu zeigen, dass die Eigenwerte paarweise auftreten - s.o.
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Beitrag YoungsterPhysician Verfasst am: 14. Jan 2019 19:52    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, danke für die Einschätzung. Ich setze mich nochmal dran, vielleicht finde ich eine Möglichkeit, zu zeigen, dass komplex konjugierte Paare auftreten.
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