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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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 caro_b Verfasst am: 23. Okt 2018 23:24 Titel: Analysis |
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Meine Frage:
Hallo, habe heute meine erste Physikübung vor mir liegen und ich hänge an einzelne Aufgaben:
1)
Berechnen Sie schrittweise die folgenden Integrale:
Hinweis: verwenden Sie das Resultat: 
2)
Zeigen Sie für zwei Vektoren x und y, dass
Welchem Spezialfall der Gleichung entspricht der Satz des Pythagoras
3
Gegeben sei der Vektorraum |f(x)=\lambda_1\sin(x) +\lambda_2cos(x);\lambda_1,\lambda_2 \in\mathbb{R}}) .
Die Vektoren e1 = sin(x) und e2 = cos(x) bilden eine Basis B von V.
a)
Wie lautet die Komponentendarstellung des Elements g(x) = 3sin(x) +7cos(x) bezüglich B
b)
Sei f(x) ein allgemeines Element von V und Berechnen Sie die ableitung f'(x) und geben Sie deren Komponentendarstellung bezüglich B an.
c)
Zeigen Sie, dass durch
f(x) \, \dd x, g,f, \in V )
ein Skalarprodukt definiert ist.
d)
Zeigen Sie, dass die Basisvektoren e1, und e2 orthonormal sind.
schonmal vielen Dank für die Hilfen
Meine Ideen:
zu 1)
mit partieller Integration oder Substitution komme ich da nicht weiter. Eine Spezialzerlegung finde ich nicht.
Ich hab keine Idee, wie ich den Hinweis anwenden soll.
zu 2)
(\vec{x} -\vec{y})}^2 = (\vec{x} -\vec{y})(\vec{x} -\vec{y})= \vec{x}^2 -\vec{y}\vec{x}-\vec{x}\vec{y} +\vec{y}^2 = \left|\vec{x}^2\right|+\left|\vec{y}^2\right| -2\vec{y}\vec{x})
wenn x und y senkrecht aufeinander stehen entspricht es dem Pythagors
zu 3a)
g(x) = 3e1 +7e2 (kommt mir zu einfach vor)
zu 3b)
=\lambda_1\cos(x) -\lambda_2\sin(x) = \lambda_1e_2 -\lambda_2e_1)
zu 3c)
hier muss ich doch die eigenschaften (kommutativ, ditributiv, multiplikation mit skalar assoziativ, g^2>0 (Eigenschaften aus der Vorlesung)) zeigen
mit der letzten tue ich mich schwer, weil für bestimmte Werte für x die Funktioneswerte ja 0 werden.
zu 3d)
wie zum Henker zeige ich, dass sin(x) und cos(x) orthonormal sind?????? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 24. Okt 2018 00:21 Titel: |
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Nur kurz:
Zu 1: es geht mit partieller Integration. Betrachte die Faktoren x, x*exp(-1/2*x^2).
Zu 3c: verstehe das Problem nicht ganz. Du musst ja nur zeigen, dass für beliebige f des Vektorraums gilt  und genau =0 für f=0. Die Funktionswerte der Funktion f spielen keine Rolle, das Skalarprodukt ist ja durch das bestimmte Integral gegeben.
Zu 3d: nachrechnen... wenn f1=sin(x), f2=cos(x), muss gelten  . |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 24. Okt 2018 21:43 Titel: |
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das war ja eine schnelle Antwort, Danke schonmal
das worauf du nicht eingehst, betrachte ich dann als richtig.
zu 1)
Danke Tipp hat geholfen
zu 3c)
hab angefangen mal das Integral zu berechnen (sehr viel schreibaufwand)
sehe aber, dass sin(2pi) =0 und cos (2pi) =1 und in der Differenz somit alles 0 wird.
zur sicherheit, ich muss also ausrechnen:
[latex] \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi} \! (\lambda_1\sin(x) + \lambda_2\cos(x)) (\mu_1\sin(x) +\mu_2\cos(x))\, \dd x [/latex]
zu 3d)
ich muss also ausrechnen:
sin^2(x)=0
cos^2(x)=0
sin(x)cos(x)<>0
dafür kann ich dann mit 3c benutzen bzw. argumentieren?
vielen Dank
edit sorry ich krieg nicht raus, warum der latexcode nicht als solcher angezeigt wird |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 24. Okt 2018 22:21 Titel: |
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zu 3d)
soll natürlich
sin(x)cos(x)=1 heißten |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 24. Okt 2018 22:26 Titel: |
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zu 3d)
es soll natürlich heißen
sin^2(x)=1
cos^2(x)=1
sin(x)cos(x)=0
was es ja auch ist ist ja leicht nachzurechnen
 spät Abends... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 24. Okt 2018 23:29 Titel: |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: | | das worauf du nicht eingehst, betrachte ich dann als richtig. |
Sorry, ja, der Rest sieht gut aus. Zu 3a) und b): ich bin nicht ganz sicher, was mit Komponentendarstellung gemeint ist, wahrscheinlich ist es richtig. Allenfalls ist auch einfach der Koordinatenvektor bezüglich der Basis B gemeint.
| Zitat: | zu 3c) ...
zur sicherheit, ich muss also ausrechnen:
 + \lambda_2\cos(x)) (\mu_1\sin(x) +\mu_2\cos(x))\, \dd x ) |
Natürlich ist zu zeigen, dass die gegebene Abbildung alle Eigenschaften eines Skalarprodukt, so, wie es in der Vorlesung definiert wurde, erfüllt.
Bei  kann man ausnutzen, dass jedes  als f(x)=lambda1*cos(x)+lambda2*sin(x) geschrieben werden kann, da B eine Basis des VR ist. Es ist also zu berechnen
^2\,\dd x)
... was  ergibt, wie es auch zu erwarten war, wenn B eine orthonormierte Basis zu diesem Skalarprodukt ist.
| Zitat: | zu 3d)
ich muss also ausrechnen:
...
dafür kann ich dann mit 3c benutzen bzw. argumentieren? |
Man muss zeigen, dass  . Dort, wo die Rechnung klar ist und analog verläuft, kann man sicher schreiben „Rechnung analog wie oben“ o.ä. Entscheidend ist, dass alle geforderten Eigenschaften geprüft und aufgeführt werden. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 28. Okt 2018 15:07 Titel: |
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Hallo Myon,
habe die Übung jetzt sauber geschrieben und bin mit deinen Anmerkungen gut zurecht gekommen.
Mit 9 Seiten finde ich es aber sehr viel Schreibaufwand
Aber vielen Dank für die Hilfe
LG Caro |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 28. Okt 2018 16:21 Titel: |
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Danke für die Rückmeldung und gern geschehen. Ja, die Übungen sind oft aufwendig, und das Überprüfen von Definitionen verursacht Schreibarbeit, die vielleicht etwas übertrieben erscheinen mag. Wie gesagt, wichtig ist v.a., dass alle Eigenschaften abgecheckt werden und dies auch aus der Bearbeitung hervorgeht. Wo etwas wirklich offensichtlich ist, kann man das zumindest später, wenn einen der Übungsleiter/die Übungsleiterin schon etwas kennt  auch schreiben (z.B. „Kommutativität klar.“). Zu Beginn aber besser zu ausführlich als zu kurz... |
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