RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Widerstandsmoment
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik
Autor Nachricht
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 03. Mai 2018 07:48    Titel: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

Hallo,

Ich möchte das Flächenträgheitsmoment und das Widerstandsmoment der geometrischen Figur im Anhang berechnen. Mein Ansatz wäre die Figur aufzuteilen. z.B. in 2 Kreise mit einem "Kuchenstück" ausgeschnitten. Der äußere Kreis hat einen größeren Durchmesser D als der innere d.
Allerdings weiß ich nicht ob das korrekt ist, und zum anderen weiß ich nicht wie ich den Schwerpunkt (der sich ergebenden Figur) ermitteln kann.
Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im voraus!

P.S. JA ich habe ziemlich lange bei Google gesucht, und nirgends eine ähnliche Figur gefunden.



segment.jpg
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  segment.jpg
 Dateigröße:  24.5 KB
 Heruntergeladen:  463 mal

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 03. Mai 2018 09:06    Titel: Antworten mit Zitat

Wahrscheinlich wäre es auch nicht der Sinn der Aufgabe, dass über google nach dem Querschnitt gesucht wird. Wieso nicht einfach das Integral ausrechnen? Tönt vielleicht zuerst einmal etwas furchterregend, ist aber in diesem Fall wirklich nicht schwierig - natürlich Polarkoordinaten verwenden. Das einzige, was Du noch brauchst, ist die Stammfunktion von , und die findest Du z.B. hier.
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 03. Mai 2018 14:49    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie genau hilft mir das bei der Berechnung des Widerstandsmoment? Den Schwerpunkt erhalte ich damit doch trotzdem nicht. Sorry wenn ich gerade ein Brett vorm Kopf haben sollte. Eine kurze Erläuterung in Formel-Form würde glaube ich helfen
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 03. Mai 2018 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Wieso brauchst Du den Schwerpunkt des Querschnitts? Ich bin kein Spezialist für Flächenträgheitsmomente etc., aber wenn man jetzt einfach einmal von der Definition ausgeht und das Flächenträgheitsmoment bezüglich der horizontalen Achse ausrechnen möchte, erhält man doch



Ein Faktor r' kommt dabei vom infinitesimalen Flächenelement . Das Ausrechnen ist nicht schwierig, man kann separat über die beiden Variablen integrieren. Dabei ist



und weiter kann man noch benutzen, dass etc.

So, jetzt ist ja schon fast alles gemacht:) Den Begriff des Widerstandsmoments kannte ich gar nicht, aber das ergibt sich ja in diesem Fall unmittelbar aus dem Flächenträgheitsmoment.
autor237



Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509

Beitrag autor237 Verfasst am: 03. Mai 2018 23:16    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

egger.fcb hat Folgendes geschrieben:
Mein Ansatz wäre die Figur aufzuteilen. z.B. in 2 Kreise mit einem "Kuchenstück" ausgeschnitten. Der äußere Kreis hat einen größeren Durchmesser D als der innere d.
Allerdings weiß ich nicht ob das korrekt ist, und zum anderen weiß ich nicht wie ich den Schwerpunkt (der sich ergebenden Figur) ermitteln kann.


Wenn du das Widerstandsmoment bezüglich der Symmetrieachse bestimmen willst, dann wäre dein Vorgehen richtig. Der Schwerpunkt liegt dann auf der Symmetrieachse. Der maximale Abstand von der neutralen Faser wäre dann R (Radius des großen Kreises) und das Widerstandsmoment somit:



Das Flächenträgheitsmoment I_S wäre dann nach deinem Vorgehen:



I_GK: Flächenträgheitsmoment des großen Kreises
I_KK: Flächenträgheitsmoment des kleinen Kreises
Beta: Öffnungswinkel des ausgeschnittenen Kreissektors
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 03. Mai 2018 23:19    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

autor237 hat Folgendes geschrieben:


I_GK: Flächenträgheitsmoment des großen Kreises
I_KK: Flächenträgheitsmoment des kleinen Kreises
Beta: Öffnungswinkel des ausgeschnittenen Kreissektors

Das ist nicht richtig. Zwischen und dem Öffnungswinkel besteht kein linearer Zusammenhang.
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 04. Mai 2018 07:57    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Der maximale Abstand von der neutralen Faser wäre dann R (Radius des großen Kreises)(...)


Das kommt mir irgendwie unrealistisch vor. Dann läge der Schwerpunkt doch unverändert immer in der Mitte des Kreises.

Zitat:
Das ist nicht richtig. Zwischen und dem Öffnungswinkel besteht kein linearer Zusammenhang.


Es besteht in Bezug auf Beta auch kein linearer Zusammenhang.
Denn der Ausdruck



ist nicht linear.
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 04. Mai 2018 07:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ups. Natürlich ist der Ausdruck linear. Es ist noch so früh am Morgen...
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Mai 2018 08:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin oben von einem axialen Trägheitsmoment ausgegangen bezüglich der horizontalen Symmetrieachse. Da spielt der Schwerpunkt keine Rolle, er liegt ja sicher auf der Symmetrieachse. Auch beim Widerstandsmoment ist er nicht von Belang, sofern ich das nicht falsch auffasse. Relevant ist der maximale Abstand zur neutralen Faser, und das wäre hier der Abstand zur Symmetrieachse.

Anders wäre es, wenn es um das polare Flächenträgheitsmoment (kannte ich auch nicht) oder das Flächenträgheitmoment um eine vertikale Achse durch den Schwerpunkt ginge. Da wäre die Lage des Schwerpunkts natürlich relevant. Das glaube ich aber nicht, alleine schon deshalb, da die Rechnung dann weit komplizierter und ziemlich sicher nur noch numerisch möglich wäre.

PS: Dass zwischen dem Flächenträgheitsmoment und dem „Öffnungswinkel“ keine lineare Beziehung bestehen kann, sollte unmittelbar aus der Definition des Flächenträgheitsmoments klar sein. Der Beitrag eines Flächenelements zum Trägheitsmoment hängt von seinem Abstand zur neutralen Faser ab. Eine lineare Beziehung würde voraussetzen, dass jedes Flächenelement identisch beitragen würde. Das Flächenträgheitsmoment müsste also proportional zur Fläche selbst sein, was natürlich nicht der Fall ist.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Mai 2018 09:55    Titel: Antworten mit Zitat

Kann man das so machen?










Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Mai 2018 12:40    Titel: Antworten mit Zitat

@Mathefix: Nein, das ist nicht das richtige Flächenträgheitsmoment. Mit dem obigen Integral erhält man, Rechenfehler vorbehalten,



Dabei ist der Winkel, wie er in der Skizze eingezeichnet ist. Wohl kann man beim Flächenträgheitsmoment die Beiträge von einzelnen Teilflächen addieren, was aus der Definition des Integrals folgt. Aber der Winkel geht nicht linear ein ins Flächenträgheismoment, da der Beitrag einer Fläche mit dem Abstand im Quadrat zur neutralen Faser zunimmt. Nur für und hängt das Flächenträgheitsmoment näherungsweise linear vom Winkel ab.

Anders wäre es beim Massenträgheitsmoment bezogen auf den Mittelpunkt. Da würde die Rechnung mit dem Winkel so funktionieren. Beim Flächenträgheitsmoment kommt man hingegen bei diesem Querschnitt nicht um die Berechnung des Integrals herum.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Mai 2018 13:15    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
@Mathefix: Nein, das ist nicht das richtige Flächenträgheitsmoment. Mit dem obigen Integral erhält man, Rechenfehler vorbehalten,



Dabei ist der Winkel, wie er in der Skizze eingezeichnet ist. Wohl kann man beim Flächenträgheitsmoment die Beiträge von einzelnen Teilflächen addieren, was aus der Definition des Integrals folgt. Aber der Winkel geht nicht linear ein ins Flächenträgheismoment, da der Beitrag einer Fläche mit dem Abstand im Quadrat zur neutralen Faser zunimmt. Nur für und hängt das Flächenträgheitsmoment näherungsweise linear vom Winkel ab.

Anders wäre es beim Massenträgheitsmoment bezogen auf den Mittelpunkt. Da würde die Rechnung mit dem Winkel so funktionieren. Beim Flächenträgheitsmoment kommt man hingegen bei diesem Querschnitt nicht um die Berechnung des Integrals herum.


@Myon

Danke für Deinen Beitrag. Denke darüber nach.
Ich meine Du musst das Trägheitsmoment noch mit 2 multiplizieren, da Du nicht über 2pi sonder pi integriert hast.

Anders wäre es beim [i]Massenträgheitsmoment bezogen auf den Mittelpunkt. Da würde die Rechnung mit dem Winkel so funktionieren. Beim Flächenträgheitsmoment kommt man hingegen bei diesem Querschnitt nicht um die Berechnung des Integrals herum[/i]

Warum? Wo ist der Unterschied zum Flächenträgheitsmoment, ausser der zusätzlichen Dimension?

PS

Im übrigen hat der Fragesteller nicht festgelegt, welches TRägheitsmoment er meint - axial, polar oder zentrifugal.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Mai 2018 13:36    Titel: Antworten mit Zitat

Das Resultat muss ja für das Flächenträgheitsmoment eines Rings, ergeben, für die Hälfte. So gesehen sollte es eigentlich stimmen.

Beim Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Achse steht der Abstand zur Achse (im Quadrat) im Integral. Das Ganze ist also rotationssymmetrisch, deshalb kann man da auch einfach z.B. bei einer Scheibe ein Kuchenstück herausschneiden. Beim axialen Flächenträgheitsmoment kommt es hingegen auf den Abstand zu einer neutralen Faser, hier der horizontalen Symmetrieachse an. Deshalb kommt z.B. nicht dasselbe heraus, ob man „oben“ oder „seitlich“ ein Stück herausschneidet.

Zitat:
Im übrigen hat der Fragesteller nicht festgelegt, welches TRägheitsmoment er meint - axial, polar oder zentrifugal.

Zentrifugales Trägheitsmoment gibt es auch noch? Wie erwähnt, es kommt m.E. nur das axiale Trägheitsmoment bezüglich der horizontalen Achse in Frage. Das ist ja sozusagen auch der Normalfall, etwa wenn man die Durchbiegung eines Balkens bestimmen will. Alles andere wäre weit schwieriger zu berechnen, wahrscheinlich wäre es sogar nur numerisch möglich.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Mai 2018 14:06    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
@Mathefix: Nein, das ist nicht das richtige Flächenträgheitsmoment. Mit dem obigen Integral erhält man, Rechenfehler vorbehalten,





@Myon

Ich habe mal für alpha Werte (pi/2, pi) eingesetzt und komme auf miur nicht erklärliche Resultate.

Bei meiner Formel stimmen die Ergebnisse,
autor237



Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509

Beitrag autor237 Verfasst am: 04. Mai 2018 14:09    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

Das ist nicht richtig. Zwischen und dem Öffnungswinkel besteht kein linearer Zusammenhang.


Hast recht, die Symmetrie hat mich verleitet anzunehmen, dass sin(Beta) wie beim Voll- und Halbkreis wegfällt. Korrekt wäre es:

Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Mai 2018 14:41    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

autor237 hat Folgendes geschrieben:
Myon hat Folgendes geschrieben:

Das ist nicht richtig. Zwischen und dem Öffnungswinkel besteht kein linearer Zusammenhang.


Hast recht, die Symmetrie hat mich verleitet anzunehmen, dass sin(Beta) wie beim Voll- und Halbkreis wegfällt. Korrekt wäre es:



Da ist meine Formel eine gute Näherungslösung.
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 04. Mai 2018 15:01    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Im übrigen hat der Fragesteller nicht festgelegt, welches TRägheitsmoment er meint - axial, polar oder zentrifugal.



Ich meine axial, also alles gut.
Die letzte Rechnung ergibt immer sinnvolle Ergebnisse, also vielen Dank.
Wo ich aber anderer Meinung bin, ist die Berechnung des Widerstandmomentes. Dazu benötigt man den maximalen Abstand der neutralen Faser zur Schwerpunktachse. Der Schwerpunkt eines Ringes, eines Halbringes oder eines Dreiviertel-Ringes befindet sich aber nicht in der Mitte des vollen (gedachten) Kreises, sondern ist davon verschoben. Der maximale Abstand zur Schwerpunktachse ist demnach größer als der äußere Radius, siehe Anhang.



segment.jpg
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  segment.jpg
 Dateigröße:  29.07 KB
 Heruntergeladen:  770 mal

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Mai 2018 15:09    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

autor237 hat Folgendes geschrieben:

Das stimmt mit dem obigen Resultat überein. Aber wie bist Du darauf gekommen? Ich sehe das nicht ohne Berechnung des Integrals.

@egger.fcb: Hier steht, dass der maximale Abstand zur neutralen Faser - und diese befindet sich hier auf der horizontalen Symmetrieachse - relevant ist.
egger.fcb



Anmeldungsdatum: 03.05.2018
Beiträge: 6

Beitrag egger.fcb Verfasst am: 04. Mai 2018 15:26    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

@egger.fcb: Hier steht, dass der maximale Abstand zur neutralen Faser - und diese befindet sich hier auf der horizontalen Symmetrieachse - relevant ist.


Ja, sag ich doch. Nur ist dieser Abstand größer als R.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Mai 2018 15:28    Titel: Antworten mit Zitat

Nein. Die neutrale Faser ist (sowie ich das bis jetzt begriffen habe) entlang der ganzen horizontalen Achse. Und der maximale Abstand von dieser Achse, wo die grösste Spannung auftritt, ist R.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 04. Mai 2018 16:38    Titel: Antworten mit Zitat

Der Flächenschwerpunkt ist deswegen relevant.
Weil es sich in weiterer Folge beim Biegemoment, sowie auch Torsionsmoment und sonstige um ein reines Drehmoment handelt [Summe F=0].



Geht man im Model davon aus das die Dehnung eine konstante Steigung hat und in der neutralen Faser null ist ( was ja die Defintion der neutralen Faser ist) und legt die z Koordinate in die neutrale Faser dann gilt
je weiter aussen umso mehr dehnt oder drückt es.





Die summe aller Kräfte muß null sein



und die Summe aller z*dA =0 ist die Defintion des Flächenschwerpunktes und aus dem folgt die neutrale Faser (bei konstanten EModul) muß dort liegen.

Die Summe aller Kräfte mal z entspricht dem Moment. (Biegemoment)



da sich die Kräfte aber zu null addieren müsste man nicht die neutrale Faser (flächenschwerpunkt) als Bezugspunkt wählen, weil jeder Bezugspunkt dasselbe liefert.
Leider ist aber auch die Kraft von z abhängig.
Wählen wir einen anderen Bezugspunkt würde das auf die Kraft selbst Auswirkung haben



andere z werte liefern andere Kräfte. wir müssten also diese Gleichung verändern mit einer Ursprungsverschiebung




und hätten dann wieder aufgrunddessen eine andere Momentengleichung.


Der Bezugspunkt ist also nicht egal, es muß der Flächenschwerpunkt sein.
Nimmt man einen anderen Punkt müsste man korrigieren und kann nicht einfach rechnen.

Die Steigung der Dehnung ist einfach


und die Dehnung bzw Spannung über z ist

->


Der Punkt der am weitesten von der neutralen Faser (=Flächenschwerpunkt) entfernt ist hat die größte Spannung, und nennt man e


oder



wobei I/e das widerstandsmoment ist alles bezieht sich immer auf den Flächenschwerpuntk (EModul=const)

Es gibt hier 2 axiale Flächenträgheitsmomente eines von myon ermittelt bezüglich der horizontalen Achse und eine bezüglich der vertikalen Achse von dem der Threadsteller redet.

Bei Myon liegt die (neutrale Faser=Flächenschwerpunkt) auch auf der waagrechten Achse, somit passt das.

Beim threadsteller liegt die neutrale Faser sicher nicht auf der vertikalen Achse.

flächenschwerpunkt bestimmen!!

_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w
autor237



Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509

Beitrag autor237 Verfasst am: 05. Mai 2018 13:09    Titel: Re: Widerstandsmoment Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

Das stimmt mit dem obigen Resultat überein. Aber wie bist Du darauf gekommen? Ich sehe das nicht ohne Berechnung des Integrals.


Ich habe die Formel für den Kreissektor nachgeschlagen.



Alpha: Der Öffnungswinkel des Kreissektors

Damit folgt für das Flächenträgheitsmoment des Kreisringsektors bezüglich der Symmetrieachse:



Wenn man aber den Öffnungswinkel des herausgeschnittenen Kreissektors verwenden möchte dann muss man:



einsetzen.

Damit ergibt sich:



jetzt noch 2Pi ausgeklammert und zusammengefasst ergibt die von mir erwähnte Formel.
Die Ausgangsformel für den Kreissektor ist sicherlich wie alle Formeln für Standardformen über Integration hergeleitet worden.

@Mathefix:

Der Winkel Beta muss im Bogenmaß eingesetzt werden und dann ist Beta nicht mehr viel größer als sin(Beta)
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 07. Mai 2018 09:25    Titel: Antworten mit Zitat

@autor237: Danke, alles klar!
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Mechanik