Zustandsdichte eines 3D-Elektronengases

271828 · Anmeldungsdatum: 08.04.2018 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo,

ich soll die Gleichung wie folgt herleiten:
Übertrage ich den undendlich tiefen 1D Potenzialtopf auf 3D erhalte ich für die Energie

wobei L die Kantenlänge des Würfels ist.

Nun sollen die drei Quantenzahlen als Achsen eines Raumes interpretiert werden, sodaß jedes Tripel einem Zustand in dem enstehenden Gitter entspricht.
Ich betrachte den Oktanten indem alle n>0 sind. Nun soll gezeigt werden, daß die Anzahl der Zustände innerhalb eines Radius

gleich

ist.
Nun die Frage: Warum ist es hier das Volumen einer achtel-Kugel, wo doch der Raum gequantelt ist? Diesen Zusammenhang sehe ich nicht...

Liebe Grüße

Meine Ideen:
Habe keinen Ansatz...ich habe mir Gedanken gemacht, wie viele Punkte in dem Gitter besetzt sein können, das führte aber in der falsche Richtung und hatte auch nichts mit dem Kugelvolumen zu tun :/

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Es geht ja darum, die Funktion dN/dE, also die Anzahl Zustände pro Energieintervall, zu bestimmen. Dazu zählt man die Anzahl möglicher Zustände

mit einer Energie

.

Der Grund, weshalb man nur die „Gitterpunkte“ (wobei dieses Gitter nichts mit einem Kristallgitter zu tun hat) in einem Oktanten betrachtet, liegt darin, dass die Quantenzahlen

alle positiv sind. Würde man die Zahl der Gitterpunkte in der ganzen Kugel bestimmen, würde man auch Zustände mit negativen

mitzählen. Man dividiert deshalb die Zahl der Gitterpunkte in der gesamten Kugel durch 8.

271828 · Anmeldungsdatum: 08.04.2018 Beiträge: 2

Alles klar, vielen Dank!