Determinismus und Vorhersagbarkeit

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Hallo,
ist ein Deterministisches System, zum Beispiel ein System in der die Newtonsche Mechanik gilt, grundsätzlich aus den Anfangsbedingungen vorhersagbar?
Oder gibt es prinzipielle, mathematische Probleme die die Vorhersagbarkeit im Allgemeinen nicht ermöglichen?

Ein prominentes System ist ja das Dreikörperproblem, aber irgendwie steht dazu im Internet unterschiedliches.
Poncaire hätte bewiesen, dass es nicht lösbar sei.
Woanders steht aber:
"Gegen Ende des 19. Jahrhunderts zeigte der französische Mathematiker Henri Poincaré, dass es unmöglich ist, das Dreikörperproblem zu lösen. Genauer gesagt konnte er nachweisen, dass man niemals eine einfache mathematische Gleichung finden kann, mit der sich Position und Geschwindigkeit dreier beliebiger Himmelskörper für alle Zeiten vorhersagen lassen. Eigentlich war Poincaré zuerst überzeugt, er hätte das Dreikörperproblem gelöst und stellte erst später fest, dass er sich geirrt hatte. Dafür aber legte er mit seiner korrigierten Version gleich auch den Grundstein für die moderne Chaostheorie! "

Das klingt eher wieder nach "ist lösbar aber zu kompliziert um es zu machen" ...

Hat jemand vielleicht ein eindeutigeres Beispiel eines determionistischen Systems, dass prinzipiell nicht vorhersagbar ist?

Vielen Dank und liebe Grüße
PcIv

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Oh das ist ja interessant, hab ich noch nie gehört.

Nicht ganz: Das zeigt ja eigentlich eher dass die Newtonsche Mechanik für diesen Spezialfall (und damit allgemein) nicht deterministisch ist und es verschiedene Trajektorien gibt.

Ich suche eher nach einem System, dass sich bei gleichen Anfangsbedingungen immer gleich verhalten würde, man die zukünftigen Zustände jedoch nicht analytisch berechnen kann.

(Das Beispiel von dir ist ja eigentlich das Gegenteil: man kann die Trajektorien berechnen, aber das System verhält sich nicht eindeutig Fröhlich

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Ah das Doppelpendel ist auch ein schönes Beispiel, danke!
Ist da auch bewiesen, dass "analytisch nicht lösbar" in dem Falle "prinzipiell analytisch nicht lösbar" bedeutet?
Oder heißt das nur "bisher ist niemand auf eine Lösung gekommen" oder "das ist so kompliziert da wird man wahrscheinlich auf keine Lösung kommen"?

Verstehst du den Unterschied, den ich meine?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

In der Regel heisst "nicht analytisch lösbar" einfach "es gibt keine Lösung in der nur 'einfache' Funktionen auftauchen". Ob das nun bewiesen ist oder nicht bekannt ist dabei erstens meistens egal, und zweitens ist das Kriterium was eine "einfache" Funktion sein soll auch nicht wirklich scharf definiert.

Ist

analytisch lösbar? Ist es

? Beim ersten sagen wir in der Regel ja, weil die Lösungen e-Funktionen sind, die wir gut kennen. Beim zweiten meistens nein, da die Losungen Aira-Funktionen sind, die uns nicht so vertraut sind. Aber letztendlich sind beides nur Namen für Funktion, die bestimmte Eigenschaften haben.

PS: Ob das jetzt für das Doppelpendel bewiesen oder nur sehr wahrscheinlich ist, dass es keine "einfache" Lösung gibt, weiss ich allerdings nicht.

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Dann kann ich sagen:

Die Dynamik eines jeden deterministischen Differentialgleichungssystems ist theoretisch exakt vorhersagbar.

Bei manchen findet man nur keine einfache Darstellung der Lösung als Kombination von Elementarfunktionen.

Soll ich dann mal den Wikipediaartikel zum Laplaceschen Dämon hier korrigieren?

"Schon vor 1888 vermutete man, und seit den entsprechenden Arbeiten von Henri Poincaré und Heinrich Bruns weiß man, dass Differentialgleichungssysteme, die eine Bewegung von auch nur drei Körpern beschreiben, nicht mehr geschlossen integriert werden können und daher nur in Sonderfällen analytisch lösbar sind. Der Dämon ist also aus rein mathematischen Gründen nicht in der Lage, „seine Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen“. Er kann allenfalls Näherungslösungen finden, die mit fortschreitender Zeit immer aufwändigere Berechnungen oder neue Messungen benötigten. Das gilt sowohl für das Berechnen der Zukunft wie auch der Vergangenheit. Dieser Einwand ist grundlegend mathematischer Natur."

Das ist ja dann Quatsch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Vorhersagbarkeit im strengen Sinne gibt es meines Erachtens nichtmal auf dem Papier. Mit jeder geringfügigen Unsicherheit der Anfangs- und Randbedingungen eines System wird es aus dem langfristig aus dem Ruder laufen; von realen Systemen ganz zu schweigen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

Franz, das ist hier nicht der Punkt.

In der klassischen Mechanik ist jedes "physikalisch vernünftige" System exakt und eindeutig deterministisch, wenn es
i) mittels einer Hamiltonfunktion H(x,p) beschreibbar ist und wenn
ii) für einen Anfangszeitpunkt t=0 die Anfangsbedingungen x(t=0) und p(t=0) exakt bekannt sind.

Das von j8979 angeführte System erfüllt diese Bedingungen (i - ii), allerdings existieren zu identischem x(t≤0) und p(t≤0) zwei verschiedene Lösungen x(t>0) und p(t>0). D.h. es sieht so aus, als ob sich das System zu t=0 zufällig entscheiden könnte, welcher der beiden Lösungen es folgt.

M.E. liegt dies am pathologischen Verhalten für t=0; die DGL verletzt hier die Lipschitz-Stetigkeit, d.h. dass die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf nicht gegeben ist, und dass deswegen die Lösung der DGL mehrdeutig sein kann.

Upside down Quark · Anmeldungsdatum: 13.04.2016 Beiträge: 66

<ot>
Dennoch ist es durchaus interessant mathematische Neben-Ergebnisse zu betrachten. Schließlich gibt es viele Wissenschaftler (und Philosophen..), welche die Mathematik als Sprache der Natur auffassen, auch kam es nicht selten vor, dass erstmals sehr abstrakt scheinende math. Modelle schnell Anwendung in der Physik gefunden haben.
Beispielsweise bin ich kürzlich auf einen Artikel gestoßen (versuche akut ihn zu finden), der von einem Forscherteam berichtete, das sich mit einen Nebenprodukt der RT beschäftigt; es ging dabei um Teilchen, welche sich (stetig) mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen und ganz anders mit der Raum-Zeit interagieren (villt. hat jmd von dem "Gegen-Telefon-Paradoxon" gehört). Die Existenz wurden damals (u.a. von Einstein selbst) auf theoretischer Ebene als unlogisch erklärt.
PS. Ich sollte erwähnen, dass es hauptsächlich um theoretische Folgen solcher Teilchen ging, nicht um dessen reale Existenz.
</ot>

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

PcIv · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 74

Danke Tom,

Kannst du vielleicht noch dazu Stellung beziehen:

"Schon vor 1888 vermutete man, und seit den entsprechenden Arbeiten von Henri Poincaré und Heinrich Bruns weiß man, dass Differentialgleichungssysteme, die eine Bewegung von auch nur drei Körpern beschreiben, nicht mehr geschlossen integriert werden können und daher nur in Sonderfällen analytisch lösbar sind. Der Dämon ist also aus rein mathematischen Gründen nicht in der Lage, „seine Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen“. Er kann allenfalls Näherungslösungen finden, die mit fortschreitender Zeit immer aufwändigere Berechnungen oder neue Messungen benötigten. Das gilt sowohl für das Berechnen der Zukunft wie auch der Vergangenheit. Dieser Einwand ist grundlegend mathematischer Natur."

Ich weiß, dass der Laplacesche Dämon bei Berechnungen der phys. Wirklichkeit an ganz andere Grenzen stößt. Aber die Aussage dieses Absatzes ist ja nur:
Der Dämon kann nicht mal Trajektorien in einem System mit 3 Körpern im einfachen Modell der Newtonschen Mechanik exakt berechnen. Und vor allem: Dies sei mathematisch bewiesen.

Stimmt das? Oder stimmt vllt irgendwas an der Fragestellung an sich nicht?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18108

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583