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chuchichäschtli
Gast
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 chuchichäschtli Verfasst am: 19. März 2016 21:38 Titel: Optimierung einer Mehrstufenrakete |
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Meine Frage:
Du hast eine neue Raketenfirma gegründet und überlegst dir das grundsätzliche Design für deinen Booster. Folgende Eckdaten haben dir deine Ingenieure gegeben:
? Sie können Raketenmotoren mit einem Schub-zu-Gewicht-Verhältnis (TWR) von 100 bauen.
? Sie können Treibstofftanks bauen, deren Leergewicht 5% des vollen Gewichts ist.
? Die effektive Ausstossgeschwindigkeit u der Verbrennungsgase (Treibstoffe Kerosin / LOX) liegt bei 3500 m/s.
? Der Schub beim Start sollte mindestens 1.2 mal der Gewichtskraft entsprechen, da man sonst erst sehr spät horizontal beschleunigen kann, und viel ?v an die Schwerkraft verschwendet.
? Treibstoff im stöchiometrischen Verhältnis kostet 1 CHF pro kg, wobei die Kosten für den Tank bereits eingerechnet sind.
? Raketenmotoren kosten 10000 CHF pro kg Eigengewicht.
Um in den Erdorbit zu gelangen, braucht die Rakete etwa 9.5 km/s ?v.
a) Ist es möglich einen Satelliten von mS = 1000 kg mit einer einzelnen Stufe in den Orbit befördern, und wie hoch wären die Kosten minimal? Wie hoch ist die Startmasse dieser Rakete?
Meine Ideen:
Es hat geheissen die eine Geschwindigkeit um in den Erdorbit zu gelangen mindestens 9500 m/s betragen müsse. Auch wissen wir dass die Teilchen mit einer Geschwindigkeit von 3500 m/s aus der Rakete rausfetzen. Daher können wir mit der Raketengrundgleichung das Verhältnis zwischen m_0 und m bestimmen.
9.5 km/s = 3.5 km/s * ln(m_0/m)
Und wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt für das Verhältnis ein Wert von ca. 15.1 raus.
Allerdings weiss ich nicht inwiefern mir das was bringt.
Am liebsten würde ich was mit der F_s (Schubkraft) anfangen und so auf die Masse der Rakete kommen. Allerdings fehlt mir entweder eine Formel oder ein Wert.
In der Aufgabenstellung steht:
F_s (Start) >= 1.2*g*m
Auch weiss ich, dass man  berechnen kann. Und das u hätte ich ja. Aber leider kein  .
Gibt es hier vlt. eine Formel die mir fehlt? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. März 2016 23:06 Titel: |
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Ich spekuliere mal: senkrechter Aufstieg bis t* (x = 1,2)
=u\cdot \ln \frac{m(0)}{m(t^*)}-gt^*=u\cdot \ln \frac{1}{1-xgt^*/u}-gt^*)
Daraus die Flugzeit t* und wegen der Nutzlast m* auch dm/dt und m_0.
PS Es muß wohl nicht betont werden, daß diese Spielerei mit realen Raketenstarts nur sehr weitläufig zu tun hat. |
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chuchichäschtli
Gast
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 13:07 Titel: |
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Erst mal vielen Dank für Deine rasche Antwort!
Ich tue mich gerade sehr schwer die letzte Gleichung nach  aufzulösen. Hab auch versucht diese auf WolframAlpha zu werfen und so lösen zu lassen, wird allerdings beim Logarithmus abgebrochen.
| Code: | | solve v=u*ln(1/(1-((xgt)/u))-gt for t |
Ich denke mal nicht dass das überhaupt lösbar ist. Übersehe ich da etwas?[/code] |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. März 2016 13:27 Titel: |
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Moin!
Du schreibst "9.5 km/s = 3.5 km/s * ln(m_0/m)", was Vernachlässigung der Schwerkraft (g t) bedeutet. Könnte man probieren (ist eh Spielerei).
Bei der erweiterten Gleichung (t*) bin ich sowieso von einer numerischen Abschätzung ausgegangen; wozu hier große Genauigkeiten. |
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chuchichäschtli
Gast
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 13:44 Titel: |
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Alles klar, konnte das  nun doch berechnen. Aber wie lässt mich dieses auf die Masse schliessen? |
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chuchichäschtli
Anmeldungsdatum: 20.03.2016
Beiträge: 5
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 13:51 Titel: |
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Hab mir endlich mal ein Konto erstellt sodass ich nicht ständig Doppelposts machen muss. Kannst die letzte Frage ignorieren.
Dieses
/u) entspricht der Masse der Rakete nachdem das Benzin ausgebrannt ist, korrekt?
EDIT: Nein, das kann nicht sein, dann wäre die Masse ja nahe 0.
Wie drücke ich die Masse der Rakete mit x, g und t aus? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. März 2016 14:10 Titel: |
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Der Masseausstoß beim Start ist konstant dm/dt = const < 0
und durch die Anfangsbedingung "fixiert" (x = 1,2)
=m_0+\dot m\cdot t=m_0\cdot \left(1-\frac{xgt}{u}\right))
EDIT Die abschließende Masse (Satellit) ist zwar gegeben - doch wie gestaltet sich der Schluß? Abwurf Tank / Motor usw. ? |
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chuchichäschtli
Anmeldungsdatum: 20.03.2016
Beiträge: 5
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 14:21 Titel: |
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Vielen, vielen Dank für deine Hilfe. Wäre sonst nahe am Verzweifeln.
Habe ich soweit berechnen können. Nach Einsetzen der Werte erhalte ich ein Verhältnis von  .
Resp.  = m_0 * (1-\frac{xgt}{u}) = m_0 * 0.02951)
Bloss wie soll ich das in die Gleichung  einsetzen? Beim Ausdruck  handelt es sich ja um eine Differenz und nicht ein Verhältnis, wofür ich zumindest einen Wert benötigen würde?
Oder meinst du dass  entspricht?
EDIT: Achsooooo!! Die Abschliessende Masse ist NUR der Satellit. Es bleibt also nix mehr von der Rakete übrig? Aber die Masse des Satelliten entspricht nicht dem ) , oder? |
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chuchichäschtli
Anmeldungsdatum: 20.03.2016
Beiträge: 5
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 15:11 Titel: |
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Ich hab es probiert wie folgt zu lösen:
 = m(S) + m(Motor) + (m(t) * 33.887 * 0.05))
Letzteres ist der Tank.
 = m(t) * 33.887)
m(Motor) berechne ich mit der TWR-Angabe.
Aber leider kann ich das Motorgewicht nicht ohne das Gesamtgewicht berechnen und das Gesamtgewicht auch nicht ohne das Motorengewicht. Gibt es einen Umweg? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. März 2016 15:25 Titel: |
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Mit dem spekulativen Ansatz kann die Beschleunigungszeit t* numerisch bestimmt werden:
=u\cdot \ln \frac{1}{1-xgt^*/u}-gt^*)
Die geplante Endgeschwindigkeit muß erreicht sein, Ende des Schubs und außer der Nutzlast wird (vermutlich) in dem Moment alles abgeworfen.
Genau wie Du schreibst: Jetzt müssen wir weiter nachdenken über den Raketenmotor und den Tank (Ziel: Anfangsmasse, Treibstoff), also die Aufgabe nochmal in Ruhe durchlesen ...
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chuchichäschtli
Anmeldungsdatum: 20.03.2016
Beiträge: 5
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 18:07 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | ... und außer der Nutzlast wird (vermutlich) in dem Moment alles abgeworfen. |
Das hab ich mir auch gedacht. Ich denke ich schreibe einfach hin:
Unter der Annahme dass  = m_S = 1000kg) , und rechne dann weiter.
Weiter oben haben wir ja das Verhältnis }) bestimmt. Darf ich annehmen dass  auch tatsächlich die Gesamtmasse ist? Also:  Treibstoff + Tank + Raketenmotor + Satellit?
Oder handelt es sich dabei nur um den Treibstoff+Satellit?
Vielen Dank! |
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chuchichäschtli
Anmeldungsdatum: 20.03.2016
Beiträge: 5
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| chuchichäschtli Verfasst am: 20. März 2016 19:18 Titel: |
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Ich habe es tatsächlich einfach so berechnet ohne all zu viel Gedanken darauf zu verschwenden was genau nun dieses inkludiert und was nicht.
 = m_S = 1000 kg)
 = m_Tank + m_Treibstoff + m_R + m_S = \frac{m(0)}{m(t)} = 33887 kg)
da TWR = 100, können wir m_R berechnen.
Wenn man diese Werte hat, kann man ganz einfach m_Treibstoff und m_Tank berechnen.
Alles zusammen gerechnet kostet uns die Rakete 39.9 Mio. Franken was denk ich mal ein ziemlich guter Wert ist. (Rundungsfehler ~40 Mio.)
Ich denke dass wir Mittwoch die Lösungen kriegen. Mal sehen ob's stimmt. 
Nochmals vielen Dank Dir Franz für Deine Unterstützung!  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. März 2016 23:00 Titel: |
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| chuchichäschtli hat Folgendes geschrieben: | | da TWR = 100, können wir m_R berechnen. |
Das dürfte der Knackpunkt sein!
Ich bezog das Schub - Last - Verhältnis erst auf die gesamte (ausgebrannte) Rakete, kam damit auf keinen grünenen Zweig und landete genauso beim Raketenmotor dm/dt u = - 100 m_R g.
Zweitens ergibt sich leider erst im Laufe der Rechnung, daß die Schwerkraft nicht berücksichtigt werden soll (damit t* =ca 278 s statt 288 s).
Drittens: Ein großes Problem in der Rechnung (alles andere beiseite): daß die Rakete selbstverständlich nicht mit Schub 1,2 starten kann, sondern mit <1 beginnen muß. Bis sie schwebt, ist also schon eine Riesenmenge Treibstoff rausgeballert.
| Zitat: | |
Nein: Raketenmotor und Tank müssen bis zur letzten Sekunde "mitgeschleppt" werden. Man kann jedoch alle unbekannten Massen auf m_0 beziehen und durch die vorgegebene Nutzmasse m_N dann ermitteln:
N Nutzmasse
T Tank (T* leer)
F Kerosin/LOX
R Raketenmotor
Meine Werte: gesamt 196 t, Treibstoff 183 t, Motor 2.353 kg. Die Kosten (im wesentlichen durch den Motor) ca. 2,4 Mio CHF. |
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