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Nachricht |
Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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 Max Cohen Verfasst am: 26. Nov 2015 16:19 Titel: Strahlungsgesetz von Planck |
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Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:
In Richtung der Flächennormalen emittierte Energieflussdichte eines schwaezen Körpers ist nach Planck =\frac{2hf^3}{c^2}\frac{1}{e^{hf/k_BT}-1})
a) Zeige, dass für lange Wellenlängen und hohe Temperaturen das Spektrum in guter Näherung durch das Rayleigh Jeans Gesetz gegeben ist
b) Leite aus der Planckschen Formel einen Ausdruck für die Energieflussdichte her, der für kurze Wellenlängen eine gute Nöherung ist
c) Zeige, dass obwohl sich das Maximum der spektralen Strahlungsdichte für höhere Temperaturen zu kürzeren Wellenlängen verschiebt, die spektrale Strahlungsdichte für jede Frequenz streng monoton mit der Temperatur steigt.
Meine Ideen:
Ich habe nun in mehreren Büchern und auch bei Wikipedia nachgelesen dass das Strahlungsgesetz lautet:
d\nu=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1}d\nu)
In der Aufgabe ist eine Abhängigkeit zu der Strahlungsleistung gegeben. Ich frage mich ehrlich gesagt wo nun der Unterschied zwischen den beiden Formeln liegt?
a)
Da für hohe Temperaturen und lange Wellenlängen der Ausdruck  kann man es mit Taylor nähern. Man erhält somit:
Eingesetzt in die Formel erhält man:
=\frac{2hf^3}{c^2}\frac{1}{\frac{hf}{k_BT}}=\frac{2hf^3}{c^2}\frac{k_BT}{hf}=\frac{2f^2k_BT}{c^2})
=\frac{2f^2k_BT}{c^2})
Das ist nun das Rayleigh Jeans Gesetz in Abhängigkeit der Leistung? Ich finde leider nicht das Rayleigh Jeans Gesetz in Form der Leistung.
b) Hier soll man das Wiensche Strahlungsgesetz herleiten. In Dem Fall erhält man für kurze Wellenlängen und hohe Temperaturen das  und damit kann die -1 im Nenner vernachlässigt werden.
=\frac{2hf^3}{c^2}e^{-hf/k_BT})
Das ist das Wiensche Strahlungsgesetz in Form der Leistung?
c) Eventuell ) auf Monotonie untersuchen mit  zeigen?
Vielen Dank für die Hilfe! |
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Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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| Max Cohen Verfasst am: 27. Nov 2015 13:51 Titel: |
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Kann mir noch jemand helfen? |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 27. Nov 2015 22:36 Titel: |
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=C_{1}\cdot \frac{h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1})
das ist die Energiedichte = Energie pro m^3
=C_{2}\cdot \frac{h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1})
das ist die Strahlungsdichte =abgestrahlte Leistung pro m^2
oder wie in der Aufgabe geschrieben
=2\cdot \frac{hf^3}{c^2}\frac{1}{e^{hf/k_BT}-1})
die konstanten C1 und C2 hängen davon ab
welche Energien betrachtet werden
a und b müssten stimmem
| Max Cohen hat Folgendes geschrieben: |
c) Eventuell auf Monotonie untersuchen mit zeigen?
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genau |
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Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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| Max Cohen Verfasst am: 28. Nov 2015 10:08 Titel: |
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Hallo jmd, ist denn hier die Ableitung nach der Temperatur T oder die Ableitung nach der Frequenz f gefragt?
So wie ich das darauß lese müsste ich nach der Frequenz ableiten?
Da erhalte ich eine Ableitung von:
=\frac{6hf^2}{c^2e^{hf/kT}-c^2}-\frac{2c^2h^2f^3e^{hf/kT}}{Tk(c^2e^{hf/kT}-c^2)^2})
Dann müsste hier gezeigt werden das:
>0) also:
^2})
Ist das nicht offensichtlich da auf der rechten Seite im Nenner die e Funktion noch quadriert wird?
^2})
})
})
Wenn die Exponentielafunktion groß wird so geht der Ausdruck gegen Null und die Ungleichung stimmt nicht.
Hier muss etwas falsch laufen ...
Wenn ich die Ableitung nach der Temperatur bilde erhalte ich:
=\frac{\frac{2h f^3}{c^2}\frac{fh}{T^2k_B}e^{fh/k_BT}}{(e^{fh/k_BT}-1)^2})
Hier müsste dann gezeigt werden das
^2}>0) gilt
Hier sieht man aber auch schon das dies nicht gilt ... |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 28. Nov 2015 11:01 Titel: |
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| Max Cohen hat Folgendes geschrieben: |
So wie ich das darauß lese müsste ich nach der Frequenz ableiten?
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das bringt nichts
du kennst doch die Planck-Kurve
in Abhängigkeit von der Frequenz
diese Kurve steigt an hat ein Maximum und fällt dann ab
also alles andere als ein monotones Steigungsverhalten
hier geht es um die Frage wie sich die Intensität einer bestimmten Frequenz
(zb rotes Licht) verhält wenn sich die Temperatur erhöht
wird das rote Licht immer weniger
und es kommt immer mehr gelbes Licht
oder wird das rote Licht immer intensiver?
Metall leuchtet beim Erhitzen zunächst rot dann gelb dann weiß
also ist das rote Licht bei hohen Temperaturen weg
Oder doch nicht?
| Max Cohen hat Folgendes geschrieben: |
Hier müsste dann gezeigt werden das
gilt
Hier sieht man aber auch schon das dies nicht gilt ... |
doch das gilt weil links alles positiv ist |
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Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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| Max Cohen Verfasst am: 28. Nov 2015 11:17 Titel: |
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Hallo jmd, das mit dem Planck Gesetz habe ich ehrlich gesagt noch nicht vollständig durchdrungen vom Verständnis her. Ich dachte die Formel wäre quasi die "Granddaddy" Gleichung worauß sich einerseits der Wiensche Verschiebungssatz ableiten lässt worauß man ablesen kann wann die plancksche Strahlungsverteilung ein Maximum besitzt.
Ist damit die Aufgabe schon erledigt wenn die Ungleichung:
gilt?
Viele Grüße |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 28. Nov 2015 11:34 Titel: |
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ja das sollte gezeigt werden
da müsste aber ein f^4 in den Zähler |
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Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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| Max Cohen Verfasst am: 28. Nov 2015 11:55 Titel: |
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Hallo jmd, das ist super vielen Dank für deine Hilfe.
Nun habe ich noch einen Auftrag und soll in einer doppellogarithmischen Darstellung die spektrale Verteilungen für die Temperatur 4K darstellen.
Ich dachte daran die Gleichung zu =\frac{2hf^3}{c^2}\frac{1}{e^{hf/kB}-1}) logarithmieren. Da erhalte ich die Darstellung nach etwas umgeforme:
)=\ln(2h)-2\ln(c)+3\ln(f)-\frac{h}{kT}f)
Diese soll nun für gewisse Werte einfach aufgetragen werden?
Ich bin etwas verwirrt da man logaritmische Darstellungen für gewöhnlich wählt wenn man einen Zusammenhang der Form =\ln(a)+n\ln(x)) bekommt. Das ist hier nicht der Fall.
Viele Grüße |
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 28. Nov 2015 17:53 Titel: |
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| Max Cohen hat Folgendes geschrieben: |
Ich bin etwas verwirrt da man logaritmische Darstellungen für gewöhnlich wählt wenn man einen Zusammenhang der Form bekommt. Das ist hier nicht der Fall.
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vielleicht teilweise doch
das gilt für
| Max Cohen hat Folgendes geschrieben: |
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das stimmt nicht ganz
das hast offenbar hinten die Minus 1 weggelassen
)=\ln(2h)-2\ln(c)+3\ln(f)-\ln({e^{hf/kT}-1}))
es gibt 2 Möglichkeiten einer doppelt logarithmischen Darstellung
die Funktion verändern oder das Koordinatensystem verändern
bei der Aufgabe würde ich das zweite machen
und dann auch den 10er Logarithmus nehmen |
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