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Nachricht |
Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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 Widderchen Verfasst am: 09. Nov 2015 14:54 Titel: Bewegungsgleichungen in sphärischen Kooordinaten |
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Meine Frage:
Hallo,
die Aufgaben sind unter folgendem Link einsehbar:
http://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-I/Uebungen/Blatt_5.pdf
Meine Ideen:
Ich befinde mich momentan bei Aufgabe 16)b). Die kinetische Energie habe ich bereits über die oben angegebene Definition von  über die Kugelkoordinatenbasis berechnet.
Nun soll ich in b) die Bewegungsgleichungen aufstellen. Die Lagrange-Gleichung lautet  = 1/2 m (\dot{r(t)}^2 + r(t)^2 \cdot (\dot{\Theta(t)}^2 + \sin(\Theta(t))^2 \dot{\phi(t)}^2 )) - V(r, \Theta , \phi)) .
Allerdings habe ich kein konkretes Potential gegeben. Muss ich L dann in die Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen:
 . Muss ich hierbei nach der kompletten vektoriellen Größe ableiten oder komponentenweise differenzieren?
Ist diese Vorgehensweise soweit korrekt?
Viele Grüße
Widderchen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 09. Nov 2015 17:59 Titel: |
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du brauchst für jede unabhängige Variable
eine Lagrange Gleichung |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 09. Nov 2015 19:24 Titel: |
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Hallo,
danke für die Antwort, xb! Ich habe die Bewegungsgleichungen für alle drei Kugelkoordinaten berechnet. Diese sollten - sofern ich mich nicht verrechnet habe- folgendermaßen lauten:
 \cos(\Theta) \dot{\Phi} + \frac{1}{mr(t)^2}\frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Theta} \,\,\,\,
<br />
<br />
0 = \sin(\Theta) \ddot{\Phi} + \cos(\Theta) \dot{\Theta} \dot{\Phi} + \frac{1}{mr(t)^2 \sin(\Theta)}\frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Theta} \,\,\,\,
<br />
<br />
0 = m \ddot{r(t)} - m r(t) (\dot{\Theta}^2 + \sin(\Theta)^2 \dot{\Phi}) + \frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial r} )
Ich hoffe, diese Gleichungen sind korrekt.
Allerdings scheitere ich gerade bei Aufgabenteil iii) a). Hier muss ich die Bewegungsgleichungen für ein kugelsymmetrisches Potential mit der Zwangsbedingung  aufstellen.
Muss ich hierfür die oben genannten Bewegungsgleichungen einfach "ein wenig" verändern ??? 
In Teil b) liegt mir fast die radiale Bewegungsgleichung vor, es müssen lediglich die mr-Terme irgendwie eliminiert werden. Dann wäre das effektive Potential gerade das kugelsymmetrische Potential V(r) .
Ich hoffe, ihr könnt mir an dieser Stelle noch behilflich sein.
Viele Grüße
Widderchen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 09. Nov 2015 20:28 Titel: |
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ich würde bei der kinetische Energie die Winkel ändern
 ) )
in der Aufgabe wird mal  und  verwendet
das ist ungünstig und Theta hinten hin
entweder oder
ich glaub es macht auch Sinn bei einer neuen Aufgabe
einen neuen Thread zu öffnen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 09. Nov 2015 20:58 Titel: |
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wir haben hinten anscheinend noch ein r^2 vergessen |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 10. Nov 2015 06:55 Titel: |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
 \cos(\Theta) \dot{\Phi} + \frac{1}{mr(t)^2}\frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Theta} \,\,\,\,
<br />
<br />
0 = \sin(\Theta) \ddot{\Phi} + \cos(\Theta) \dot{\Theta} \dot{\Phi} + \frac{1}{mr(t)^2 \sin(\Theta)}\frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Theta} \,\,\,\,
<br />
)
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hier fehlen die zeitlichen Ableitungen von r
| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
} - m r(t) (\dot{\Theta}^2 + \sin(\Theta)^2 \dot{\Phi}) + \frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial r} )
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phi Quadrat |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 10. Nov 2015 09:46 Titel: |
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Hallo,
ja, das stimmt, ich habe irgendwo die zeitlichen Ableitungen von r(t) vergessen. Das Quadrat der zeitlichen Ableitung von Phi auch! 
Ich werde das noch überarbeiten. Vielen Dank!
Viele Grüße
Widderchen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2015 12:36 Titel: |
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Wie immer ist es sinnvoll, im Falle des Vorliegens von Erhaltungsgrößen diese auch auszunutzen. Aufgrund der Zeitunabhängigkeit des Potentials ist die Energie erhalten, aufgrund der Rotationsinvarianz der Drehimpuls.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 10. Nov 2015 17:35 Titel: |
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Hallo,
ich habe die Bewegungsgleichungen erneut aufgestellt:
^2 \ddot{\Theta} - m r(t)^2 \sin(\Theta) \cos(\Theta) \dot{\Phi}^2 + 2m \dot{r}(t) \dot{\Theta}(t) r(t) + \frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Theta} \,\,\,\,
<br />
<br />
0 = \sin(\Theta) \ddot{\Phi} + 2 \cos(\Theta) \dot{\Theta} \dot{\Phi} + \frac{1}{mr(t)^2 \sin(\Theta)}\frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial \Phi} + 2 \sin(\Theta) \dot{\Phi}(t) \frac{\dot{r}(t)}{r(t)} \,\,\,\,
<br />
<br />
0 = m \ddot{r(t)} - m r(t) (\dot{\Theta}^2 + \sin(\Theta)^2 \dot{\Phi}^2) + \frac{\partial V(r,\Theta, \phi)}{\partial r} )
So, das sollte jetzt aber stimmen!
Viele Grüße
Widderchen
Zuletzt bearbeitet von Widderchen am 10. Nov 2015 19:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 10. Nov 2015 18:40 Titel: |
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beim mittleren Potential muss man d(phi) nehmen
ich würde erst mal eine Funktion f definieren
damit die Masse verschwindet
und dann die Potentiale so schreiben
damit es aussieht wie in Aufgabe 17.3 aussieht
und (t) würde ich auch weglassen
 +\frac{df}{dr}=0 )
 +2r\dot{\Theta}\dot{\Phi} \cos(\Theta)+r\ddot{\Phi} \sin(\Theta)+\frac{1}{r\sin(\Theta)}\frac{df}{d\Phi} =0 )
 \cos(\Theta) +\frac{1}{r}\frac{df}{d\Theta}=0 ) |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 10. Nov 2015 19:34 Titel: |
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Hallo,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Durch die Wahl von f sehen die Bewegungsgleichungen auch schon etwas kompakter aus! Die partielle Ableitung nach Phi habe ich korrigiert.
Ich habe auch die Aufgaben 16) b und c erledigt.
Nun befinde ich mich bei Aufgabe 18. Diese Aufgabe sollte ich wohl in einem neuen Thread eröffnen.
Viele Grüße
Widderchen |
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